2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-1-5空間向量運算的坐標(biāo)表示 教案

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-1-5空間向量運算的坐標(biāo)表示 教案 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、 掌握空間向量加減、數(shù)乘、數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示。 2、會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個向量共線或垂直。 3、掌握向量的長度公式、兩向量夾角公式、空間兩點間距離公式；并會應(yīng)用這些知識解決簡單的立體幾何問題。 學(xué)習(xí)重點： 1、利用空間向量的坐標(biāo)運算證明線線垂直或平行。 2、利用空間向量的坐標(biāo)運算求兩點間的距離。 學(xué)習(xí)難點： 利用空間向量的坐標(biāo)運算求兩條異面直線所成的角。 學(xué)習(xí)方法： 類比法和啟發(fā)探究 學(xué)習(xí)過程： 一、復(fù)習(xí)回顧 平面向量坐標(biāo)運算 已知=(,)，=(,)，寫出下列向量

2、的坐標(biāo)表示 +=(+，+) -=(-，-) =(，) = //=0 ⊥=0 設(shè)，則或 如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、， 那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式) cosq =（） 二、新授： 我們知道，向量在平面上可用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示，在空間則可用有序?qū)崝?shù)組表示。類似平面向量的坐標(biāo)運算，我們可以得出空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示。 空間向量的直角坐標(biāo)運算： 1．設(shè)＝，＝，則 ⑴＋＝； ⑵－＝； ⑶λ＝； ⑷·＝. 上述運算法則怎樣證明呢？（將＝＋＋和＝＋＋代入即可） 2．兩個向量共線或垂直的判定：設(shè)＝，＝，則 ⑴/

3、/＝λ，； ⑵⊥·=0 3．向量的模：設(shè)a＝，則｜a｜＝ 利用向量的長度公式，我們還可以得出空間兩點間的距離公式： 4．空間兩點間的距離公式： 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，則A，B兩點間的距離 5、兩個向量夾角公式 這個公式成為兩個向量的夾角公式．利用這個公式，我們可以求出兩個向量的夾角，并可以進一步得出兩個向量的某些特殊位置關(guān)系： 當(dāng)cos＜、＞＝1時，與同向； 當(dāng)cos＜、＞＝－1時，與反向； 當(dāng)cos＜、＞＝0時，⊥． 三、典型例題 例1.設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a

4、－3b)，求k. 解：(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因為(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－. 例2.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，則λ為(　　) A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－ 答案　C 解析　由cos〈a，b〉＝＝＝，化得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝. 例3.．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα， 1，cosα)，則向量 a＋b與a－b的夾角是(　　) A．90

5、° B．60° C．30° D．0° 答案　A解析　∵|a|＝|b|＝，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 例4. 如圖,在正方體中，點分別是的一個四等分點，求與所成的角的余弦值． 分析：如何建系？ → 點的坐標(biāo)？ → 如何用向量運算求夾角？ 解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建 立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則　　　　 因此與所成的角的余弦值是。 例5： 如圖，正方體中，點E,F分別是的中點，求證：. 證明：如圖，不妨設(shè)正方體的棱長為1，分別以，,為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則 所以 又 所以 所以 因此 ,即。 四、課堂小結(jié) 1.基本知識： （1）空間向量坐標(biāo)表示及其運算 （2）向量的長度公式與兩點間的距離公式； （3）求兩個向量的夾角或角的余弦值的關(guān)鍵是在合適的直角坐標(biāo)系中找出兩個向量的坐標(biāo)，然后再用公式計算. 2.思想方法： 用向量計算或證明幾何問題時，可以先建立直角坐標(biāo)系，然后把向量、點坐標(biāo)化，借助向量的直角坐標(biāo)運算法則進行計算或證明。 五．鞏固練習(xí) 課本2、3題和7題。 六、作業(yè) 課本5、8、10題。