2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練（三） 理 新課標(biāo)(湖南專用)

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1、2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練（三） 理 新課標(biāo)(湖南專用) 時量：50分鐘　　　滿分：50分 解答題：本大題共4小題，第1,2,3小題各12分，第4小題14分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 　1.已知鈍角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且有(a－c)cosB＝bcosC. (1)求角B的大??； (2)設(shè)向量m＝(cos2A＋1，cosA)，n＝(1，－)，且m⊥n，求tan(＋A)的值． 解析：(1)因為(a－c)cosB＝bcosC， 由正弦定理，得(sinA－sinC)cosB＝sinB·cosC， 所以sinA·cosB－si

2、nC·cosB＝sinB·cosC， 即sinA·cosB＝sinB·cosC＋sinC·cosB， 所以sinA·cosB＝sin(B＋C)． 因為在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA， 所以sinAcosB＝sinA. 又sinA≠0，所以cosB＝，B＝. (2)因為m⊥n，所以m·n＝0， 即cos2A＋1－cosA＝0，所以2cos2A－cosA＝0， 即2cosA(cosA－)＝0. 因為cosA≠0，所以cosA＝， 所以sinA＝，tanA＝， 則tan(A＋)＝＝＝7. 　2.設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1

3、,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求方程有實根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取一個數(shù)，求方程有實根的概率． 解析：方程有實根的充要條件為a2≥b2. (1)基本事件共12個，其中(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)滿足條件，則P＝＝. (2)試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿足題意的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以P＝＝. 　3.如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行

4、四邊形，SA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝1，SB＝，∠BAD＝120°，E在棱SD上． (1)當(dāng)SE＝3ED時，求證SD⊥平面AEC； (2)當(dāng)二面角S－AC－E的大小為30°時，求直線AE與平面CDE所成角的正弦值． 解析：方法1：(1)在平行四邊形ABCD中，由AD＝1，CD＝2，∠BAD＝120°，易知CA⊥AD. 又SA⊥平面ABCD，所以CA⊥SA， 所以CA⊥平面SAD，所以SD⊥AC， 在直角三角形SAB中，易得SA＝， 在直角三角形SAD中，∠ADE＝60°，SD＝2， 又SE＝3ED，所以DE＝， 可得AE＝ ＝ ＝. 所以AE2＋DE2＝AD

5、2，所以SD⊥AE. 又因為AC∩AE＝A，所以SD⊥平面AEC. (2)由(1)可知，CA⊥SA，CA⊥AE， 可知∠EAS為二面角E－AC－S的平面角， 所以∠EAS＝30°，此時E為SD的中點． 過A作AF⊥CD，連接SF， 則CD⊥平面SAF，所以平面SAF⊥平面SCD. 作AG⊥SF，則AG⊥平面SCD，連接EG. 可得∠AEG為直線AE與平面SCD所成的角． 因此AF＝，SA＝， 所以AG＝＝. 在Rt△AGE中，sin∠AEG＝＝， 直線AE與平面CDE所成角的正弦值大小為. 方法2：依題意易知CA⊥AD，SA⊥平在ACD. 以A為坐標(biāo)原點，AC、

6、AD、SA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則易得A(0,0,0)，C(，0,0)，D(0,1,0)，S(0,0，)． (1)由SE∶ED＝3，有E(0，，)， 易得，從而SD⊥平面ACE. (2)由AC⊥平面SAD，二面角E－AC－S的平面角，∠EAS＝30°. 又易知∠ASD＝30°，則E為SD的中點， 即E(0，，)． 設(shè)平面SCD的法向量為n＝(x，y，z)， 則，令z＝1，得n＝(1，，1)。 從而cos〈，n〉＝＝ ＝. 直線AE與平面CDE所成角的正弦值大小為. 　4.某企業(yè)生產(chǎn)并直銷某品牌高科技電子產(chǎn)品，由以往的銷售情況可知，今后該產(chǎn)品的銷售狀況呈

7、現(xiàn)如下趨勢，若該產(chǎn)品的日銷售量為x件時，每件產(chǎn)品的銷售利潤g(x)(單位：萬元)近似地滿足：g(x)＝，設(shè)日銷售量為x件的總利潤為f(x)． (1)若要求日銷售總利潤f(x)超過x萬元，則日銷售量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ (2)若該企業(yè)為實現(xiàn)節(jié)能減排的環(huán)保目標(biāo)，要求該產(chǎn)品的日銷售量x∈[6,16]，試問在實現(xiàn)環(huán)保目標(biāo)的條件下，該產(chǎn)品的日銷售總利潤f(x)在什么范圍內(nèi)？ 解： 由題意知f(x)＝， (1)當(dāng)0x，即f(x)>x成立， 所以04時，由f(x)>x，即>x， 得x－2－3<0， 解得0<<3，即00，f(x)遞增． 所以x＝9時，[f(x)]min＝＝9. 又x＝6時，f(6)＝＝4， x＝16時，f(16)＝＝>4. 故產(chǎn)品的日銷售總利潤f(x)在[9，]萬元之間．