2020高考數(shù)學總復習 第五單元第八節(jié)正、余弦定理的應用舉例

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1、第五單元 第八節(jié)正、余弦定理的應用舉例一、選擇題1.如圖,為了測量障礙物兩側A、B間的距離,給定下列四組數(shù)據(jù)為了簡便,測量時應當用數(shù)據(jù)()A,a,b B, Ca,b, Da,b,【解析】測得a,b,后,由余弦定理即可計算A、B間的距離【答案】C2從A處望B處的仰角為,從B處望A處的俯角為,則、的關系為()A BC90 D180【解析】由仰角和俯角的定義知,與的余角為夾在兩水平線之間的內錯角關系,故90.【答案】C3已知兩燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東60的方向上,則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10 B北偏西10C南偏東10 D

2、南偏西10【解析】如圖,由題意知ACB80,ACBC,CABABC50.MBCN,MBCNCB60,MBAMBCABC10,即燈塔A在燈塔B的北偏西10方向上【答案】B4(精選考題池州模擬)一船向正北航行,看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西60,另一燈塔在船的南偏西75,則這艘船的速度是每小時()A5海里 B5 海里C10海里 D10 海里【解析】如圖所示,依題意有BAC60,BAD75,所以CADCDA15,從而CDCA10,在RtABC中,得AB5,所以這艘船的速度是10(海里/小時)【答案】C5.如圖所示,B、C、D在地平面

3、同一直線上,DC10 m,從D、C兩地測得A的仰角分別為30、45,則點A距地面的距離等于()A10 m B5 m C5(1) m D5(1) m【解析】設點A距地面的距離等于x,則BCx,ACx,在ADC中,由正弦定理得,解得x5(1)【答案】D6.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20,燈塔B在觀察站C的南偏東40,則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km【解析】易知ACB120,在ABC中,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a23a2,ABa.【答案】B7一船自西向東勻速

4、航行,上午10時到達一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為()A. 海里/小時 B34 海里/小時C. 海里/小時 D34 海里/小時【解析】如圖所示,在PMN中,MN34,v (海里/小時)【答案】A二、填空題8在ABC中,AC,BC2,B60,則A_.【解析】由正弦定理,sinA.BC2AC,A為銳角,A45.【答案】459在ABC中,BC1,B,當ABC的面積等于時,tanC_.【解析】SABCacsinB,c4,b2a2c22accosB13,cosC,sinC,tanC2.【答案】210(精選考題舟山調研)甲船在A處觀察乙

5、船,乙船在它的北偏東60的方向,兩船相距a海里,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的 倍,則甲船應取_方向才能追上乙船【解析】如圖所示,設到C點甲船追上乙船,乙到C地用的時間為t,乙船速度為v,則BCtv,ACtv,B120.由正弦定理知,sinCAB,CAB30,故甲船應取北偏東30方向【答案】北偏東30三、解答題11如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內,B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75,30,于水面C處測得B點和D點的仰角均為60,AC0.1 km.試探究圖中B,D間距離與另外哪兩點間距離相等,然后求B,D的距離【解析】在ACD中,D

6、AC30,ADC60DAC30,所以CDAC0.1.又因為BCD180606060,故CB是CAD底邊AD的中垂線,所以BDBA.在ABC中,即AB,因此,BD(km)故B,D的距離為 km.12.(精選考題陜西高考)如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點現(xiàn)位于A點北偏東45,B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60且與B點相距20 海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時,該救援船到達D點需要多長時間?【解析】由題意知AB5(3)(海里),DBA906030,DAB904545,ADB180(4530)105.在DAB中,由正弦定理得,DB10(海里),又DBCDBAABC303060,BC20 海里,在DBC中,由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900,CD30(海里),則需要的時間t1(小時)該救援船到達D點需要1小時

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