2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第16講 圓錐曲線的定義 方程與性質(zhì)專題限時(shí)集訓(xùn) 理

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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(十六)[第16講　圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)] (時(shí)間：10分鐘＋35分鐘) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 2．橢圓＋＝1(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點(diǎn)為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為(　　) A. B. C. D. 3．已知雙曲線－＝1的離心率為e，則它的漸近線方程為(　　) A．y＝± x B．y＝± x C．y＝± x

2、D．y＝± x 4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C，若＝，·＝12，則p的值為________． 圖16－1 1．如圖16－1，拋物線C1：y2＝2px和圓C2：2＋y2＝，其中p>0，直線l經(jīng)過拋物線C1的焦點(diǎn)，依次交拋物線C1，圓C2于A，B，C，D四點(diǎn)，則·的值為(　　) A. B. C. D．p2 2．設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|＝(　　) A．2 B. C．4 D．2 3．已知M是橢

3、圓＋＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是△MF1F2的內(nèi)心，連接MP并延長交F1F2于N，則的值為(　　) A. B. C. D. 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，l為其準(zhǔn)線，過F任作一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，A′、B′分別為A、B在l上的射影，M為A′B′的中點(diǎn)，給出下列命題： ①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F與AM的交點(diǎn)在y軸上；⑤AB′與A′B交于原點(diǎn)．其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為(5,0)，一條漸近線方程為2x－y＝0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

4、方程是________． 6．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F與橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，它們在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為T，且TF與x軸垂直，則橢圓的離心率為________． 7．點(diǎn)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)P在第一象限時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為________． 8.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，并與直線y＝x＋2相切． (1)求橢圓C的方程； (2)如圖16－2，過圓D：x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線m，n.求證：m⊥n. 圖16－2

5、 9．如圖16－3，已知點(diǎn)D(0，－2)，過點(diǎn)D作拋物線C1：x2＝2py(p>0)的切線l，切點(diǎn)A在第二象限，如圖16－3. (1)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)； (2)若離心率為的橢圓＋＝1(a>b>0)恰好經(jīng)過切點(diǎn)A，設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k1，k2，若k1＋2k2＝4k，求橢圓方程． 圖16－3 專題限時(shí)集訓(xùn)(十六) 【基礎(chǔ)演練】 1．B　【解析】 由題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，又∵其準(zhǔn)線方程為x＝－＝－2，∴p＝4，所求拋物線方程為y2＝

6、8x. 2．B　【解析】 根據(jù)已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝(負(fù)值舍去)，故所求的橢圓的離心率為. 3．B　【解析】 ＝＝，故雙曲線的漸近線方程是y＝± x. 4．1　【解析】 設(shè)A，B，F(xiàn)，由＝得，＝(－p，yB)，由此得t2＝3p2，yB＝－t.設(shè)C，則＝，＝(0,2t)，所以·＝12得4t2＝12，故p＝1. 【提升訓(xùn)練】 1．A　【解析】 當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k，與y2＝2px聯(lián)立消去y得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，拋物線的焦點(diǎn)為F，則|AB|＝|AF|－|BF|＝x

7、1＋－＝x1，同理|CD|＝x2，∴·＝|AB||CD|＝x1x2＝；當(dāng)l⊥x軸時(shí)，易得|AB|＝|CD|＝，∴·＝，故選A. 2．D　【解析】 根據(jù)已知△PF1F2是直角三角形，向量＋＝2，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出.·＝0，則|＋|＝2||＝||＝2. 3．A　【解析】 由于三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理把所求的比值轉(zhuǎn)化為三角形邊長之間的比值關(guān)系．如圖，連接PF1，PF2.在△MF1N中，F(xiàn)1P是∠MF1N的角平分線，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，＝，同理可得＝，故有＝＝，根據(jù)等比定理＝＝＝. 4．D　【解析】 如圖，設(shè)A

8、(x1，y1)，B(x2，y2)，則A′，B′，F(xiàn)，M，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)y1y2＝－p2.①kA′F·kB′F＝·＝＝－1； ②kAM·kBM＝·＝－，其中(2x1＋p)(2x2＋p)＝4x1x2＋2px1＋2px2＋p2＝4＋y＋y＋p2＝y(tǒng)＋y＋2p2＝y(tǒng)＋y－2y1y2＝(y1－y2)2， 所以kAM·kBM＝－1； ③kA′F＝＝，kBM＝＝＝＝； ④設(shè)A′F與y軸的交點(diǎn)是(0，t)，則＝，即t＝y(tǒng)1；設(shè)AM與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，r)，則＝，由于＝＝＝，所以＝，即r＝(－x1)＋y1＝·＋y1＝y(tǒng)1，故A′F與AM的交點(diǎn)在y軸上； ⑤kOA＝＝＝－，kOB′＝，故A，

9、O，B′三點(diǎn)共線，同理可證A′，O，B三點(diǎn)共線． 5.－＝1　【解析】 設(shè)所求的雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則c＝5，＝2，解得a2＝5，b2＝20. 6.－1　【解析】 依題意c＝，由＋＝1求得y＝，得T的坐標(biāo)，即＝p，∴b2＝2ac，∴c2＋2ac－a2＝0， ∴e2＋2e－1＝0，解得e＝－1(負(fù)值舍去)． 7.　【解析】 |PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·1＝8＝|F1F2|·yP＝3yP.所以yP＝. 8．【解答】 (1)由e＝知a2＝3b2， 橢圓方程可設(shè)為＋＝1. 又直線y＝x

10、＋2與橢圓相切，代入得方程 4x2＋12x＋12－3b2＝0滿足Δ＝0.由此得b2＝1. 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：設(shè)P(x0，y0)．當(dāng)x0＝±時(shí)，有一條切線斜率不存在，此時(shí)，剛好y0＝±1，可見，另一條切線平行于x軸，m⊥n； 當(dāng)x0≠±時(shí)，則兩條切線斜率存在．設(shè)直線m的斜率為k，則其方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx＋y0－kx0. 代入＋y2＝1并整理得 (1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(y0－kx0)2－3＝0. 由Δ＝0可得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0， 注意到直線n的斜率也適合這個(gè)關(guān)系，所以m，n的斜率k1，k2就

11、是上述方程的兩根，由韋達(dá)定理，k1k2＝. 由于點(diǎn)P在圓D：x2＋y2＝4上，3－x＝－(1－y)， 所以k1k2＝－1，所以m⊥n. 綜上所述，過圓D上任意一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線m，n，總有m⊥n. 9．【解答】 (1)設(shè)切點(diǎn)A(x0，y0)，且y0＝，由切線l的斜率為k＝，得l的方程為y＝x－，又點(diǎn)D(0，－2)在l上， ∴＝2，即切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2. (2)由(1)得A(－2，2)，切線斜率k＝－， 設(shè)B(x1，y1)，切線方程為y＝kx－2，由e＝，得a2＝4b2， 所以設(shè)橢圓方程為＋＝1，且過A(－2，2)， ∴b2＝p＋4. 由?(1＋4k2)x2－16kx＋16－4b2＝0， ∴ k1＋2k2＝＋＝＝ ＝3k－ ＝3k－＝3k－ ＝3k－＝4k， 將k＝－，b2＝p＋4代入得p＝32，所以b2＝36，a2＝144， 所以橢圓方程為＋＝1.