2022年高中數學蘇教版選修2-2教學案：第1章 1-4 導數在實際生活中的應用

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1、2022年高中數學蘇教版選修2-2教學案：第1章 1-4 導數在實際生活中的應用 面積、體積最大問題 [例1]　用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？ [思路點撥]　不妨設長方體的寬為x m，則長為2x m，高為h＝＝(4.5－3x)m.建立長方體的體積函數模型，再求最值． [精解詳析]　設長方體的寬為x m， 則長為2x m， 高為h＝＝(4.5－3x)m. 故長方體的體積為 V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3. 從而V′(x)＝18

2、x－18x2＝18x(1－x)． 令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)，或x＝1，因此x＝1. 當00； 當1

3、際問題中的最大(小)值時，如果函數在區(qū)間內只有一個極值點，那么依據實際意義，該極值點也就是最值點． 1．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為________cm. 解析：設該漏斗的高為x cm，則底面半徑為 cm，其體積為V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(00； 當

4、小正方形，然后把四邊翻折90°，再焊接而成．問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？ 解：設容器的高為x cm，容積為V(x) cm3，則 V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(00，即V(x)為增函數； 當10

5、0)＝19 600(cm3)． 因此當容器的高為10 cm時，容器的容積最大，最大容積為19 600 cm3. 成本最低(費用最省)問題 [例2]　如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 m2的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16 m，如果池外周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元(池壁厚度忽略不計，且池無蓋)． (1)寫出總造價y(元)與污水處理池長x(m)的函數關系式，并指出其定義域； (2)污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求出最低總造價

6、． [思路點撥]　→→→→→ [精解詳析]　(1)污水處理池長為x m，則寬為 m. 據題意 解得≤x≤16， y＝×400＋×248＋16 000 ＝800x＋＋16 000， (2)由(1)知y′＝800－＝0， 解得x＝18， 當x∈(0,18)時，函數y為減函數； 當x∈(18，＋∞)時，函數y為增函數． 又∵≤x≤16， ∴當x＝16時，ymin＝45 000. ∴當且僅當長為16 m、寬為12.5 m時， 總造價y最低為45 000元． [一點通]　(1)實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等都需要利用導數求解相應函數的最小值，此時根據f

7、′(x)＝0求出函數取極值的點(注意根據實際意義舍去不合適的函數取極值的點)，若函數在該點附近滿足左減右增，則此時惟一的極小值就是所求函數的最小值． (2)在解題過程中很容易忽略關鍵詞“無蓋”，從而多求了一個底面積．實際問題中的用料最省問題一般都是要求幾何體的表面積，但要注意實物的表面積往往會缺少一個底面或側面等． 3．做一個容積為256升的方底無蓋水箱，它的高為________分米時最省材料． 解析：設水箱底面邊長為x分米，則高為分米，用料總面積S＝x2＋4··x＝x2＋， S′＝2x－，令S′＝0得x＝8， 當0＜x＜8時，S′＜0，當x＞8時，S′＞0， 所以當x＝8時，

8、S取得最小值，則高為4分米． 答案：4 4．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經測算，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋)x萬元．假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素．記余下工程的費用為y萬元． (1)試寫出y關于x的函數關系式； (2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？ 解：(1)設需新建n個橋墩， 則(n＋1)x＝m，即n＝－1. 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x ＝256＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256. (2)由(1)知

9、， f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)． 令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64. 當0＜x＜64時，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內為減函數； 當64＜x＜640時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內為增函數． 所以f(x)在x＝64處取得最小值． 此時n＝－1＝－1＝9. 故需新建9個橋墩才能使y最?。? 利潤最大問題 [例3]　某工廠生產某種產品，已知該產品的月生產量x(噸)與每噸產品的價格P(元/噸)之間的關系式為P＝24 200－x2，且生產x噸的成本為R＝50 000＋200x(元)．問該工廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最

10、大？最大利潤是多少？(利潤＝收入－成本) [思路點撥]　根據利潤與生產量以及價格之間的關系，建立滿足題意的函數關系式，然后利用導數求解． [精解詳析]　每月生產x噸時的利潤為 f(x)＝x－(50 000＋200x) ＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)． 由f′(x)＝－x2＋24 000＝0， 解得x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因為f(x)在[0，＋∞)內只有一個點x＝200使f′(x)＝0，且0＜x＜200時，f′(x)＞0；x＞200時，f′(x)＜0；故x＝200就是最大值點，且最大值為f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000

11、＝3 150 000(元)． 所以每月生產200噸產品時，利潤達到最大，最大利潤為315萬元． [一點通]　利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據“利潤＝收入－成本”建立函數關系式，再利用導數求最大值．求解時要注意：①價格要大于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利． 5．某商品一件的成本為30元，在某段時間內，若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，當每件商品的定價為________元時，利潤最大． 解析：利潤為S(x)＝(x－30)(200－x) ＝－x2＋230x－6 000(30≤x≤200)， S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115

12、， 當30≤x<115時，S′(x)>0； 當115

13、6)2. 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤 f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6. 從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x)  極大值42  由上表可得，x＝4是函數f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點． 所以，當x＝4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答：當銷售價格為4元/kg時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤

14、最大． 1．解決實際生活問題的基本思路： 2．求實際問題中的最大(小)值，主要步驟如下： (1)抽象出實際問題的數學模型，列出變量之間的函數關系式y(tǒng)＝f(x)； (2)求出函數的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比較函數在區(qū)間端點和使f′(x)＝0的點處的取值大小，最大者為最大值，最小者為最小值． [對應課時跟蹤訓練(九)]　 一、填空題 1．已知某生產廠家的年利潤y(單元：萬元)與年產量x(單位：萬件)之間的函數關系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為________萬件． 解析

15、：y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9(x＝－9舍)，且經討論知x＝9是函數取極大值的點，所以廠家獲得最大年利潤的年產量是9萬件． 答案：9 2．用總長為14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若所制作容器的底面的一邊比高長0.5 m，則當高為________m時，容器的容積最大． 解析：設高為x米，則V＝x(x＋0.5)，令V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0， 解得x＝1. 答案：1 3.如圖，將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強度系數為k，k>0)．要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，斷面的寬x應為_____

16、___． 解析：設斷面高為h，則h2＝d2－x2.設橫梁的強度函數為f(x)，則f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，00，f(x)單調遞增； 當d

17、半徑為r，則表面積S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝，則S＝2πr·＋2πr2＝＋2πr2，S′＝－＋4πr，令S′＝0得r＝，因為S只有一個極值，所以當r＝時，S取得最小值，即此時所用的材料最?。? 答案： 5.如圖，內接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在拋物線上運動，C、D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是________． 解析：設CD＝x，則點C坐標為. 點B坐標為 所以矩形ABCD的面積 S＝f(x)＝x·＝－＋x(x∈(0,2))． 由f′(x)＝－x2＋1＝0， 得x1＝－(舍)，x2＝， 所以x∈時，f′(x)＞0，f(x)

18、是遞增的， x∈時，f′(x)＜0，f(x)是遞減的， 當x＝時，f(x)取最大值. 答案： 二、解答題 6．某品牌電視生產廠家有A，B兩種型號的電視機參加了家電下鄉(xiāng)活動，若廠家對A，B兩種型號的電視機的投放金額分別為p，q萬元，農民購買電視機獲得的補貼分別為p，ln q萬元，已知A，B兩種型號的電視機的投放總額為10萬元，且A，B兩種型號的電視機的投放金額均不低于1萬元，請你制定一個投放方案，使得在這次活動中農民得到的補貼最多，并求出最大值．(精確到0.1，參考數據：ln 4≈1.4) 解：設B型號電視機的投放金額為x萬元(1≤x≤9)，農民得到的補貼為y萬元，則A型號的電視機的

19、投放金額為(10－x)萬元，由題意得 y＝(10－x)＋ln x＝ln x－ x＋1,1≤x≤9， ∴y′＝－. 令y′＝0得x＝4， 由y′>0得1≤x<4，由y′<0得4

20、，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒．E，F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設AE＝FB＝x(cm)． (1)若廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值． 解：設包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)． 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以當x＝15時，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)， V

21、′＝6x(20－x)． 由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20. 當x∈(0,20)時，V′＞0；當x∈(20,30)時，V′＜0. 所以當x＝20時，V取得極大值，也是最大值． 此時＝.即包裝盒的高與底面邊長的比值為. 8．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(L)關于行駛速度x(km/h)的函數解析式可以表示為：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙兩地相距100 km. (1)當汽車以40 km/h的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少L? (2)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為多少L? 解：(1)當x＝40 km/h時，

22、 汽車從甲地到乙地行駛了＝2.5 h， 要耗油×2.5＝17.5(L)． ∴當汽車以40 km/h的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5 L. (2)設當速度為x km/h時，汽車從甲地到乙地行駛了 h，耗油量為h(x)升，依題意得 h(x)＝· ＝x2＋－(0＜x≤120)， 則h′(x)＝－＝(0＜x≤120)． 令h′(x)＝0，得x＝80， 當x∈(0,80)時，h′(x)＜0，h(x)是單調遞減函數； 當x∈(80,120)時，h′(x)＞0，h(x)是單調遞增函數． ∴當x＝80時，h(x)取到極小值，h(80)＝11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一個極值， 且h(120)＝>h(80)． ∴當x＝80時函數取得最小值． ∴當汽車以80 km/h的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25 L.