2020年高三數(shù)學二輪復習 專題四第二講 數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和教案 理

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1、第二講數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和研熱點（聚焦突破）類型一 數(shù)列的通項問題1累加法求通項：形如an1anf(n)2累乘法求通項：形如f(n)3構造法：形如：an1panq.4已知Sn求an，即an例1(2020年高考廣東卷)設數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列Sn的前n項和為Tn，滿足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式解析(1)當n1時，T12S112.因為T1S1a1，所以a12a11，解得a11.(2)當n2時，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1，所以Sn2Sn12n1，所以Sn12Sn2n1，得an12an2.所以an122(an2)

2、，即2(n2)當n1時，a123，a226，則2，所以當n1時也滿足上式所以an2是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an232n1，所以an32n12.跟蹤訓練數(shù)列an中，a11，對所有的n2，都有a1a2a3ann2，數(shù)列an的通項公式為_解析：由題意，當n2時，a1a2a3ann2，故當n2時，有a1a2224，又因為a11，所以a24.故當n3時，有a1a2a3an1(n1)2，由，得an.而當n1時，a11，不滿足上式，n2時，滿足上式所以數(shù)列an的通項公式為an答案：類型二 數(shù)列求和數(shù)列求和的方法技巧(1)轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可

3、轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并；(2)錯位相減法這是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列；(3)裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和例2(2020年高考浙江卷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2n2n，nN*，數(shù)列bn滿足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列anbn的前n項和Tn.解析(1) 由Sn2n2n，得當n1時，a1S13；當n2時，anSnSn14n1.所以an4n1，nN*.由4n

4、1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*，所以Tn3721122(4n1)2n1，2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.跟蹤訓練(2020年高考課標全國卷)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為()A3 690B3 660C1 845 D1 830解析：利用數(shù)列的遞推式的意義結合等差數(shù)列求和公式求解an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1

5、，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案：D類型三 數(shù)列的綜合應用1數(shù)列的綜合應用多涉及函數(shù)、不等式、解析幾何等知識2數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法：(1)作差：an1an與0的關系；(2)作商：與1的關系例3(2020年高考廣東卷)設數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有12n2(n2n)1

6、2n22n22n(n1)，11(1)1(1)，即.跟蹤訓練(2020年北京東城模擬)已知數(shù)列an滿足a1，(n2，nN)(1)試判斷數(shù)列(1)n是否為等比數(shù)列，并說明理由；(2)設cnansin ，數(shù)列cn的前n項和為Tn.求證：對任意的nN*，Tn.解析：(1)由an得(1)n，所以(1)n2(1)n2(1)n1又130，故數(shù)列(1)n是首項為3，公比為2的等比數(shù)列(2)證明：由(1)得(1)n3(2)n1.所以3(2)n1(1)n，an，所以cnansin (1)n1.所以Tn1()n.析典題（預測高考）高考真題【真題】(2020年高考湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)該企業(yè)

7、第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元(1)用d表示a1，a2，并寫出an1與an的關系式；(2)若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)【解析】(1)由題意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4500d.an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1d(an2d)d()2an2dd()n1

8、a1d1()2()n2整理得an()n1(3 000d)2d()n11()n1(3 0003d)2d.由題意，知am4 000，即()m1(3 0003d)2d4 000，解得d.即該企業(yè)每年上繳資金d的值為時，經(jīng)過m(m3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元【名師點睛】本題考查利用遞推數(shù)列求通項的方法，考查綜合利用數(shù)列知識分析解決實際問題的能力，難度較大，解答本題的關鍵是求出遞推關系an1and，并變形求an.考情展望高考對數(shù)列的通項與求和的考查多以解答題形式出現(xiàn)，主要考查an與Sn的關系，以及錯位相減求和、裂項求和及分組轉(zhuǎn)化求和，難度中檔偏上名師押題【押題】在平面直角坐標系中，設不等式組(n

9、N*)表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內(nèi)的整點(橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)為an.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn12bnan，b113.求證：數(shù)列bn6n9是等比數(shù)列，并求出數(shù)列bn的通項公式【解析】(1)由得0x3，所以平面區(qū)域為Dn內(nèi)的整點為點(3，0)或在直線x1和x2上直線y2n(x3)與直線x1和x2交點縱坐標分別為y14n和y22n，Dn內(nèi)在直線x1和x2上的整點個數(shù)分別為4n1和2n1，an4n12n116n3.(2)由bn12bnan得bn12bn6n3，bn16(n1)92(bn6n9)，b16192，bn6n9是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，bn6n92n，bn2n6n9.