江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 函數(shù)與導數(shù) 第3講 函數(shù)、導數(shù)的綜合問題學案

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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 函數(shù)與導數(shù) 第3講 函數(shù)、導數(shù)的綜合問題學案考情考向分析函數(shù)和導數(shù)的綜合問題，主要是利用導數(shù)證明不等式問題、函數(shù)零點問題、函數(shù)的實際應用問題等，一般需要研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，注重數(shù)學思想的考查B級要求，題目難度較大熱點一利用導數(shù)研究不等式問題例1已知函數(shù)f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：對一切x(0，)，ln x恒成立(1)解由題意知2xln xx2ax3對一切x(0，)恒成立，則a2ln xx.設h(x)2ln xx(x0)，則h(x)，當x(0,1)時，h(

2、x)0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1)4.因為對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即實數(shù)a的取值范圍是(，4(2)證明問題等價于證明xln x(x(0，)恒成立又f(x)xln x，f(x)ln x1，當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)minf.設m(x)(x(0，)，則m(x)，易知m(x)maxm(1)，從而對一切x(0，)，ln x恒成立思維升華利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可以分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值

3、問題跟蹤演練1已知函數(shù)f(x)ln xax2x，aR.(1)若f(1)0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)若關于x的不等式f(x)ax1恒成立，求整數(shù)a的最小值解(1)因為f(1)10，所以a2，此時f(x)ln xx2x(x0)，f(x)2x1(x0)由f(x)0，解得x1.又因為x0，所以x1.所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，)(2)方法一由f(x)ax1恒成立，得ln xax2xax1在(0，)上恒成立，問題等價于a在(0，)上恒成立令g(x)(x0)，只需ag(x)max即可又g(x)，令g(x)0，得xln x0.設h(x)xln x(x0)，因為h(x)0；當x(x0，)時，g(

4、x)0，h(1)0，所以x01，此時10，所以g(x)0，所以g(x)在(0，)上是增函數(shù)又因為g(1)ln 1a(1a)1a20，所以關于x的不等式f(x)ax1不能恒成立當a0時，g(x).令g(x)0，得x.所以當x時，g(x)0；當x時，g(x)0，h(2)ln 20，又h(a)在(0，)上是減函數(shù)，所以當a2時，h(a)0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標 (1)求炮的最大射程；(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2 km，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20.由實際意義

5、和題設條件知x0，k0，故x10，當且僅當k1時取等號所以炮的最大射程為10 km.答炮的最大射程為10 km.(2)因為a0，所以炮彈可擊中目標存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立關于k的方程a2k220aka2640有正根(20a)24a2(a264)00a6.所以當a不超過6 km時，可擊中目標答當橫坐標a不超過6 km時，炮彈可以擊中飛行物熱點三利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題例3已知函數(shù)f(x)xln x，g(x)x2ax2(e為自然對數(shù)的底數(shù)，aR)(1)判斷曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與曲線yg(x)的公共點個數(shù)；(2)當x時，若函數(shù)yf(x)g(x)有兩個零點，求a的

6、取值范圍解(1)f(x)ln x1，所以切線斜率kf(1)1.又f(1)0，所以曲線在點(1,0)處的切線方程為yx1.由得x2(1a)x10.由(1a)24a22a3(a1)(a3)可知，當0，即a1或a3時，有兩個公共點；當0，即a1或a3時，有一個公共點；當0，即1a3時，沒有公共點(2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，x，由y0，得axln x.令h(x)xln x，x，則h(x).當x時，由h(x)0，得x1.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在1，e上單調(diào)遞增，因此h(x)minh(1)3.由h2e1，h(e)e1，比較可知hh(e)，所以，結(jié)合函數(shù)圖象，可得當3ae1時，函數(shù)yf

7、(x)g(x)有兩個零點思維升華(1)研究函數(shù)圖象的交點、方程的根、函數(shù)的零點，歸根到底還是研究函數(shù)的圖象，如單調(diào)性、值域、與x軸的交點等(2)由函數(shù)零點求參數(shù)范圍，一般要根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象，構(gòu)造滿足問題的不等式求解跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR)(1)當a2時，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍解(1)當a2時，f(x)2ln xx22x(x0)，f(x)2x2，切點坐標為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m，則g(x

8、)2x.因為x，所以當g(x)0時，x1.當x0；當1xe時，g(x)0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，則g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e)所以g(x)在上有兩個零點的條件是解得1m2，所以實數(shù)m的取值范圍是.1(2018江蘇)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚內(nèi)的地塊形狀為CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上設OC與MN所成的角為.(

9、1)用分別表示矩形ABCD和CDP的面積，并確定sin 的取值范圍；(2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43.求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大解(1)如圖，設PO的延長線交MN于點H，則PHMN，所以OH10.過點O作OEBC于點E，則OEMN，所以COE，故OE40cos ，EC40sin ，則矩形ABCD的面積為240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )，CDP的面積為240cos (4040sin )1 600(cos sin cos )過點N作GNMN，分別交圓弧和OE的延長線于點G和K，則GK

10、KN10.令GOK0，則sin 0，0.當時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sin 的取值范圍是.答矩形ABCD的面積為800(4sin cos cos )平方米，CDP的面積為1 600(cos sin cos )平方米，sin 的取值范圍是.(2)因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43，設甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k0)，則年總產(chǎn)值為4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，.設f()sin cos cos ，則f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(

11、2sin 1)(sin 1)令f()0，得，當時，f()0，所以f()為增函數(shù)；當時，f()0，所以f()為減函數(shù)，因此，當時，f()取到最大值答當時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大2已知函數(shù)f(x)在x0處的切線方程為yx.(1)求實數(shù)a的值；(2)若對任意的x(0,2)，都有f(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍解(1)由題意得f(x)，因為函數(shù)在x0處的切線方程為yx，所以f(0)1，解得a1.(2)由題意知f(x)0，即kx22x對任意x(0,2)都成立，從而k0.不等式整理可得k0，函數(shù)g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，同理可得函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減所以k0，所以函數(shù)f(x)2

12、xx32在(0,1)上單調(diào)遞增，且f(0)10210.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有1個零點4若存在正數(shù)x使2x(xa)1成立，則a的取值范圍是_答案(1，)解析2x(xa)1，ax.令f(x)x，則f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)f(0)011，a的取值范圍是(1，)5關于x的方程x33x2a0有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(4,0)解析由題意知使函數(shù)f(x)x33x2a的極大值大于0且極小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，當x0；當0x2時，f(x)2時，f(x)0，所以當x0時，f(x)取

13、得極大值，即f(x)極大值f(0)a；當x2時，f(x)取得極小值，即f(x)極小值f(2)4a，所以解得4a0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x(1,3)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的極小值為f(3)24，極大值為f(1)8.而f(2)1，f(5)8，函數(shù)圖象大致如圖所示故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3個零點，只需函數(shù)f(x)在2,5內(nèi)的函數(shù)圖象與直線ym有3個交點，故即m1,8)7已知不等式exxax的解集為P，若0,2P，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，e1)解析由題意知不等式exxax在x0,2上恒成立當x0時，顯然對任意實數(shù)a，該不等式都成立當x(0,2時

14、，原不等式即a1，令g(x)1，x，則g(x)，當0x1時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，當1x2時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，故g(x)在(0,2上的最小值為g(1)e1，故a的取值范圍為(，e1)8若函數(shù)f(x)x3x在(t,8t2)上有最大值，則實數(shù)t的取值范圍是_答案(3，解析因為f(x)x21，所以當x(，1)和(1，)時，f(x)單調(diào)遞增，當x(1,1)時，f(x)單調(diào)遞減，故x1是函數(shù)f(x)的極大值點又函數(shù)f(x)在(t,8t2)上有最大值，所以t18t2，又f(1)f(2)，且f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，所以f(8t2)f(2)，從而t18t22，得30，當ea0，即a

15、e時，f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且x，f(x)，此時f(x)0不可能恒成立；當eae時，由f(x)0，得x，當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當x時，f(x)e，所以，ae，令aet0，則，t0.令g(t)，t0，則g(t)，由g(t)0，得te，且當t(0，e)時，g(t)0，g(t)單調(diào)遞增，所以g(t)ming(e)，即，故的最小值為.12若曲線C1：yax2(a0)與曲線C2：yex在(0，)上存在公共點，則a的取值范圍為_答案解析由題意知方程ax2ex(a0)在(0，)上有解，則a，x(0，)，令f(x)，x(0，)，則f(x)，x(0，)，由f(x)0得x2，當

16、0x2時，f(x)2時，f(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，所以當x2時，函數(shù)f(x)在(0，)上有最小值f(2)，所以a.13已知函數(shù)f(x)，關于x的方程f2(x)2af(x)a10 (aR)有3個相異的實數(shù)根，則a的取值范圍是_答案解析f(x)當x0時，f(x)，當0x1時，f(x)1時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當x1時，函數(shù)f(x)取得極小值f(1)e，當x0時，f(x)0，函數(shù)單調(diào)遞增，如圖，畫出函數(shù)的圖象，設tf(x)，當te時，tf(x)有3個實根，當te時，tf(x)有2個實根，當0t1.當yln x的切線斜率為1時，y1，得x1，則yln x在點(1,

17、0)處的切線與yx平行，則點(1,0)到直線yx的距離，得1(3舍去)15已知函數(shù)f(x)2x5ln x，g(x)x2mx4，若存在x1(0,1)，對任意x21,2，總有f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍解題意等價于f(x)在(0,1)上的最大值大于或等于g(x)在1,2上的最大值f(x)，由f(x)0，得x或x2.當x時，f(x)0，當x時，f(x)0，所以在(0,1)上，f(x)maxf35ln 2.又g(x)在1,2上的最大值為maxg(1)，g(2)，所以有即解得解得m85ln 2，所以實數(shù)m的取值范圍是85ln 2，)16已知函數(shù)f(x)ln x(a0)(1)當a2時，求出

18、函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式f(x)a對于x0的一切值恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，)當a2時，函數(shù)f(x)ln x，所以f(x)，所以當x(0，e)時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減；當x(e，)時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(e，)上單調(diào)遞增綜上，當a2時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(e，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，e)(2)由題意知ln xa(x0)恒成立，等價于xln xae2ax0在(0，)上恒成立令g(x)xln xae2ax，則g(x)ln x1a，令g(x)0，得xea1.當x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x(0，ea1)ea1(ea1，)g(x)0g(x)極小值所以g(x)的最小值為g(ea1)(a1)ea1ae2aea1ae2ea1.令t(x)xe2ex1(x0)，則t(x)1ex1，令t(x)0，得x1.當x變化時，t(x)，t(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)t(x)0t(x)極大值所以當a(0,1)時，g(x)的最小值為t(a)t(0)e20，符合題意；當a1，)時，g(x)的最小值為t(a)ae2ea10t(2)，所以a1,2綜上所述，a(0,2