(全國(guó)通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 文

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1、第1講直線與圓考情考向分析考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問(wèn)題、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長(zhǎng)問(wèn)題)此類問(wèn)題難度屬于中低檔,一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)熱點(diǎn)一直線的方程及應(yīng)用1兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1l2k1k2,l1l2k1k21.若給出的直線方程中存在字母系數(shù),則要考慮斜率是否存在2求直線方程要注意幾種直線方程的局限性點(diǎn)斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直,兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線,而截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線3兩個(gè)距離公式(1)兩平行直線l1:AxByC10,l2:AxB

2、yC20間的距離d(A2B20)(2)點(diǎn)(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離公式d(A2B20)例1(1)(2018上饒模擬)“a3”是“直線l1:ax(a1)y10與直線l2:2xay10垂直”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由直線l1:ax(a1)y10與直線l2:2xay10垂直可得,2aa(a1)0,解得a0或3,所以“a3”是“直線l1:ax(a1)y10與直線l2:2xay10垂直”的充分不必要條件,故選A.(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:kxy20與直線l2:xky20相交于點(diǎn)P,則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí),點(diǎn)P到直線xy40

3、的距離的最大值為_(kāi)答案3解析由題意得,當(dāng)k0時(shí),直線l1:kxy20的斜率為k,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,2),直線l2:xky20的斜率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,0),且直線l1l2,所以點(diǎn)P落在以AB為直徑的圓C上,其中圓心坐標(biāo)為C(1,1),半徑為r,由圓心到直線xy40的距離為d2,所以點(diǎn)P到直線xy40的最大距離為dr23.當(dāng)k0時(shí),l1l2,此時(shí)點(diǎn)P(2,2)點(diǎn)P到直線xy40的距離d2.綜上,點(diǎn)P到直線xy40的距離的最大值為3.思維升華(1)求解兩條直線的平行或垂直問(wèn)題時(shí)要考慮斜率不存在的情況(2)對(duì)解題中可能出現(xiàn)的特殊情況,可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究跟蹤演練1(1)(2018上海市虹口區(qū)模擬

4、)直線ax(a1)y10與直線4xay20互相平行,則實(shí)數(shù)a_.答案2解析當(dāng)a0時(shí),解得a2.當(dāng)a0時(shí),兩直線顯然不平行故a2.(2)(2018濮陽(yáng)模擬)圓x2(y1)21的圓心到直線yx2的距離為_(kāi)答案解析圓x2(y1)21的圓心到直線yx2的距離為.熱點(diǎn)二圓的方程及應(yīng)用1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2,特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),方程為x2y2r2.2圓的一般方程x2y2DxEyF0,其中D2E24F0,表示以為圓心,為半徑的圓例2(1)圓心為(2,0)的圓C與圓x2y24x6y40相外切,則C的方程為()Ax2y24x20Bx2y24x20C

5、x2y24x0Dx2y24x0答案D解析圓x2y24x6y40,即(x2)2(y3)29,圓心為(2,3),半徑為3.設(shè)圓C的半徑為r.由兩圓外切知,圓心距為53r,所以r2.故圓C的方程為(x2)2y24,展開(kāi)得x2y24x0.(2)已知圓M與直線3x4y0及3x4y100都相切,圓心在直線yx4上,則圓M的方程為()A.2(y1)21B.221C.221D.2(y1)21答案C解析到兩直線3x4y0及3x4y100的距離都相等的直線方程為3x4y50,聯(lián)立方程組解得兩平行線之間的距離為2,所以半徑為1,從而圓M的方程為221.故選C.思維升華解決與圓有關(guān)的問(wèn)題一般有兩種方法(1)幾何法:通

6、過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程(2)代數(shù)法:即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù)跟蹤演練2(1)已知aR,方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓,則圓心坐標(biāo)是_,半徑是_答案(2,4)5解析由已知方程表示圓,則a2a2,解得a2或a1.當(dāng)a2時(shí),方程不滿足表示圓的條件,故舍去當(dāng)a1時(shí),原方程為x2y24x8y50,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)225,表示以(2,4)為圓心,5為半徑的圓(2)(2018天津)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為_(kāi)答案x2y22x0解析方法一設(shè)圓的方程為x2y2DxE

7、yF0.圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),解得圓的方程為x2y22x0.方法二畫出示意圖如圖所示,則OAB為等腰直角三角形,故所求圓的圓心為(1,0),半徑為1,所求圓的方程為(x1)2y21,即x2y22x0.熱點(diǎn)三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1直線與圓的位置關(guān)系:相交、相切和相離,判斷的方法主要有點(diǎn)線距離法和判別式法(1)點(diǎn)線距離法:設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r,則dr直線與圓相離(2)判別式法:設(shè)圓C:(xa)2(yb)2r2,直線l:AxByC0(A2B20),方程組消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程,其根的判別式為,則直線與圓相離0.2圓與圓的位置關(guān)系有五種,即內(nèi)含、內(nèi)

8、切、相交、外切、外離設(shè)圓C1:(xa1)2(yb1)2r,圓C2:(xa2)2(yb2)2r,兩圓心之間的距離為d,則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下:(1)dr1r2兩圓外離(2)dr1r2兩圓外切(3)|r1r2|dr1r2兩圓相交(4)d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)切(5)0d11,故兩圓外離(2)(2018四川省高三“聯(lián)測(cè)促改”活動(dòng))過(guò)點(diǎn)(1,0)且傾斜角為30的直線被圓(x2)2y21所截得的弦長(zhǎng)為()A. B1 C. D2答案C解析由題意得,直線方程為y(x1),即xy10.圓心(2,0)到直線的距離為d,故所求弦長(zhǎng)為l22.思維升華(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí),要注

9、意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量(2)圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問(wèn)題;圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題;圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問(wèn)題跟蹤演練3(1)(2018廣州名校聯(lián)考)已知直線yax與圓C:x2y22ax2y20交于兩點(diǎn)A,B,且CAB為等邊三角形,則圓C的面積為_(kāi)答案6解析圓C化為(xa)2(y1)2a21,且圓心C(a,1),半徑R(a21)直線yax和圓C相交,且ABC為等邊三角形,圓心C到直線axy0的距離為Rsin 60,即d.解得a27.圓C的面積為

10、R2(71)6.(2)如果圓(xa)2(ya)28上總存在到原點(diǎn)的距離為的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(3,1)(1,3) B(3,3)C1,1 D3,11,3答案D解析圓心(a,a)到原點(diǎn)的距離為|a|,半徑r2,圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為d.因?yàn)閳A(xa)2(ya)28上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,則圓(xa)2(ya)28與圓x2y22有公共點(diǎn),r,所以rr|a|rr,即1|a|3,解得1a3或3a1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,11,3真題體驗(yàn)1(2016山東改編)已知圓M:x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長(zhǎng)度是2,則圓M與圓N:(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是_答案相交解析圓

11、M:x2(ya)2a2,圓心坐標(biāo)為M(0,a),半徑r1a,圓心M到直線xy0的距離d,由幾何知識(shí)得2()2a2,解得a2.M(0,2),r12.又圓N的圓心坐標(biāo)為N(1,1),半徑r21,|MN|.又r1r23,r1r21,r1r2|MN|0,所以t1,所以mn32.故mn有最小值32,無(wú)最大值故選B.3若圓x2y24與圓x2y2ax2ay90(a0)相交,公共弦的長(zhǎng)為2,則a_.押題依據(jù)本題已知公共弦長(zhǎng),求參數(shù)的范圍,情境新穎,符合高考命題的思路答案解析聯(lián)立兩圓方程可得公共弦所在直線方程為ax2ay50,故圓心(0,0)到直線ax2ay50的距離為(a0)故22,解得a2,因?yàn)閍0,所以a

12、.A組專題通關(guān)1若2,則直線1必不經(jīng)過(guò)()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析令x0,得ysin 0,直線過(guò)(0,sin ),(cos ,0)兩點(diǎn),因而直線不過(guò)第二象限2(2018呼和浩特調(diào)研)設(shè)直線l1:x2y10與直線l2:mxy30的交點(diǎn)為A,P,Q分別為l1,l2上任意兩點(diǎn),點(diǎn)M為P,Q的中點(diǎn),若|AM|PQ|,則m的值為()A2 B2 C3 D3答案A解析根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示直線l1:x2y10 與直線l2:mxy30 的交點(diǎn)為A,M 為PQ 的中點(diǎn),若|AM|PQ|,則PAQA,即l1l2,1m(2)10,解得m2.3我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù),也

13、就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓,即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí),其周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng),這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大成就現(xiàn)作出圓x2y22的一個(gè)內(nèi)接正八邊形,使該正八邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為()Ax(1)y0 B(1)xy0Cx(1)y0 D(1)xy0答案C解析如圖所示可知A(,0),B(1,1),C(0,),D(1,1),所以直線AB,BC,CD的方程分別為y(x),y(1)x,y(1)x整理為一般式即xy0,xy0,xy0,故選C.4(2018吳忠模擬)與直線xy40和圓x2y22x2y0都相切的半徑最小的圓的

14、方程是()A(x1)222 B(x1)224C(x1)222 D(x1)224答案C解析圓x2y22x2y0的圓心為(1,1),半徑為,過(guò)圓心(1,1)與直線xy40垂直的直線方程為xy0,所求的圓心在此直線上,又圓心(1,1)到直線xy40的距離為3,則所求圓的半徑為,設(shè)所求圓心為(a,b),且圓心在直線xy40的左上方,則,且ab0,解得a1,b1(a3,b3不符合半徑最小,舍去),故所求圓的方程為(x1)222.5(2018孝義模擬)已知點(diǎn)P是直線l:xyb0上的動(dòng)點(diǎn),由點(diǎn)P向圓O:x2y21引切線,切點(diǎn)分別為M,N,且MPN90,若滿足以上條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè),則b等于()A2 B2

15、 C. D答案B解析由題意得PMOPNOMON90,|MO|ON|1,四邊形PMON是正方形,|PO|,滿足以上條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè),OP垂直于直線xyb0,b2.6在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O的方程為x2y24,直線l的方程為yk(x2),若在圓O上至少存在三點(diǎn)到直線l的距離為1,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知,若圓O:x2y24上至少存在三點(diǎn)到直線l:yk(x2)的距離為1,則圓心(0,0)到直線kxy2k0的距離d應(yīng)滿足d1,即1,解得k2,即k,故選B.7(2018綿陽(yáng)診斷)已知圓C1:x2y2r2,圓C2:(xa)22r2(r0)

16、交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),給出下列結(jié)論:ab0;2ax12by1a2b2;x1x2a,y1y2b.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案D解析由圓C1:x2y2r2,圓C2:(xa)2(yb)2r2(r0)相減,得AB所在直線方程為2ax2bya2b2.由2ax12by1a2b20,2ax22by2a2b20,得,ab0,正確;AB的中點(diǎn)為直線AB與直線C1C2的交點(diǎn),又AB:2ax2bya2b20,C1C2:bxay0.由得故有x1x2a,y1y2b,正確,故選D.8(2018齊魯名校教科研協(xié)作體模擬)直線xysin 30(R)的傾斜角的取值范圍是_答案解

17、析若sin 0,則直線的傾斜角為;若sin 0,則直線的斜率k,設(shè)直線的傾斜角為,則tan ,故 ,綜上可得直線的傾斜角的取值范圍是.9(2018安徽省“皖南八校”聯(lián)考)若過(guò)點(diǎn)(2,0)有兩條直線與圓x2y22x2ym10相切,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(1,1)解析由題意過(guò)點(diǎn)(2,0)有兩條直線與圓x2y22x2ym10相切,則點(diǎn)(2,0)在圓外,即2222m10,解得m1;由方程x2y22x2ym10表示圓,則(2)2224(m1)0,解得m0,解得a6,故選D.15(2018合肥質(zhì)檢)為保護(hù)環(huán)境,建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,鎮(zhèn)政府決定為A,B,C三個(gè)自然村建造一座垃圾處理站,集中處理A,B,C三個(gè)自然

18、村的垃圾,受當(dāng)?shù)貤l件限制,垃圾處理站M只能建在與A村相距5 km,且與C村相距 km的地方已知B村在A村的正東方向,相距3 km,C村在B村的正北方向,相距3 km,則垃圾處理站M與B村相距_ km.答案2或7解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0),B(3,0),C(3,3)由題意得垃圾處理站M在以A(0,0)為圓心,5為半徑的圓A上,同時(shí)又在以C(3,3)為圓心,為半徑的圓C上,兩圓的方程分別為x2y225和(x3)2(y3)231.由解得或垃圾處理站M的坐標(biāo)為(5,0)或,|MB|2或|MB|7,即垃圾處理站M與B村相距2 km或7 km.16過(guò)點(diǎn)P(3,0)作直線x(ab)y3a4b0(a,b不同時(shí)為零)的垂線,垂足為M,已知點(diǎn)N(2,3),則|MN|的取值范圍是_答案解析直線x(ab)y3a4b0(a,b不同時(shí)為零)化為a(xy3)b(2xy4)0,令解得直線x(ab)y3a4b0過(guò)定點(diǎn)Q(1,2)點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上,圓心為線段PQ的中點(diǎn)C(1,1),半徑r,線段MN長(zhǎng)度的最大值為|CN|r5,線段MN長(zhǎng)度的最小值為|CN|r5.|MN|的取值范圍是5,516

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