2022年高考數(shù)學大一輪復習 第八章 第48課 基本不等式及其應用（二）要點導學

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 第八章 第48課 基本不等式及其應用（二）要點導學基本不等式在方程與函數(shù)中的應用(xx成都模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域為0,+),那么+的最小值為.答案3解析由題意得a0,且=16-4ac=0ac=4,所以+2=3.(xx湖北模擬)已知不等式xyax2+2y2對于任意的x1,2,y2,3恒成立,那么實數(shù)a的取值范圍是.答案-1,+)解析由題意知a=-2,對x1,2,y2,3恒成立,令t=,則at-2t2,易知t1,3,所以t-2t2-15,-1,故a-1.基本不等式在數(shù)列、三角函數(shù)等問題中的應用已知正項等比數(shù)列an滿足a7=a6+2a

2、5,若存在兩項am,an,使得=4a1,則+的最小值為.思維引導首先根據(jù)條件找出m,n的關系式,再利用基本不等式求出+的最小值.答案解析設正項等比數(shù)列an的公比為q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.由=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.故+=(m+n)=+（+）+=,當且僅當n=2m時等號成立.精要點評將m+n=6表示為(m+n)=1,利用“1”的變換是解決問題的關鍵.(xx江蘇卷)若ABC的內角滿足sinA+sinB=2sinC,則cosC的最小值是.答案解析由已知sinA+sinB=2sinC及正弦定理可得a+b=2c,cosC=,當且僅當3a2=2b2即=

3、時等號成立.基本不等式在解析幾何中的應用(xx揚州中學模擬)如圖,已知橢圓C:+y2=1的上、下頂點分別為A,B,點P在橢圓上,且異于點A,B,直線AP,BP與直線l:y=-2分別交于點M,N.(例3)(1) 設直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值;(2) 求線段MN的長的最小值.解答(1) 因為A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),則由題設可知x00,所以直線AP的斜率k1=,PB的斜率k2=.又點P在橢圓上,所以+=1(x00),從而有k1k2=-,為定值.(2) 由題設可以得到直線AP的方程為y-1=k1(x-0),直線BP的方程為y-(-1)=k2(x

4、-0),由由所以直線AP與直線l的交點N,直線BP與直線l的交點M.又k1k2=-,所以MN=+4|k1|2=4,當且僅當=4|k1|,即k1=時取等號,故線段MN長的最小值是4.基本不等式在實際問題中的應用(xx湖北卷)某項研究表明,在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內測量點的車輛數(shù),單位:輛/小時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長l(單位:m)的值有關,其公式為 F=.(1) 如果不限定車型,l=6.05,那么最大車流量為輛/小時;(2) 如果限定車型,l=5,那么最大車流量比(1)中的最大車流量增加輛/小時.答案(1) 1900(2) 100

5、解析(1) 當l=6.05時,則F=1 900,當且僅當v=,即v=11(米/秒)時取等號.(2) 當l=5時,則F=2 000,當且僅當v=,即v=10(米/秒)時取等號,此時最大車流量比(1)中的最大車流量增加100輛/小時.精要點評準確構建數(shù)學模型是解題的關鍵.本題根據(jù)所得函數(shù)的特征要結合基本不等式解決.(xx如皋中學模擬)揚州某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60(如圖),考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設計其橫斷面要求面積為9 m2,且高度不低于m.記防洪堤橫斷面的腰長為x(m),外周長(梯形的上底BC與兩腰長的和)為y(m).(變式)(1) 求y關于x的

6、函數(shù)關系式,并指出其定義域;(2) 要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5m,則其腰長x應在什么范圍內?(3) 當防洪堤的腰長x為多少米時,堤的上面與兩側面的水泥用料最省(即斷面的外周長最小)?求此時外周長的值.解答(1) 由題意得9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)x,得BC=-.由得2x0). (7分)(2) 由均值不等式得y=x+1.52+1.5=21.5(萬元). (11分)當且僅當x=,即x=10時取等號. (13分)答:該企業(yè)10年后需要重新更換新設備.(14分)1. 函數(shù)y=x+的值域是.答案(-,-4 4 ,+)解析當x0時,x+4

7、 (當且僅當x=2 時取等號);當x0,而(-x)+-4 (當且僅當x=-2 時取等號),所以x+-4 .則函數(shù)y的值域為y|y-4 或y4 .2. 若x(0,),則y=sin x+的最小值是.答案5解析注意利用基本不等式解決問題時取“=”的條件.函數(shù)y在x=時取到最小值.3. (xx邛崍月考)若a0,b0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值為.答案9解析f(x)=12x2-2ax-2b,因為函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,所以f(1)=0,即12-2a-2b=0,a+b=6,所以ab=9,當且僅當a=b時取等號.4. 在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300 m2的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是.(第4題)答案10,30解析如圖所示,ADEABC,設矩形的另一邊長為y,則=,所以y=40-x.又xy300,所以x(40-x)300,即x2-40x+3000,解得10x30.(第4題)溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習(第95-96頁).