2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第一講 排列與組合、二項(xiàng)式定理學(xué)案 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第一講 排列與組合、二項(xiàng)式定理學(xué)案 理考點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成,則要用分類加法計(jì)數(shù)原理將方法種數(shù)相加;如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成,則要用分步乘法計(jì)數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘對點(diǎn)訓(xùn)練1已知I1,2,3,A,B是集合I的兩個(gè)非空子集,且A中所有元素的和大于B中所有元素的和,則集合A,B共有()A12對 B15對 C18對 D20對解析依題意,當(dāng)A,B均有一個(gè)元素時(shí),有3對;當(dāng)B有一個(gè)元素,A有兩個(gè)元素時(shí),有CC28對;當(dāng)B有一個(gè)元素,A有三個(gè)元素時(shí),有3對;當(dāng)B有兩個(gè)元素,A有三個(gè)

2、元素時(shí),有3對;當(dāng)A,B均有兩個(gè)元素時(shí),有3對所以共有3833320對,選D.答案D2(2018河北唐山二模)用兩個(gè)1,一個(gè)2,一個(gè)0可組成不同四位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A18 B16 C12 D9解析根據(jù)題意,分3步進(jìn)行分析:0不能放在千位,可以放在百位、十位和個(gè)位,有3種情況,在剩下的3個(gè)數(shù)位中任選1個(gè),安排2,有3種情況,在最后2個(gè)數(shù)位安排2個(gè)1,有1種情況,則可組成339個(gè)不同的四位數(shù),故選D.答案D3.現(xiàn)有5種不同顏色的染料,要對如圖所示的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行涂色,要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能使用同一種顏色,則不同的涂色方法的種數(shù)是()A120 B140C240 D260解析由題意,先涂A處共有5

3、種涂法,再涂B處有4種涂法,最后涂C處,若C處與A處所涂顏色相同,則C處有1種涂法,D處有4種涂法;若C處與A處所涂顏色不同,則C處有3種涂法,D處有3種涂法,由此可得不同的涂色方法有54(1433)260(種),故選D.答案D快速審題看到計(jì)數(shù)問題,想到分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用技巧(1)在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理時(shí),一般先分類再分步,每一步當(dāng)中又可能用到分類計(jì)數(shù)原理(2)對于復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合使用的問題,可恰當(dāng)列出示意圖或表格,使問題形象化、直觀化考點(diǎn)二排列、組合排列與組合的異同點(diǎn)對點(diǎn)訓(xùn)練1馬路上有七盞路燈,晚上用時(shí)只亮三盞燈,且任意兩盞亮燈不相鄰,則不同的開

4、燈方案共有()A60種 B20種 C10種 D8種解析根據(jù)題意,可分兩步完成:第一步,先安排四盞不亮的路燈,只有1種情況;第二步,四盞不亮的路燈排好后,有5個(gè)空位,在5個(gè)空位中任意選3個(gè),插入三盞亮的路燈,有C10(種)情況故不同的開燈方案共有11010(種),故選C.答案C2(2018山西四校聯(lián)考)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A72 B120 C144 D168解析依題意,先僅考慮3個(gè)歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為AA144,其中3個(gè)歌舞類節(jié)目互不相鄰但2個(gè)小品類節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為AAA24,因此滿足題意的排法種

5、數(shù)為14424120,選B.答案B探究追問(1)若第2題中,“同類節(jié)目不相鄰”改為“同類節(jié)目必須相鄰”,則有多少種不同的排法?(2)若第2題中,“同類節(jié)目不相鄰”改為“相聲類節(jié)目不排第一個(gè),小品類節(jié)目不排最后一個(gè),則有多少種不同的排法?”解析(1)(捆綁法)將歌舞類節(jié)目,2個(gè)小品類節(jié)目分別各自作一個(gè)節(jié)目與相聲類節(jié)目排列,共有A種不同排法又歌舞類節(jié)目有A種排法,小品類節(jié)目有A種排法,所以共有AAA72(種)不同排法(2)分兩類:第一類,若第一個(gè)節(jié)目排歌舞類,由于最后一個(gè)不排小品類節(jié)目,有AAA216(種)排法;第二類,若第一個(gè)節(jié)目排小品類節(jié)目,則有AAA192(種)排法故共有216192408(

6、種)不同的排法答案(1)72種(2)408種3(2018全國卷)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有_種(用數(shù)字填寫答案)解析解法一:從2位女生,4位男生中選3人,且至少有1位女生入選的情況有以下2種:2女1男:有CC4種選法;1女2男:有CC12種選法,故至少有1位女生入選的選法有41216種解法二:從2位女生,4位男生中選3人有C20種選法,其中選出的3人都是男生的選法有C4種,所以至少有1位女生入選的選法有20416種答案164(2018北京西城一模)某種產(chǎn)品的加工需要A,B,C,D,E五道工藝,其中A必須在D的前面完成(不一定相鄰),其他工藝

7、的順序可以改變,但不能同時(shí)進(jìn)行,為了節(jié)省加工時(shí)間,B與C必須相鄰,那么完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有_種(用數(shù)字作答)解析B與C必須相鄰,看作一個(gè)元素,與剩下三個(gè)元素全排列共有A種排法,而B與C的順序有A種排法,又A必須在D的前面完成,所以完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有24(種)答案24快速審題(1)看到“在”與“不在”的排列問題,想到特殊優(yōu)先原則(2)看到相鄰問題,想到捆綁法;看到不相鄰問題,想到插空法(3)看到“至少”“最多”的問題,想到用直接法或間接法解排列組合綜合問題的4個(gè)角度考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理1通項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)Tk1Cankbk(k0,1,2,n),其中C叫做二項(xiàng)式系數(shù)2二

8、項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)CC,CC,CC;(2)CCCC2n;(3)CCCCCC2n1.對點(diǎn)訓(xùn)練1(2018山東棗莊二模)若(x2a)10的展開式中x6的系數(shù)為30,則a等于()A. B. C1 D2解析10展開式的通項(xiàng)公式為Tr1Cx10rrCx102r,令102r4,解得r3,所以x4項(xiàng)的系數(shù)為C;令102r6,解得r2,所以x6項(xiàng)的系數(shù)為C,所以(x2a)10的展開式中x6的系數(shù)為CaC30,解得a2.故選D.答案D2(2018河北邯鄲二模)在n的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64,則x3的系數(shù)為()A15 B45 C135 D405解析 答案C3(2018福建漳州二模)已知(2x

9、1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10,則a2a3a9a10的值為()A20 B0 C1 D20解析令x1,得a0a1a2a9a101,再令x0,得a01,所以a1a2a9a100,又易知a1C21(1)920,所以a2a3a9a1020.答案D4(2018浙江卷)二項(xiàng)式8的展開式的常數(shù)項(xiàng)是_解析 答案7快速審題(1)看到展開式中求二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù),想到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)(2)看到二項(xiàng)式的系數(shù)和問題,想到用賦值法利用二項(xiàng)式定理求解的3種常用思路(1)二項(xiàng)式定理中最關(guān)鍵的是通項(xiàng)公式,求展開式中特定的項(xiàng)或者特定項(xiàng)的系數(shù)均是利用通項(xiàng)公式和方程思想解決的(2)二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和通常是通過對

10、二項(xiàng)式及其展開式中的變量賦值得出的,注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值(3)二項(xiàng)展開式的最大項(xiàng)是通過不等式組確定的1(2017全國卷)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有()A12種 B18種 C24種 D36種解析第一步:將4項(xiàng)工作分成3組,共有C種分法第二步:將3組工作分配給3名志愿者,共有A種分配方法,故共有CA36種安排方式,故選D.答案D2(2018全國卷)5的展開式中x4的系數(shù)為()A10 B20 C40 D80解析5的展開式的通項(xiàng)Tr1C(x2)5r(2x1)r2rCx103r,令103r4,得r2,所以x4的系數(shù)為22C40.故選C

11、.答案C3(2017全國卷)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A80 B40 C40 D80解析(2xy)5的展開式的通項(xiàng)為Tr1C(2x)5r(y)r(1)r25rCx5ryr.其中x2y3項(xiàng)的系數(shù)為(1)322C40,x3y2項(xiàng)的系數(shù)為(1)223C80.于是(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為408040.答案C4(2018浙江卷)從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成_個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)解析含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有CCAA540個(gè),不含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有CCA720個(gè),故一

12、共可以組成5407201260個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)答案12605(2017天津卷)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有_個(gè)(用數(shù)字作答)解析有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有CCA960個(gè)沒有偶數(shù)的四位數(shù)有A120個(gè)故這樣的四位數(shù)一共有9601201080個(gè)答案10801.排列、組合在高中數(shù)學(xué)中占有特殊的位置,是高考的必考內(nèi)容,很少單獨(dú)命題,主要考查利用排列、組合知識(shí)計(jì)算古典概型2二項(xiàng)式定理仍以求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)為主,題目難度一般,多出現(xiàn)在第910或第1315題的位置上熱點(diǎn)課題17分類討論思想在排列組

13、合中的應(yīng)用感悟體驗(yàn)1(2018濟(jì)南二模)某校開設(shè)5門不同的數(shù)學(xué)選修課,每位同學(xué)可以從中任選1門或2門課學(xué)習(xí),甲、乙、丙三位同學(xué)選擇的課沒有一門是相同的,則不同的選法共有()A330種 B420種C510種 D600種解析當(dāng)甲、乙、丙三位同學(xué)都只選1門,不同的選法有A60(種);當(dāng)甲、乙、丙三位同學(xué)有一位選1門,另外兩位選2門,不同的選法有CCCC90(種);當(dāng)甲、乙、丙三位同學(xué)有兩位選1門,另一位選2門,不同的選法有CCCC180(種),共有6090180330(種)答案A2現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1

14、張不同取法的種數(shù)為()A232 B252 C472 D484解析由題意,不考慮特殊情況,共有C種取法,其中同一種顏色的卡片取3張,有4C種取法,3張卡片中紅色卡片取2張有CC種取法,故所求的取法共有C4CCC5601672472種,選C.答案C專題跟蹤訓(xùn)練(二十八)一、選擇題1(2018惠州市二調(diào))旅游體驗(yàn)師小李受某網(wǎng)站邀請,決定對甲、乙、丙、丁這四個(gè)景區(qū)進(jìn)行體驗(yàn)式旅游,若不能最先去甲景區(qū)旅游,不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游,則小李可選的旅游路線數(shù)為()A24 B18 C16 D10解析分兩種情況,第一種:若最后去甲景區(qū),則有A種可選的路線;第二種:若不在最后去甲景區(qū),則有CA種可選的路線所以小

15、李可選的旅游路線數(shù)為ACA10.故選D.答案D2(2018開封市定位考試)某地實(shí)行高考改革,考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外,還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科學(xué)生甲要想報(bào)考某高校的法學(xué)專業(yè),就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科,則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為()A6 B12 C18 D19解析解法一:在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC9(種);在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC9(種);物理、政治、歷史三科都選的選法有1種,所以學(xué)生甲的選考方法共有99119(種),故選D.解法二:從六科中選考三科的選法只有C種,其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科,這種

16、選法只有1種,因此學(xué)生甲的選考方法共有C119(種),故選D.答案D3(2018廣西貴港市聯(lián)考)在6的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為()A240 B60 C60 D240解析6的展開式中,通項(xiàng)公式為Tr1C(x2)6rr(2)rCx123r,令123r0,得r4,故常數(shù)項(xiàng)為T5(2)4C240,故選D.答案D4(2018長郡中學(xué)實(shí)驗(yàn)班選拔考試)若二項(xiàng)式7的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為1,則含x2的項(xiàng)的系數(shù)為()A560 B560 C280 D280解析取x1,得二項(xiàng)式7的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為(1a)7,即(1a)71,解得a2.二項(xiàng)式7的展開式的通項(xiàng)為Tr1C(x2)7rrC(2)rx143r.令143r

17、2,得r4.因此,二項(xiàng)式7的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為C(2)4560,故選A.答案A5將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀,每所大學(xué)至少保送1人,則不同的保送方法共有()A150種 B180種 C240種 D540種解析先將5人分成三組,3,1,1或2,2,1,共有CC25(種)分法;再將三組學(xué)生分到3所學(xué)校有A6(種)分法,故共有256150(種)不同的保送方法故選A.答案A6(2018廣州一模)(x1)6的展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A54 B56 C58 D60解析(x1)6的展開式的常數(shù)項(xiàng)就是6的展開式的常數(shù)項(xiàng)與x1項(xiàng)的系數(shù)之和.6的展開式的通項(xiàng)Tr1C(2x2)

18、6rr(1)r26rCx123r,令123r0得r4,所以常數(shù)項(xiàng)是(1)422C60,令123r1得r,不符合題意,所以6的展開式的x1項(xiàng)是不存在的,故選D.答案D7(2018廣東肇慶三模)(x2y)7的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是()A68y7 B112x3y4C672x2y5 D1344x2y5解析設(shè)第r1項(xiàng)的系數(shù)最大,又rZ,r5.系數(shù)最大的項(xiàng)為T6Cx225y5672x2y5.故選C.答案C8(2018衡水一模)已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人,身穿藍(lán)色衣服的有一人,現(xiàn)將這五人排成一行,要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰,則不同的排法種數(shù)為()A24 B28 C36 D48解析按紅紅之間有

19、藍(lán)、無藍(lán)這兩類來分情況研究(1)當(dāng)紅紅之間有藍(lán)時(shí),則有AA24種情況;(2)當(dāng)紅紅之間無藍(lán)時(shí),則有CACC24種情況因此這五個(gè)人排成一行,穿相同顏色衣服的人不能相鄰,共有242448種排法故選D.答案D9(2018廣東珠海模擬)將5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子至少放一個(gè)球,則不同放法共有()A480種 B360種 C240種 D120種解析根據(jù)題意,將5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子至少放一個(gè)球,則必須有2個(gè)小球放入1個(gè)盒子,其余的小球各單獨(dú)放入一個(gè)盒子,分2步進(jìn)行分析:先將5個(gè)小球分成4組,有C10種分法;將分好的4組全排列,放入4個(gè)盒子,有A24種情況,則不同放法有1

20、024240種故選C.答案C10(2018甘肅二診)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人玩搶紅包游戲,現(xiàn)有4個(gè)紅包,每人最多搶一個(gè),且紅包被全部搶完,4個(gè)紅包中有2個(gè)6元,1個(gè)8元,1個(gè)10元(紅包中金額相同視為相同紅包),則甲、乙都搶到紅包的情況有()A18種 B24種 C36種 D48種解析若甲、乙搶到的是一個(gè)6元和一個(gè)8元的紅包,剩下2個(gè)紅包,被剩下的3人中的2個(gè)人搶走,有AA12(種);若甲、乙搶到的是一個(gè)6元和一個(gè)10元的紅包,剩下2個(gè)紅包,被剩下的3人中的2個(gè)人搶走,有AA12(種);若甲、乙搶到的是一個(gè)8元和一個(gè)10元的紅包,剩下2個(gè)紅包,被剩下的3人中的2個(gè)人搶走,有AC6(種

21、);若甲、乙搶到的是兩個(gè)6元的紅包,剩下2個(gè)紅包,被剩下的3人中的2個(gè)人搶走,有A6(種),根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得,共有36種情況,故選C.答案C11.(2018合肥市三模)某社區(qū)新建了一個(gè)休閑小公園,幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域,如圖所示社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域,要求每個(gè)區(qū)域種植一種顏色的花卉,且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉顏色不能相同,則不同種植方法的種數(shù)為()A96 B114 C168 D240解析首先在a中種植,有4種不同方法,其次在b中種植,有3種不同方法,再次在c中種植,若c與b同色,則d有3種不同方法,若c與b不同色,c有2種不同方法,d有2種不同

22、方法,最后在e中種植,有2種不同方法,所以不同的種植方法共有4313243222168(種),故選C.答案C12(2018鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A72 B120 C192 D240解析若將數(shù)字“124467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù),則末位數(shù)應(yīng)為偶數(shù),若末位數(shù)字為2,因?yàn)楹?個(gè)4,所以偶數(shù)有60(個(gè));若末位數(shù)字為6,同理偶數(shù)有60(個(gè));若末位數(shù)字為4,因?yàn)橛袃蓚€(gè)相同數(shù)字4,所以偶數(shù)有54321120(個(gè))綜上可知,不同的偶數(shù)共有6060120240(個(gè))答案D二、填空題13(2018海南省五校二模)從數(shù)字0,1,2,3,4中任意取

23、出3個(gè)不重復(fù)的數(shù)字組成三位數(shù),則組成的三位數(shù)中是3的倍數(shù)的有_個(gè)解析若取出的3個(gè)數(shù)字中包含0,則由數(shù)字0,1,2或0,2,4組成的三位數(shù)滿足題意,共組成8個(gè)三位數(shù);若取出的3個(gè)數(shù)字中不包含0,則由數(shù)字1,2,3或2,3,4組成的三位數(shù)滿足題意,組成的三位數(shù)共有2A12(個(gè))綜上可知,共有20個(gè)三位數(shù)滿足題意答案2014(2018東北三省四市二模)現(xiàn)將5張連號(hào)的電影票分給甲、乙等5個(gè)人,每人一張,若甲、乙分得的電影票連號(hào),則共有_種不同的分法(用數(shù)字作答)解析電影票號(hào)碼相鄰只有4種情況,則甲、乙2人在這4種情況中選一種,共C種選法,將2張連號(hào)的票分給甲、乙,共有A種分法;其余3張票分給其他3個(gè)人

24、,共有A種分法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得共有CAA48(種)分法答案4815(2018湖北黃岡期末)設(shè)(1ax)2018a0a1xa2x2a2018x2018,若a12a23a32018a20182018a(a0),則實(shí)數(shù)a_.解析已知(1ax)2018a0a1xa2x2a2018x2018,兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),得2018(1ax)2017(a)a12a2x3a3x22018a2018x2017,令x1得,2018a(1a)2017a12a23a32018a20182018a,又a0,所以(1a)20171,即1a1,故a2.答案216設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā),沿x軸跳動(dòng),每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位,經(jīng)過5次跳動(dòng),質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)(3,0)(允許重復(fù)過此點(diǎn))處,則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有_種(用數(shù)字作答)解析解法一:在x軸上,標(biāo)出A(1,0),B(2,0),C(3,0),D(4,0),E(1,0),依題意知,跳動(dòng)4次后,只有在B點(diǎn)或D點(diǎn)可跳到C點(diǎn),畫出樹狀圖,可得結(jié)果為5.OEOABCAOABCBABCCBCDC解法二:將向右跳一次記為1,向左跳一次記為1,需要其和為3,那么應(yīng)為4個(gè)1,1個(gè)1,質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有C5種答案5

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