2020年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教案 理

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1、第一講等差數(shù)列、等比數(shù)列研熱點(聚焦突破)類型一 等差、等比數(shù)列的基本運算例1(2020年高考山東卷)在等差數(shù)列an中,a3a4a584,a973.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)對任意mN*,將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm,求數(shù)列bm的前m項和Sm.解析(1)因為an是一個等差數(shù)列,所以a3a4a53a484,所以a428.設(shè)數(shù)列an的公差為d,則5da9a4732845,故d9.由a4a13d得28a139,即a11,所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對mN*,若9man92m,則9m89n92m8,因此9m11n92m1,故得bm92m1

2、9m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).跟蹤訓(xùn)練1(2020年皖北四市聯(lián)考)已知數(shù)列an為等比數(shù)列,且a14,公比為q,前n項和為Sn,若數(shù)列Sn2也是等比數(shù)列,則q()A2B2C3 D3解析:因為數(shù)列Sn2是等比數(shù)列,所以(S12)(S32)(S22)2,即6(64q4q2)(64q)2,即q(q3)0,q0,q3.答案:C2(2020年高考廣東卷)已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11,a3a4,則an_解析:利用等差數(shù)列的通項公式求解設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則由a3a4,得12d(1d)24,d24,d2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列,d2.an1(n1)22n1.答案:2n1

3、類型二 等差、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法:利用定義證明an1an(nN*)為常數(shù);利用中項性質(zhì),即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法:利用定義證明(nN*)為一常數(shù);利用等比中項,即證明aan1an1(n2)例2(2020年高考陜西卷)設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列,其前n項和為Sn,且a5,a3,a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的公比;(2)證明:對任意kN,Sk2,Sk,Sk1成等差數(shù)列解析(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0,q1),由a5,a3,a4成等差數(shù)列,得2a3a5a4,即2a1q2

4、a1q4a1q3.由a10,q0得q2q20,解得q12,q21(舍去),所以q2.(2)證明:證法一對任意kN,Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0,所以對任意kN,Sk2,Sk,Sk1成等差數(shù)列證法二對任意kN,2Sk,Sk2Sk1,2Sk(Sk2Sk1)2(1qk)(2qk2qk1)(q2q2)0,因此,對任意kN,Sk2,Sk,Sk1成等差數(shù)列跟蹤訓(xùn)練已知數(shù)列an和bn滿足a1m,an1ann,bnan.(1)當(dāng)m1時,求證:對于任意的實數(shù),數(shù)列an一定不是等差數(shù)列;(2)當(dāng)時,試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列解析:(1)證明:當(dāng)m1時,a

5、11,a21,a3(1)222.假設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列,由a1a32a2,得232(1),即210,30,方程無實根故對于任意的實數(shù),數(shù)列an一定不是等差數(shù)列(2)當(dāng)時,an1ann,bnan.bn1an1(ann)an(an)bn,b1a1m.當(dāng)m時,數(shù)列bn是以m為首項,為公比的等比數(shù)列;當(dāng)m時,數(shù)列bn不是等比數(shù)列類型三 等差等比數(shù)列的性質(zhì)例3(1)(2020年高考福建卷)等差數(shù)列an中,a1a510,a47,則數(shù)列an的公差為()A1 B2 C3 D4(2)(2020年高考廣東卷)若等比數(shù)列an滿足a2a4,則a1aa5_解析(1)解法一利用基本量法求解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意

6、得解得 d2.解法二利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解在等差數(shù)列an中,a1a52a310,a35.又a47,公差d752.(2)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解數(shù)列an為等比數(shù)列,a2a4a,a1a5a.a1aa5a.答案(1)B(2)跟蹤訓(xùn)練(2020年高考安徽卷)公比為2的等比數(shù)列an的各項都是正數(shù),且a3a1116,則log2a10()A4 B5C6 D7解析:利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式求解a3a1116,a16.又等比數(shù)列an的各項都是正數(shù),a74.又a10a7q342325,log2a105.故選B.答案:B析典題(預(yù)測高考)高考真題【真題】(2020年高考天津卷)已知an是等差數(shù)列,其前n項和為Sn

7、,bn是等比數(shù)列,且a1b12,a4b427,S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式;(2)記Tna1b1a2b2anbn,nN*,證明:Tn8an1bn1(nN*,n2)【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,由a1b12,得a423d,b42q3,S486d.由條件,得方程組解得所以an3n1,bn2n,nN*.(2)證明:由(1)得Tn22522823(3n1)2n,2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由,得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18,即Tn8(3n4)2n1.而當(dāng)n2時,an1bn1(3n

8、4)2n1,所以Tn8an1bn1,nN*,n2.【名師點睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式、數(shù)列求和等知識,本題(2)中,解題的關(guān)鍵是利用錯位相減求和法準(zhǔn)確求出Tn,否則不會得出結(jié)論考情展望高考對等差、等比數(shù)列基本運算的考查一是在選擇、填空中考查,二是在解答題中求通項時進(jìn)行考查,難度較低,注意方程思想與整體思想的運用名師押題【押題】已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a35,S15225.(1)求數(shù)列an的通項an;(2)設(shè)bn2an2n,求數(shù)列bn的前n項和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an首項為a1,公差為d,由題意,得解得an2n1.(2)bn2an2n4n2n,Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n4nn2n.

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