（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第17講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第17講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第17講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第17講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題【課程要求】掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題的基本題型，提升通過(guò)構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決不等式、方程等問(wèn)題的能力對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p47【基礎(chǔ)檢測(cè)】1某品牌電動(dòng)汽車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為yx3x240x(x0)，為使耗電量最小，則速度應(yīng)定為_解析令yx239x400，得x1或x40，由于當(dāng)0x40時(shí)，y40時(shí)，y0.所以當(dāng)x40時(shí)，y有最小值答案402從邊長(zhǎng)為10cm16cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則盒子容積的最大值為_cm3.解析設(shè)盒子容積為ycm3，盒子的高為xcm，x(0，5)則y(102x)(162x)x4x352x2160x，y1

2、2x2104x160.令y0，得x2或x(舍去)，ymax6122144(cm3)答案1443若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x)xf(x)0，則()A3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)解析由于f(x)xf(x)，則0在(0，)上恒成立，因此在(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)，f(3)答案B4已知函數(shù)f1lnx，若存在x00，使得f0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa2Ba0，使得f0有解，則由f1lnx0，即1lnx，即axxlnx，設(shè)hxxlnx，則hlnx，由h0得lnx0，得0x1，此時(shí)函數(shù)遞增，由h1，此時(shí)函數(shù)遞減，即當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)h取得極大值h1ln11，即h1

3、，若axxlnx有解，則a1，故選C.答案C5若函數(shù)f(x)x2exa恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.C(0，4e2) D(0，)解析函數(shù)yx2exa的導(dǎo)數(shù)為y2xexx2exxex(x2)，令y0，則x0或2，當(dāng)2x0上時(shí)，y0，函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在x2處取極大值，在x0處取極小值，函數(shù)的極值為：f(0)a，f(2)4e2a，已知函數(shù)f(x)x2exa恰有三個(gè)零點(diǎn)，故a0，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案B【知識(shí)要點(diǎn)】1優(yōu)化問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題相關(guān)的利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題2導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用3導(dǎo)數(shù)與不等式(1)不等式的證明可以通過(guò)構(gòu)造函

4、數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)換為探究函數(shù)值的大小，然后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而實(shí)現(xiàn)不等式的證明(2)含參數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題，通過(guò)分離變量，構(gòu)造函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值問(wèn)題，然后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值4導(dǎo)數(shù)與方程方程根的存在性問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為函數(shù)極值和單調(diào)性問(wèn)題研究，然后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及數(shù)形結(jié)合確定方程根的存在性和個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p48利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題例1某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和4

5、0千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度解析 (1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5，40)，(20，2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知y(5x20)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B兩點(diǎn)，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5，20設(shè)g(t)t2，t5，

6、20，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當(dāng)t(5，10)時(shí)，g(t)0，g(t)是減函數(shù)；當(dāng)t(10，20)時(shí)，g(t)0，g(t)是增函數(shù)從而，當(dāng)t10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時(shí)f(t)min15.故當(dāng)t10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米小結(jié)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值(4)回歸實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合實(shí)

7、際問(wèn)題作答1某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大解析 (1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002rh200rh元，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又根據(jù)題意知200rh160r212000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(

8、300r4r3)因?yàn)閞0，又由h0可得r5，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0，5)(2)因?yàn)閂(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(舍去)當(dāng)r(0，5)時(shí)，V(r)0，故V(r)在(0，5)上為增函數(shù)；當(dāng)r(5，5)時(shí)，V(r)0，故V(r)在(5，5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8.即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例2設(shè)函數(shù)falnx2x.(1)當(dāng)a3時(shí)，求f的極值；(2)當(dāng)a1時(shí)，證明：f2x.解析 (1)當(dāng)a3時(shí)，f3lnx2x，f2(x0), 當(dāng)x時(shí)，f0, f在上單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，f0)，

9、所以不等式f2x可變?yōu)閘nx.要證明上述不等式成立，即證明xlnx1.設(shè)gxlnx1，h(x)，則glnx1，令g0，得x，在上，g0, g是增函數(shù)所以gg1.h，令h0得x1，在上，h0, h是增函數(shù)；在上，h0, h是減函數(shù)，所以hh1，所以hg，即，由此可知f2x.小結(jié)證明不等式的常用方法構(gòu)造法(1)證明f(x)g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，則F(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)0，由減函數(shù)的定義可知，x(a，b)時(shí)，有F(x)0，即證明了f(x)g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，則F(

10、x)在(a，b)上是增函數(shù)，同時(shí)若F(a)0，由增函數(shù)的定義可知，x(a，b)時(shí)，有F(x)0，即證明了f(x)g(x)2已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)kx(kR)(1)證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x；(2)證明：當(dāng)k0，使得對(duì)任意的x(0，x0)恒有f(x)g(x)解析 (1)令F(x)f(x)xln(1x)x，x0，)，則有F(x)1.當(dāng)x(0，)時(shí)，F(xiàn)(x)0時(shí)，F(xiàn)(x)0時(shí)，f(x)0，故G(x)在0，)上單調(diào)遞增，G(x)G(0)0，故任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意當(dāng)0k0，取x01，對(duì)任意x(0，x0)，有G(x)0，從而G(x)在0，x0)上單調(diào)遞增，所以G(x)G(0)0，即f(

11、x)g(x)綜上，當(dāng)k0，使得對(duì)任意x(0，x0)恒有f(x)g(x)利用導(dǎo)數(shù)解決含參不等式問(wèn)題例3已知函數(shù)fex1ax，aR.(1)討論函數(shù)f的單調(diào)區(qū)間；(2)若x，flnxa1恒成立，求a的取值范圍解析 (1)f(x)ex1a.(i)當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；(ii)當(dāng)a0，即xln(a)1，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)0，即xln(a)1，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(ln(a)1，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln(a)1)(2)令a1，由(1)可知，函數(shù)fex1x的最小值為f0，所以ex1x

12、0，即ex1x.flnxa1恒成立與flnxa10恒成立等價(jià)，令gflnxa1，即gex1alnx1，則gex1a.當(dāng)a2時(shí)，gex1axa2aa20.(或令ex1，則ex1在上遞增，0，在上遞增，2.g0.)g在區(qū)間上單調(diào)遞增，gg0，flnxa1恒成立當(dāng)a2時(shí)，令hex1a，則hex1，當(dāng)x1時(shí)，h0，函數(shù)h單調(diào)遞增又h2a0，存在x0，使得h0，故當(dāng)x時(shí)，hh0，即gh0，即g0，故函數(shù)g在上單調(diào)遞增，gg0時(shí)，x1(kx)f(x)恒成立，求整數(shù)k的最大值解析 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，且f(x)exa.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)在(，)上是增函數(shù)，f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)

13、，令f(x)exa0，得xlna.xlna時(shí)f(x)lna時(shí)f(x)0，此時(shí)f(x)在(lna，)上是增函數(shù)，所以f(x)有極小值f(lna)aalna2，無(wú)極大值，綜上：當(dāng)a0時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，有極小值f(lna)aalna2，無(wú)極大值.(2)法一：若a1，則f(x)exx2，f(x)ex1.所以x1(kx)f(x)(kx)(ex1)(x0)，分離參數(shù)得：k0)令g(x)x(x0)，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)上單調(diào)遞增，又h(1)e30，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零點(diǎn)，即g(x)在(0，)上存在唯一的零點(diǎn)設(shè)此零點(diǎn)為，則(1，2)當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x

14、)0.所以g(x)在(0，)上的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2，3)，由于式等價(jià)于k(kx)f(x)(kx)(ex1)，即(xk)(ex1)x10，令g(x)(xk)(ex1)x1(x0)，則g(x)(xk1)ex.當(dāng)1k0，即k1時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，g(x)g(0)1; 當(dāng)1k1時(shí)，x(0，k1)時(shí)，g(x)0，此時(shí)g(x)ming(k1)k1ek1，設(shè)h(k)k1ek1(k1)，則h(k)1ek11)，所以h(k)k1ek1在(1，)上單調(diào)遞減，又h(2)3e0，h(3)4e20，故整數(shù)k的最大值為2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的問(wèn)

15、題例4已知f(x)ex(ax2x1)(1)當(dāng)a0時(shí)，求證：f(x)1；(2)當(dāng)00，所以h(x)在上單調(diào)遞增，又h(0)0，所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，h(x)minh(0)0，即h(x)0，(*)式成立所以原不等式成立(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)exax2x1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)而h(x)ex2ax1，h(x)ex2a.令h(x)0，解得xln2a.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以h(x)minh(ln2a)2a2aln2a1，設(shè)m2a，g(m)mmlnm1，而g(m)1(1lnm)lnm，則g(m)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以g(m)maxg(1)0，即h(x)min0 (

16、當(dāng)m1即a時(shí)取等號(hào))1當(dāng)a時(shí)，h(x)min0, 則h(x)0恒成立所以h(x)在R上單調(diào)遞增，又h(0)0，則h(x)有一個(gè)零點(diǎn)；2當(dāng)0a時(shí)，ln2a0，h(x)minh(ln2a)0，則存在x2h(0)0.又x時(shí)，h(x)exax2x10，h(0)0.所以這時(shí)h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上：a時(shí)，原方程有一個(gè)解；當(dāng)0a0，解得x1，所以f(x)在(，2)，(1，)上單調(diào)遞增，在(2，1)上單調(diào)遞減，所以f(x)極小值為f(1)(111)e111.(2)函數(shù)F(x)ef(x)g(x)在(0，)上總有零點(diǎn)，即F(x)exaxb在(0，)上總有零點(diǎn)若a0，則F(x)exaxb在(0，)上單調(diào)遞增，故F

17、(x)在(0，)上總有零點(diǎn)的必要條件是F(0)1.以下證明：當(dāng)b1時(shí)，F(xiàn)(x)exaxb在(0，)上總有零點(diǎn)若a0，由于F(0)1b0，且F(x)在(0，)上連續(xù)，故F(x)在上必有零點(diǎn)；若a0，F(xiàn)(0)1bx2在x(0，)上恒成立，取x0ab1，則F(x0)F(ab)eaba(ab)b(ab)2a2abbabb(b1)b(ab1)0，由于F(0)1b0，故F(x)在(0，ab)上必有零點(diǎn)綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是(1，)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p50(2019全國(guó)卷理)已知函數(shù)f(x)sinxln(1x)，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)證明：(1)f(x)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)解

18、析 (1)設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cosx，g(x)sinx.當(dāng)x時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，而g(0)0，g0；當(dāng)x時(shí)，g(x)0.所以g(x)在(1，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故g(x)在存在唯一極大值點(diǎn)，即f(x)在存在唯一極大值點(diǎn)(2)f(x)的定義域?yàn)?1，)(i)當(dāng)x(1，0時(shí)，由(1)知，f(x)在(1，0)單調(diào)遞增，而f(0)0，所以當(dāng)x(1，0)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(1，0)單調(diào)遞減，又f(0)0，從而x0是f(x)在(1，0的唯一零點(diǎn)(ii)當(dāng)x時(shí)，由(1)知，f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而f(0)0，f0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)0.從而，f(x)在沒(méi)有零點(diǎn)(iii)當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f()1，所以f(x)0，從而f(x)在(，)沒(méi)有零點(diǎn)綜上，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)14