（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復(fù)習 第七章 不等式 第39講 基本（均值）不等式導(dǎo)學案 新人教A版

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1、第39講基本(均值)不等式【課程要求】1了解基本(均值)不等式的證明過程2會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題對應(yīng)學生用書p105【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)yx的最小值是2.()(2)函數(shù)f(x)cosx，x的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“2”的充要條件()(4)若a0，則a3的最小值為2.()(5)不等式a2b22ab與有相同的成立條件()(6)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項()答案 (1)(2)(3)(4)(5)(6)2必修5p99例1(2)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為()A80B77C81D82解析x0，y

2、0，即xy81，當且僅當xy9時，(xy)max81.答案C3必修5p100A組T2若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.解析設(shè)矩形的一邊為xm，則另一邊為(202x)(10x)m，yx(10x)25，當且僅當x10x，即x5時，ymax25.答案254若x0，則x()A有最小值，且最小值為2B有最大值，且最大值為2C有最小值，且最小值為2D有最大值，且最大值為2解析因為x0，x2，當且僅當x1時，等號成立，所以x2.答案D5已知0x1，則x(33x)取得最大值時x的值為()A.B.C.D.解析0x0，則函數(shù)yx的最小值為()A0B.C1D.解析yx2220，當

3、且僅當x，即x時等號成立函數(shù)的最小值為0.故選A.答案A【知識要點】1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：_a0，b0_(2)等號成立的條件：當且僅當_ab_2幾個重要的不等式(1)a2b2_2ab_(a，bR)；(2)_2_(a，b同號)；(3)ab(a，bR)；(4)(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：_兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)_4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，(1)如果xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果xy是定值q，那么當且僅當xy時，xy有

4、最大值是(簡記：和定積最大)對應(yīng)學生用書p105利用基本(均值)不等式求最值一、拼湊法求最值例1(1)設(shè)0x0，n0)過點(1，2)，則的最小值為()A2B6C12D32解析因為直線2mxny20(m0，n0)過點(1，2)，所以2m2n20，即mn1，所以(mn)332，當且僅當“，即nm”時取等號，所以的最小值為32，故選D.答案D小結(jié)1.常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值2常數(shù)代換法求解最值應(yīng)注意的問題(1)條件的靈活變

5、形，確定或分離出常數(shù)是基礎(chǔ)；(2)已知等式化成“1”的表達式，是代數(shù)式等價變形的關(guān)鍵；(3)利用基本不等式求最值時注意基本不等式的前提條件2已知正數(shù)x，y滿足x2yx0，則x2y的最小值為_解析由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)4448，當且僅當x2y時等號成立答案8三、消元法求最值例3若正數(shù)x，y滿足x26xy10，則x2y的最小值是()A.B.C.D.解析因為正數(shù)x，y滿足x26xy10，所以y.由即解得0x1.所以x2yx2，當且僅當，即x，y時取等號故x2y的最小值為.答案A小結(jié)通過消元法求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)

6、的最值求解有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解基本(均值)不等式與函數(shù)的綜合問題例4某書商為提高某套叢書的銷量，準備舉辦一場展銷會據(jù)市場調(diào)查，當每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到(150.1x)萬套現(xiàn)出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤售價供貨價格問：(1)每套叢書售價定為100元時，書商所獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？解析 (1)每套叢書售價定

7、為100元時，銷售量為150.11005(萬套)，所以每套叢書的供貨價格為3032(元)，故書商所獲得的總利潤為5(10032)340(萬元)(2)每套叢書售價定為x元時，由得0x150.設(shè)單套叢書的利潤為P元，則Pxx30，因為0x150，所以150x0，所以P120，又(150x)221020，當且僅當150x，即x140時等號成立，所以Pmax20120100.故每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，為100元小結(jié)利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的方法(1)此類型的題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解(2)當運用基本不等式求最值時，若

8、等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解3某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_解析一年的總運費為6(萬元)一年的總存儲費用為4x萬元總運費與總存儲費用的和為萬元因為4x2240，當且僅當4x，即x30時取得等號，所以當x30時，一年的總運費與總存儲費用之和最小答案30基本(均值)不等式的綜合應(yīng)用一、求參數(shù)值或取值范圍例5當0m時，若k22k恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A2，0)(0，4 B4，0)(0，2C4，2 D2，4解析因為0m0，當x0時，f(x)x222，當且僅當x時取等號；當x0時，f(x)x222，當且僅當x時取等號，所以解得a1，故選C.答案C5已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項am，an使得4a1，則的最小值為()A.B.C.D.解析由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)因為4a1，所以qmn216，所以2mn224，所以mn6.所以(mn).當且僅當時，等號成立，又mn6，解得m2，n4，符合題意故的最小值為.答案A10