【走向高考】2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 11-6幾 何 概 型課后作業(yè) 北師大版

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1、【走向高考】2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 11-6幾 何 概 型課后作業(yè) 北師大版 一、選擇題 1.(2020·海安模擬)如圖，A是圓上固定的一點(diǎn)，在圓上其他們位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，它是一條弦，它的長(zhǎng)度大于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為(　　) A. 　　　　 B. C. 　　　　 D. [答案]　B [解析]　如圖，當(dāng)AA′長(zhǎng)度等于半徑時(shí)，A′位于B或C點(diǎn)，此時(shí)∠BOC＝120°， 則優(yōu)?。溅蠷， 故所求概率P＝＝. 2．(2020·濱州模擬)有下列四個(gè)游戲盤(pán)，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)．小明希望

2、中獎(jiǎng)，他應(yīng)當(dāng)選擇的游戲盤(pán)為(　　) [答案]　A [解析]　A游戲盤(pán)的中獎(jiǎng)概率為，B游戲盤(pán)的中獎(jiǎng)概率為，C游戲盤(pán)的中獎(jiǎng)概率為＝，D游戲盤(pán)的中獎(jiǎng)概率為＝，所以A游戲盤(pán)的中獎(jiǎng)概率最大． 3．(文)手表實(shí)際上是個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，一天24小時(shí)，分針指哪個(gè)數(shù)字的概率最大(　　) A．12 B．6 C．1 D．12個(gè)數(shù)字概率相同 [答案]　D [解析]　分針每天轉(zhuǎn)24圈，指向每個(gè)數(shù)字的可能性是相同的，故指向12個(gè)數(shù)字的概率相同． (理)ABCD為長(zhǎng)方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)

3、取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D．1－ [答案]　B [解析]　幾何概型． 如圖要使點(diǎn)到O的距離大于1，則點(diǎn)需落在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓之外，∴P＝＝1－，∴選B. 4．在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cosx的值介于0到之間的概率為(　　) A.　　 　 B.　　 　 C.　　 　 D. [答案]　A [解析]　本小題考查余弦函數(shù)值域及幾何概型． 任取x∈， 由cosx∈知x∈∪， ∴x∈∪. 由幾何概型知，P＝＝.故選A. 5．在區(qū)間[0,10]內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在區(qū)間[0,10]

4、內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　將取出的兩個(gè)數(shù)分別用x，y表示，則0≤x≤10,0≤y≤10.如圖，當(dāng)點(diǎn)(x，y)落在圖中的陰影區(qū)域時(shí)，取出的兩個(gè)數(shù)的平方和也在區(qū)間[0,10]內(nèi)，故所求概率為＝. 6．已知平面區(qū)域D表示的是圓C(x－1)2＋y2＝2及其內(nèi)部的區(qū)域，若在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P出現(xiàn)在第一象限的概率為(　　) A.＋π B.＋ C.＋ D.＋π [答案]　C [解析]　平面區(qū)域D內(nèi)的面積為2π； 事件“點(diǎn)P出現(xiàn)在第一象限”對(duì)應(yīng)區(qū)域

5、的面積為2π×＋×12＝； 由幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為＝＋. 二、填空題 7．在區(qū)間[－1,1]上任取兩數(shù)x和y，組成有序數(shù)對(duì)(x，y)記事件A為“x2＋y2<1”，則P(A)＝________. [答案]　 [解析]　事件“從區(qū)間[－1,1]上任取兩數(shù)，x，y組成有序數(shù)對(duì)(x，y)”的所有結(jié)果都落在－1≤x≤1，且－1≤y≤1為正方形區(qū)域中，而事件A的所有結(jié)果都落有以(0,0)為圓心的單位圓面上，故μA＝π，μΩ＝2×2＝4， ∴P(A)＝. 8．圓O有一內(nèi)接正三角形，向圓O隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在內(nèi)接正三角形內(nèi)的概率是________． [答案]　 [解析]

6、　設(shè)圓O半徑為r，如圖所示． 則BC＝r，高AD＝， ∴S△ABC＝BC·AD＝r2，S圓＝πr2. ∴所求概率P＝＝＝. 三、解答題 9．(文)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果在該矩形內(nèi)隨機(jī)找一點(diǎn)P，求使得△ABP與△CDP的面積都不小于1的概率． [解析]　 取AD的三等分點(diǎn)E′、F′，取BC的三等分點(diǎn)E、F，連接EE′、FF′，如圖所示．因?yàn)锳D＝3，所以可知BE＝EF＝FC＝AE′＝E′F′＝F′D＝1.又AB＝2，所以當(dāng)點(diǎn)P落到虛線(xiàn)段EE′上時(shí)，△ABP的面積等于1，當(dāng)點(diǎn)P落在虛線(xiàn)段FF′上時(shí)，△CDP的面積等于1，從而可知當(dāng)點(diǎn)P落在矩形EE′F′F內(nèi)

7、(包括邊界)時(shí)△ABP和△CDP的面積均不小于1，故可知所求的概率為P＝＝. (理)(2020年寧波調(diào)研) 如圖所示，在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)的取一點(diǎn)Q，求過(guò)點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長(zhǎng)長(zhǎng)度不超過(guò)1的概率． [解析]　弦長(zhǎng)不超過(guò)1，即|OQ|≥，而Q點(diǎn)在直徑AB上是隨機(jī)的，記事件C＝{弦長(zhǎng)超過(guò)1}． 由幾何概型的概率公式得P(C)＝＝. ∴弦長(zhǎng)不超過(guò)1的概率為1－P(C)＝1－. 即所求弦長(zhǎng)不超過(guò)1的概率為1－. 一、選擇題 1．(文)設(shè)A為圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接，則弦長(zhǎng)超過(guò)半徑倍的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　B

8、 [解析]　作等腰直角三角形AOC和AMC，B為圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|>R， ∴P＝. (理)(2020·合肥模擬)平面上有一組平行線(xiàn)，且相鄰平行線(xiàn)間的距離為3cm，把一枚半徑為1cm的硬幣任意投擲在這個(gè)平面上，則硬幣不與任何一條平行線(xiàn)相碰的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　如上圖所示，任取一組平行線(xiàn)進(jìn)行研究，由于圓心落在平行線(xiàn)間任一點(diǎn)是等可能的且有無(wú)數(shù)種情況，故本題為幾何概型．因?yàn)閳A的半徑為1，所以圓心所在的線(xiàn)段長(zhǎng)度僅能為1cm，所以P＝. 2．(文)已知＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|

9、x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　區(qū)域為△AOB，區(qū)域A為△OCD， ∴所求概率P＝＝＝. (理)(2020·華陰一模)如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線(xiàn)y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是(　　) A. B. C. D.

10、 [答案]　A [解析]　由題圖可知陰影部分是曲邊圖形，考慮用定積分求出其面積．由題意得S＝sinxdx＝－cosx|＝－(cosπ－cos0)＝2，再根據(jù)幾何概型的算法易知所求概率是＝＝. 二、填空題 3．(2020·江西理，12)小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書(shū)．則小波周末不在家看書(shū)的概率為_(kāi)_______． [分析]　本題考查了幾何概型的應(yīng)用，同時(shí)也考查了互斥、對(duì)立事件． [答案]　 [解析]　∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， ∴不

11、在家看書(shū)的概率為P＝＋＝. 4．某同學(xué)到公共汽車(chē)站等車(chē)上學(xué)，可乘坐8路、23路，8路車(chē)10分鐘一班，23路車(chē)15分鐘一班，則這位同學(xué)等車(chē)不超過(guò)8分鐘的概率為_(kāi)_______． [答案]　 [解析]　 如圖，記“8分鐘內(nèi)乘坐8路車(chē)或23路車(chē)”為事件A，則A所占區(qū)域面積為8×10＋7×8＝136，整個(gè)區(qū)域的面積為10×15＝150. 由幾何概型的概率公式，得P(A)＝＝. 即這位同學(xué)等車(chē)不超過(guò)8分鐘的概率為. 三、解答題 5．(文)在等腰Rt△ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)作一條射線(xiàn)CD與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)D，求AD

12、故∠ACB＝90°可看成試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，在線(xiàn)段AB上取一點(diǎn)E，使AE＝AC，則∠ACE＝67.5°可看成所求事件構(gòu)成的區(qū)域，所以滿(mǎn)足條件的概率為＝. (理)設(shè)有一個(gè)等邊三角形網(wǎng)格，其中各個(gè)最小等邊三角形的邊長(zhǎng)都是4cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)的概率． [分析]　硬幣落下后與格線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是硬幣中心與格線(xiàn)的距離都大于半徑1，在等邊三角形內(nèi)作三條與正三角形三邊距離為1的直線(xiàn)，構(gòu)成小等邊三角形，當(dāng)硬幣中心在小等邊三角形內(nèi)時(shí)，硬幣與三邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，所以硬幣與格線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)就轉(zhuǎn)化為硬幣中心落在小等邊三角形內(nèi)的問(wèn)題． [解析]　設(shè)A

13、＝{硬幣落下后與格線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)}，如圖所示，在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形，使其三邊與原等邊三角 形三邊距離都為1，則等邊三角形的邊長(zhǎng)為4－2＝2， 由幾何概率公式， 得P(A)＝＝. 6．(文)設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． [解析]　設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”， 當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要

14、條件為a≥b. (1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值． 事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}， 構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}， 故所求的概率為P(A)＝＝. (理) 已知函數(shù)f(x)＝ax2－2bx＋a(a，b∈R)． (1)若a從集合{0,1,2,3}中任取一個(gè)元素，b從

15、集合{0,1,2,3}中任取一個(gè)元素，求方程f(x)＝0恰有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率； (2)若b從區(qū)間[0,2]中任取一個(gè)數(shù)，a從區(qū)間[0,3]中任取一個(gè)數(shù)，求方程f(x)＝0沒(méi)有實(shí)根的概率． [解析]　(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一個(gè)元素，b取集合{0,1,2,3}中任一個(gè)元素 ∴a，b取值的情況是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值． 即基本事件總數(shù)為16. 設(shè)“方程f(x

16、)＝0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A 當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程f(x)＝0恰有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為b>a且a不等于零 當(dāng)b>a且a≠0時(shí)，a，b取值的情況有(1,2)，(1,3)，(2,3) 即A包含的基本事件數(shù)為3， ∴方程f(x)＝0恰有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率P(A)＝. (2)由b從區(qū)間[0,2]中任取一個(gè)數(shù)，a從區(qū)間[0,3]中任取一個(gè)數(shù)則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域 {(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2} 這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積Sa＝2×3＝6 設(shè)“方程f(x)＝0沒(méi)有實(shí)根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的 區(qū)域?yàn)? {(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a>b}其面積S

17、b＝6－×2×2＝4 由幾何概型的概率計(jì)算公式可得： 方程f(x)＝0沒(méi)有實(shí)根的概率P(B)＝＝＝. 7．投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面中，有兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是0，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是2，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是4，將此玩具連續(xù)拋擲兩次，以?xún)纱纬弦幻娴臄?shù)字分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)． (1)求點(diǎn)P落在區(qū)域C：x2＋y2≤10內(nèi)的概率； (2)若以落在區(qū)域C上的所有點(diǎn)為頂點(diǎn)作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率． [解析]　(1)以0、2、4為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)P有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9個(gè)，而這些點(diǎn)中，落在區(qū)域C內(nèi)的點(diǎn)有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4個(gè)， ∴所求概率為P＝. (2)∵區(qū)域M的面積為4，而區(qū)域C的面積為10π， ∴所求概率為P＝＝.