2020年高三數(shù)學二輪復習 專題四第二講 數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和教案 理

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1、第二講數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和研熱點(聚焦突破)類型一 數(shù)列的通項問題1累加法求通項:形如an1anf(n)2累乘法求通項:形如f(n)3構造法:形如:an1panq.4已知Sn求an,即an例1(2020年高考廣東卷)設數(shù)列an的前n項和為Sn,數(shù)列Sn的前n項和為Tn,滿足Tn2Snn2,nN*.(1)求a1的值;(2)求數(shù)列an的通項公式解析(1)當n1時,T12S112.因為T1S1a1,所以a12a11,解得a11.(2)當n2時,SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1,所以Sn2Sn12n1,所以Sn12Sn2n1,得an12an2.所以an122(an2)

2、,即2(n2)當n1時,a123,a226,則2,所以當n1時也滿足上式所以an2是以3為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以an232n1,所以an32n12.跟蹤訓練數(shù)列an中,a11,對所有的n2,都有a1a2a3ann2,數(shù)列an的通項公式為_解析:由題意,當n2時,a1a2a3ann2,故當n2時,有a1a2224,又因為a11,所以a24.故當n3時,有a1a2a3an1(n1)2,由,得an.而當n1時,a11,不滿足上式,n2時,滿足上式所以數(shù)列an的通項公式為an答案:類型二 數(shù)列求和數(shù)列求和的方法技巧(1)轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將數(shù)列通項拆開或變形,可

3、轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列,即先分別求和,然后再合并;(2)錯位相減法這是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和,其中an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列;(3)裂項相消法利用通項變形,將通項分裂成兩項的差,通過相加過程中的相互抵消,最后只剩下有限項的和例2(2020年高考浙江卷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn2n2n,nN*,數(shù)列bn滿足an4log2bn3,nN*.(1)求an,bn;(2)求數(shù)列anbn的前n項和Tn.解析(1) 由Sn2n2n,得當n1時,a1S13;當n2時,anSnSn14n1.所以an4n1,nN*.由4n

4、1an4log2bn3,得bn2n1,nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1,nN*,所以Tn3721122(4n1)2n1,2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n,所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5,nN*.跟蹤訓練(2020年高考課標全國卷)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1,則an的前60項和為()A3 690B3 660C1 845 D1 830解析:利用數(shù)列的遞推式的意義結合等差數(shù)列求和公式求解an1(1)nan2n1,a21a1,a32a1,a47a1,a5a1,a69a1,a72a1,a815a1,a9a1

5、,a1017a1,a112a1,a1223a1,a57a1,a58113a1,a592a1,a60119a1,a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案:D類型三 數(shù)列的綜合應用1數(shù)列的綜合應用多涉及函數(shù)、不等式、解析幾何等知識2數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法:(1)作差:an1an與0的關系;(2)作商:與1的關系例3(2020年高考廣東卷)設數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足2Snan12n11,nN*,且a1,a25,a3成等差數(shù)列(1)求a1的值;(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)證明:對一切正整數(shù)n,有12n2(n2n)1

6、2n22n22n(n1),11(1)1(1),即.跟蹤訓練(2020年北京東城模擬)已知數(shù)列an滿足a1,(n2,nN)(1)試判斷數(shù)列(1)n是否為等比數(shù)列,并說明理由;(2)設cnansin ,數(shù)列cn的前n項和為Tn.求證:對任意的nN*,Tn.解析:(1)由an得(1)n,所以(1)n2(1)n2(1)n1又130,故數(shù)列(1)n是首項為3,公比為2的等比數(shù)列(2)證明:由(1)得(1)n3(2)n1.所以3(2)n1(1)n,an,所以cnansin (1)n1.所以Tn1()n.析典題(預測高考)高考真題【真題】(2020年高考湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)該企業(yè)

7、第一年年初有資金2 000萬元,將其投入生產(chǎn),到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元(1)用d表示a1,a2,并寫出an1與an的關系式;(2)若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)【解析】(1)由題意得a12 000(150%)d3 000d,a2a1(150%)da1d4500d.an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1d(an2d)d()2an2dd()n1

8、a1d1()2()n2整理得an()n1(3 000d)2d()n11()n1(3 0003d)2d.由題意,知am4 000,即()m1(3 0003d)2d4 000,解得d.即該企業(yè)每年上繳資金d的值為時,經(jīng)過m(m3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元【名師點睛】本題考查利用遞推數(shù)列求通項的方法,考查綜合利用數(shù)列知識分析解決實際問題的能力,難度較大,解答本題的關鍵是求出遞推關系an1and,并變形求an.考情展望高考對數(shù)列的通項與求和的考查多以解答題形式出現(xiàn),主要考查an與Sn的關系,以及錯位相減求和、裂項求和及分組轉(zhuǎn)化求和,難度中檔偏上名師押題【押題】在平面直角坐標系中,設不等式組(n

9、N*)表示的平面區(qū)域為Dn,記Dn內(nèi)的整點(橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)為an.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若bn12bnan,b113.求證:數(shù)列bn6n9是等比數(shù)列,并求出數(shù)列bn的通項公式【解析】(1)由得0x3,所以平面區(qū)域為Dn內(nèi)的整點為點(3,0)或在直線x1和x2上直線y2n(x3)與直線x1和x2交點縱坐標分別為y14n和y22n,Dn內(nèi)在直線x1和x2上的整點個數(shù)分別為4n1和2n1,an4n12n116n3.(2)由bn12bnan得bn12bn6n3,bn16(n1)92(bn6n9),b16192,bn6n9是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列,bn6n92n,bn2n6n9.

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