《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第35講 數(shù)列的綜合應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第35講 數(shù)列的綜合應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第35講數(shù)列的綜合應(yīng)用【課程要求】1會(huì)利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)解與方程、不等式、解析幾何相結(jié)合的數(shù)列綜合題2掌握相關(guān)的數(shù)列模型以及建立模型解決實(shí)際問題的方法對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p94【基礎(chǔ)檢測(cè)】1我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤斬末一尺，重二斤問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的10段，記第i段的重量為ai(i1，2，10)，且a1a2a10，若48ai5M，則i()A6B5C4D7解析由
2、題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為an，設(shè)公差為d，則解得a1，d，該金杖的總重量M1015，48ai5M，4875，即396i75，解得i6.答案A2若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p0，q0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于()A6B7C8D9解析由題意知abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2這三個(gè)數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有：a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比數(shù)列的情況有：a，2，b；b，2，a.或解得或p5，q4，pq9，故選D.答案D3設(shè)yf是一次函數(shù)，若f1，且f，
3、f，f成等比數(shù)列，則fff_.解析由題意可設(shè)fkx1，則，解得k2，fff2n23n.答案2n23n4小李年初向銀行貸款M萬元用于購房，購房貸款的年利率為p，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分10次等額還清，每年1次，則每年應(yīng)還()A.萬元B.萬元C.萬元D.萬元解析設(shè)每年應(yīng)還x萬元，則xxxxM，M，得x.答案B【知識(shí)要點(diǎn)】1數(shù)列綜合問題中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想(1)用函數(shù)的觀點(diǎn)與思想認(rèn)識(shí)數(shù)列，將數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式視為定義在正整數(shù)集或其有限子集1，2，n上的函數(shù)(2)用方程的思想處理數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列基本量的方程(3)用轉(zhuǎn)化化歸的思想探究數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來研
4、究(4)數(shù)列綜合問題常常應(yīng)用分類討論思想、特殊與一般思想、類比聯(lián)想思想、歸納猜想思想等2解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么(3)求解求出該問題的數(shù)學(xué)解(4)還原將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中3數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變
5、化時(shí)，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p95等差、等比數(shù)列的綜合問題例1已知公比不為1的等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1，前n項(xiàng)和為Sn，且a4S4，a5S5，a6S6成等差數(shù)列(1)求等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)nN*，在an與an1之間插入3n個(gè)數(shù)，使這3n2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這3n個(gè)數(shù)的和為bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解析 (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍4S4，a5S5，a6S6成等差數(shù)列，所以a5S5a4S4a6S6a5S5，即2a63a5a40，所以2q23q10.因?yàn)閝1，所以q，所以等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)由題意得
6、bn3n，Tn.小結(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的兩大解題策略(1)設(shè)置中間問題：分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的順序(2)注意解題細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等，這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令cn，問是否存在正整數(shù)m，k(1m1且mN*則為奇整數(shù)，k1(舍去)或k7，將k7代入(*)式得m2，故存在m2，k7
7、使得c1，cm，ck成等差數(shù)列.數(shù)列與不等式的綜合問題例2已知數(shù)列中，a11，an1.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足bnan，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，若不等式Tn對(duì)一切nN*恒成立，求的取值范圍解析 (1)由an1，得1，3，所以數(shù)列是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，從而3n1an.(2)由(1)可知bn.Tn123n，123n，兩式相減得n2，Tn4，4，若n為偶數(shù)，則4，3；若n為奇數(shù)，則4，2，23.小結(jié)數(shù)列與不等式綜合問題的兩個(gè)方面(1)數(shù)列型不等式恒成立或存在性問題，先參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題，數(shù)列的最值常選擇用做差或者作商來處理；(2)數(shù)列不等式有時(shí)候需要用放縮法來證明，將通
8、項(xiàng)的分母放大或縮小成可以求和的形式再證明2設(shè)Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，Sn2ann.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求證：1，所以1.又因?yàn)?，所?22.綜上，132500，即2n132，得n6，該企業(yè)從2023年開始年底分紅后的資金超過32500萬元對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p971(2017全國卷理)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞B3盞C5盞D9盞解析設(shè)塔的頂層共有燈x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為x，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合
9、等比數(shù)列的求和公式有：381，解得x3，即塔的頂層共有燈3盞答案B2(2019北京理)已知數(shù)列an，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、第im項(xiàng)(i1i2im)，若ai1ai2aim，則稱新數(shù)列ai1，ai2，aim為an的長(zhǎng)度為m的遞增子列規(guī)定：數(shù)列an的任意一項(xiàng)都是an的長(zhǎng)度為1的遞增子列(1)寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；(2)已知數(shù)列an的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為am0，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為an0.若pq，求證：am0an0；(3)設(shè)無窮數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等若an的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s1，且長(zhǎng)度為s末
10、項(xiàng)為2s1的遞增子列恰有2s1個(gè)(s1，2，)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析 (1)1，3，5，6.(答案不唯一)(2)設(shè)長(zhǎng)度為q末項(xiàng)為an0的一個(gè)遞增子列為ar1，ar2，arq1，an0.由pq，得arparq1an0.因?yàn)榈拈L(zhǎng)度為p的遞增子列末項(xiàng)的最小值為am0，又ar1，ar2，arp是的長(zhǎng)度為p的遞增子列，所以am0arp.所以am0an0.(3)由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是中的項(xiàng)先證明：若2m是中的項(xiàng)，則2m必排在2m1之前(m為正整數(shù))假設(shè)2m排在2m1之后設(shè)ap1，ap2，apm1，2m1是數(shù)列的長(zhǎng)度為m末項(xiàng)為2m1的遞增子列，則ap1，ap2，apm1，2m1，2m是數(shù)列的長(zhǎng)度為m1
11、末項(xiàng)為2m的遞增子列與已知矛盾再證明：所有正偶數(shù)都是中的項(xiàng)假設(shè)存在正偶數(shù)不是中的項(xiàng)，設(shè)不在中的最小的正偶數(shù)為2m.因?yàn)?k排在2k1之前(k1，2，m1)，所以2k和2k1不可能在的同一個(gè)遞增子列中又中不超過2m1的數(shù)為1，2，2m2，2m1，2m1，所以的長(zhǎng)度為m1且末項(xiàng)為2m1的遞增子列個(gè)數(shù)至多為112m12m.與已知矛盾最后證明：2m排在2m3之后(m2為整數(shù))假設(shè)存在2m(m2)，使得2m排在2m3之前，則的長(zhǎng)度為m1且末項(xiàng)為2ml的遞增子列的個(gè)數(shù)小于2m.與已知矛盾綜上，數(shù)列只可能為2，1，4，3，2m3，2m，2m1，.經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列2，1，4，3，2m3，2m，2m1，符合條件所以an12
（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第35講 數(shù)列的綜合應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 新人教A版
