《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 第2講 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 第2講 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示板塊一知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)必備知識(shí)考點(diǎn)1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，稱(chēng)e1，e2為基底若e1，e2互相垂直，則稱(chēng)這個(gè)基底為正交基底；若e1，e2分別為與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，則稱(chēng)單位正交基底考點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)任一向量a，有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得：axiyj，(x，y)叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a(x，y)，顯然i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)考點(diǎn)3平面向量的坐
2、標(biāo)運(yùn)算1設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.2設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.考點(diǎn)4平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)abx1y2x2y10；(2)若a0，則與a平行的單位向量為.必會(huì)結(jié)論1若a與b不共線(xiàn)，ab0，則0.2已知(，為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是1.以上三個(gè)條件任取兩兩組合，都可以得出第三個(gè)條件且1常被當(dāng)作隱含條件運(yùn)用3平面向量一組基底是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，平面向量基底可以有無(wú)窮多組考點(diǎn)自測(cè)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的
3、打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)若a，b不共線(xiàn)，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)在等邊三角形ABC中，向量與的夾角為60.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()答案(1)(2)(3)(4)22018鄭州一模設(shè)向量a(x,1)，b(4，x)，若a，b方向相反，則實(shí)數(shù)x的值是()A0 B2 C2 D2答案D解析由題意可得ab，所以x24，解得x2或2，又a，b方向相反，所以x2.故選D.3課本改編已知點(diǎn)A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A(7,4) B(7,14) C(5,4)
4、D(5,14)答案D解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則(x1，y5)由3a，得解得故選D.42017山東高考已知向量a(2,6)，b(1，)若ab，則_.答案3解析ab，26(1)0，解得3.52015江蘇高考已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_(kāi)答案3解析manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.板塊二典例探究考向突破考向平面向量基本定理的應(yīng)用例12018許昌聯(lián)考在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記，分別為a，b，則()A.ab B.abCab Dab答案B解析如圖，設(shè)，.而bb，.因此，b.由于a，b不
5、共線(xiàn)，因此由平面向量的基本定理，得解之得，.故ab.故選B.觸類(lèi)旁通應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的方法應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：(1)運(yùn)用向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止；(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解【變式訓(xùn)練1】如圖，已知ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)分別是K，L，且e1，e2，試用e1，e2表示，.解設(shè)x，y，則x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，e1e2.同理可得y(2e1e2)，即e1e2
6、.考向平面向量的坐標(biāo)表示例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿(mǎn)足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)觸類(lèi)旁通平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則
7、來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用【變式訓(xùn)練2】2018山東日照一中月考在A(yíng)BC中，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，且2.若(4,3)，(1,5)，則等于()A(6,21) B(2,7)C(6，21) D(2，7)答案A解析由題知，(1,5)(4,3)(3,2)又因?yàn)辄c(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，所以.所以(1,5)(3,2)(2,7)因?yàn)?，所以33(2,7)(6,21)故選A.考向平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示例32018正定檢測(cè)已知a(1,0)，b(2,1)(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka
8、b與a2b共線(xiàn)；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab與a2b共線(xiàn)，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，8m3(2m1)0，m.觸類(lèi)旁通利用兩向量共線(xiàn)解題的技巧(1)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線(xiàn)的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)如果已知兩向量共線(xiàn)，求某些參數(shù)的取值時(shí)，那么利用“若a(x1，y1)
9、，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便【變式訓(xùn)練3】平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿(mǎn)足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k；(3)若d滿(mǎn)足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐標(biāo)解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，解得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(3)設(shè)d(x，y)，則dc(x4，y1)，又ab(2,4)，|dc|，解得或d的坐標(biāo)為(3，1)或(5,3)核心規(guī)律1.平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向
10、量進(jìn)行分解2.向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理，從而用向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問(wèn)題3.在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用滿(mǎn)分策略1.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個(gè)向量共線(xiàn)有方向相同、相反兩種情況2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.3.使用平面向量基本定理時(shí)一定要注意兩個(gè)基向量不共線(xiàn).板塊三啟智培優(yōu)破譯高考創(chuàng)新交匯系列4坐標(biāo)法求向量中的最值問(wèn)題2
11、017全國(guó)卷在矩形ABCD中，AB1，AD2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上若，則的最大值為()A3 B2 C. D2解題視點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出A，B，C，D的坐標(biāo)，用三角函數(shù)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題解析分別以CB，CD所在的直線(xiàn)為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上，可設(shè)P.則(0，1)，(2,0)，.又，sin1，cos1，2sincos2sin()，其中tan，()max3.答案A答題啟示本題首先通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，然后用三角函數(shù)的知識(shí)求出的最大值.引入向量的坐標(biāo)
12、運(yùn)算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了解析法(坐標(biāo)法)解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問(wèn)題奠定了基礎(chǔ).跟蹤訓(xùn)練2018湖南模擬給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上運(yùn)動(dòng)若xy，其中x，yR，求xy的最大值解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，B.設(shè)AOC，則C(cos，sin)，由xy，得所以xcossin，ysin，所以xycossin2sin，又，所以當(dāng)時(shí)，xy取得最大值2.板塊四模擬演練提能增分A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)12018東北三校聯(lián)考已知M(3，2)，N(5，1)，且，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(8
13、,1) B.C. D(8，1)答案B解析設(shè)P(x，y)，則(x3，y2)而(8,1)，解得P.故選B.2已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，若ab，則3a2b()A(7,2) B(7，14)C(7，4) D(7，8)答案B解析ab，m40，m4，b(2，4)，3a2b3(1，2)2(2，4)(7，14)故選B.3若AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)，(3,5)，(2,4)，則()A(1，1) B(5,9)C(1,1) D(3,5)答案A解析由題意可得(2,4)(3,5)(1，1)故選A.42018福建模擬在下列向量組中，可以把向量a(3,2)表示出來(lái)的是()Ae1(0,0)，e2(1,2
14、)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析若e1(0,0)，e2(1,2)，則e1e2，故a不能由e1，e2表示，排除A；若e1(1,2)，e2(5，2)，因?yàn)?，所以e1，e2不共線(xiàn)，根據(jù)平面向量基本定理，可以把向量a(3,2)表示出來(lái)，C，D選項(xiàng)中e1，e2都為共線(xiàn)向量，故a不能由e1，e2表示故選B.52018廣西模擬若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c()Aab B.abC.ab Dab答案B解析設(shè)c1a2b，則(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得1，2，所以cab.故選
15、B.6已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)A(1，)，則與同向的單位向量的坐標(biāo)為()A. B.C. D.答案A解析與同向的單位向量a，又|2，故a(1，).故選A.7已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿(mǎn)足的條件是()Ak2 BkCk1 Dk1答案C解析若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則向量，共線(xiàn)，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.故選C.8若三點(diǎn)A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案解析(a1,3)，(3,4)，據(jù)題意知，4(a1)3(3)，即4a5，a.9201
16、8延安模擬已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)答案(2,4)解析因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，DC2AB，ABCD，所以2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，所以(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，所以解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)10向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若cab(，R)，則_.答案4解析以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1)，則A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，
17、b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即61，23.解得2，4.B級(jí)知能提升12018廣東七校聯(lián)考已知向量i，j不共線(xiàn)，且imj，nij，m1，若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)m，n應(yīng)滿(mǎn)足的條件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1答案C解析因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，存在非零實(shí)數(shù)，使得，即imj(nij)，所以(1n)i(m)j0，又因?yàn)閕與j不共線(xiàn)，所以則mn1.故選C.22018棗莊模擬在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的值為()A. B. C. D.答案B解析由已知得，32，即2()，即2，如圖所示，故C為BA的靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，因而.選B.3
18、.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)若，其中，R，則_.答案解析選擇，作為平面向量的一組基底，則，又，于是得即故.42018杭州測(cè)試如圖，以向量a，b為鄰邊作OADB，用a，b表示，.解ab，ab，ab.ab，ab，ababab.綜上，ab，ab，ab.5.2018衡水中學(xué)調(diào)研如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2.若(，R)，求的值解解法一：如圖，作平行四邊形OB1CA1，則，因?yàn)榕c的夾角為120，與的夾角為30，所以B1OC90.在RtOB1C中，OCB130，|OC|2，所以|OB1|2，|B1C|4，所以|OA1|B1C|4，所以42，所以4，2，所以6.解法二：以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B，C(3，)由，得解得所以6.15
（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 第2講 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案
