《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八單元 數(shù)列學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八單元 數(shù)列學(xué)案 文（63頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第八單元 數(shù) 列教材復(fù)習(xí)課“數(shù)列”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過數(shù)列的有關(guān)概念過雙基1數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列an的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an1數(shù)列an滿足anan1(nN*)，a22，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S21的值為()A5B.C. D.解析：選Banan1，a22，anS2111102.2數(shù)列an滿足a13，an1(nN*)，則a2 018(
2、)A. B3C D.解析：選D由a13，an1，得a2，a3，a43，由上可得，數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，故a2 018a67232a2.3已知數(shù)列an滿足an(nN*)，前n項(xiàng)的和為Sn，則關(guān)于an，Sn的敘述正確的是()Aan，Sn都有最小值 Ban，Sn都沒有最小值Can，Sn都有最大值 Dan，Sn都沒有最大值解析：選Aan，當(dāng)n5時(shí)，an0，且單調(diào)遞減故當(dāng)n5時(shí)，a53為an的最小值；由的分析可知：當(dāng)n5時(shí)，an0.故可得S5為Sn的最小值綜上可知，an，Sn都有最小值4已知數(shù)列an中，a11，an1an2n1(nN*)，則a5_.解析：依題意得an1an2n1，a5a1(a2
3、a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4)1357925.答案：25清易錯(cuò)1易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)，它們是兩個(gè)不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)2在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫成anSnSn1的形式，但它只適用于n2的情形1已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann28n15，則()A3不是數(shù)列an中的項(xiàng)B3只是數(shù)列an中的第2項(xiàng)C3只是數(shù)列an中的第6項(xiàng)D3是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)解析：選D令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn32n，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為
4、_解析：當(dāng)n1時(shí)，a1S1325；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn132n(32n1)2n2n12n1.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，不符合an2n1，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an答案：an等差數(shù)列過雙基1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號(hào)表示為an1and(nN*，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Snna1d.3等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an
5、為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列1在等差數(shù)列an中，已知a2與a4是方程x26x80的兩個(gè)根，若a4a2，則a2 018()A2 018 B2 017C2 016 D2 015解析：選A因?yàn)閍2與a4是方程x26x80的兩個(gè)根，且a4a2，所以a22，a44，則公差d1，所以a11，則a2 0182 018.2在等差數(shù)列an中，a2a3a43，
6、Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S5()A3 B4C5 D6解析：選C等差數(shù)列an中，a2a3a43，Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2a3a43a33，解得a31，S5(a1a5)5a35.3.正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a4a10a150，則S13()A39 B5C39 D65解析：選D正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a4a10a150，a2a7150，解得a75或a73(舍去)，S13(a1a7)13a713565.4已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且3a3a64.若S510，則a2的取值范圍是()A(，2) B(，0)C(1，) D(0,2)解析：選A設(shè)等差數(shù)列an的公差
7、為d，3a3a64，3(a2d)a24d4，可得d2a24.S510，5(3a24)10，解得a22.a2的取值范圍是(，2)5在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前 n項(xiàng)和為Sn ，當(dāng)且僅當(dāng)n8 時(shí)Sn 取得最大值，則d 的取值范圍為_解析：由當(dāng)且僅當(dāng)n8時(shí)Sn有最大值，可得即解得1d0，且a5a74a，a21，則a1()A. B.C. D2解析：選B因?yàn)閍n是等比數(shù)列，所以a5a7a4a，所以a62a4，q22，又q0，所以q，a1.清易錯(cuò)1Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q1且n為偶數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q1或q1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn
8、，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)總成立2在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤1設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，已知S38，S67，則a7a8a9等于()A. BC. D.解析：選A因?yàn)閍7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比數(shù)列，即8，1，S9S6成等比數(shù)列，所以8(S9S6)1，即S9S6.所以a7a8a9.2設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S33a3，則公比q_.解析：當(dāng)q1時(shí)，由題意，3a1q2，即1q33q23q3，整理得2q33q210，解
9、得q.當(dāng)q1時(shí)，S33a3，顯然成立故q或1.答案：或1一、選擇題1(2017全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1B2C4 D8解析：選C設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由得即解得d4.2(2018江西六校聯(lián)考)在等比數(shù)列an中，若a3a5a73，則a2a8()A3 B.C9 D13解析：選A由a3a5a73，得a3，即a5，故a2a8a3.3在數(shù)列an中，已知a12，a27，an2等于anan1(nN*)的個(gè)位數(shù)，則a2 018()A8 B6C4 D2解析：選D由題意得a34，a48，a52，a66，a72，a82，a94，a108.所以數(shù)列中的項(xiàng)
10、從第3項(xiàng)開始呈周期性出現(xiàn)，周期為6，故a2 018a33568a82.4已知數(shù)列an滿足a11，anan12n(n2，nN*)，則a7()A53 B54C55 D109解析：選Ca2a122，a3a223，a7a627，各式相加得a7a12(2347)55.5設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(nN*)，則S6()A44 B45C.(461) D.(451)解析：選B由an13Sn，得a23S13.當(dāng)n2時(shí)，an3Sn1，則an1an3an，n2，即an14an，n2，則數(shù)列an從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列，所以S645.6等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，對(duì)一切自然數(shù)n
11、，都有，則等于()A. B.C. D.解析：選CS99a5，T99b5，.7已知數(shù)列an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若5S2S4，則log4a3的值為()A1 B2C0或1 D0或2解析：選C由題意得，等比數(shù)列an中，5S2S4，a11，所以5(a1a2)a1a2a3a4，即5(1q)1qq2q3，q3q24q40，即(q1)(q24)0，解得q1或2，當(dāng)q1時(shí)，a31，log4a30.當(dāng)q2時(shí)，a34，log4a31.綜上所述，log4a3的值為0或1.8設(shè)數(shù)列an是公差為d(d0)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13()A75 B90C105
12、D120解析：選C由a1a2a315得3a215，解得a25，由a1a2a380，得(a2d)a2(a2d)80，將a25代入，得d3(d3舍去)，從而a11a12a133a123(a210d)3(530)105.二、填空題9若數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：當(dāng)n2時(shí)，由a13a232a33n1an，得a13a232a33n2an1，兩式相減得3n1an，則an.當(dāng)n1時(shí)，a1滿足an，所以an.答案：an10數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an1，則an_.解析：Sn2an1，Sn12an11(n2)，得an2an2an1，即an2an1.S1a12
13、a11，即a11，數(shù)列an為首項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列，故an2n1.答案：2n111已知數(shù)列an中，a2na2n1(1)n，a2n1a2nn，a11，則a20_.解析：由a2na2n1(1)n，得a2na2n1(1)n，由a2n1a2nn，得a2n1a2nn，故a2a11，a4a31，a6a51，a20a191.a3a21，a5a42，a7a63，a19a189.又a11，累加得：a2046.答案：4612數(shù)列an為正項(xiàng)等比數(shù)列，若a33，且an12an3an1(n2，nN*)，則此數(shù)列的前5項(xiàng)和S5_.解析：設(shè)公比為q(q0)，由an12an3an1，可得q22q3，所以q3，又a33，
14、則a1，所以此數(shù)列的前5項(xiàng)和S5.答案：三、解答題13已知在等差數(shù)列an中，a35，a1a1918.(1)求公差d及通項(xiàng)an；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn取得最大值時(shí)n的值解：(1)a35，a1a1918，an112n.(2)由(1)知，Snn210n(n5)225，n5時(shí)，Sn取得最大值14已知數(shù)列an滿足n2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)n2n，當(dāng)n2時(shí)，(n1)2n1，兩式相減得2n(n2)，ann2n1(n2)又當(dāng)n1時(shí)，11，a14，滿足ann2n1.ann2n1.(2)bnn(2)n，Sn1(2)12(2)23(2)3
15、n(2)n.2Sn1(2)22(2)33(2)4(n1)(2)nn(2)n1，兩式相減得3Sn(2)(2)2(2)3(2)4(2)nn(2)n1n(2)n1n(2)n1，Sn.高考研究課(一) 等差數(shù)列的3考點(diǎn)求項(xiàng)、求和及判定全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度等差數(shù)列通項(xiàng)5年6考求通項(xiàng)或某一項(xiàng)等差數(shù)列前n項(xiàng)和5年5考求項(xiàng)數(shù)、求和等差數(shù)列的判定5年2考判斷數(shù)列成等差數(shù)列或求使數(shù)列成等差數(shù)列的參數(shù)值等差數(shù)列基本量的運(yùn)算典例(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，公差d2，Sn2Sn36，則n()A5B5C7 D8(2)(2016全國(guó)卷)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728.
16、記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.求b1，b11，b101；求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和解析(1)法一：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得Sn2Sn(n2)a1d2a1(2n1)d24n236，解得n8.法二：由Sn2Snan2an1a1a2n236，因此a2n2a1(2n1)d35，解得n8.答案：D(2)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由已知得721d28，解得d1.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.因?yàn)閎n所以數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和為1902900311 893.方法技巧等差數(shù)列運(yùn)算的解題思路由等差數(shù)列的
17、前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中三個(gè)便可求出其余兩個(gè)，即“知三求二”，“知三求二”的實(shí)質(zhì)是方程思想，即建立方程組求解即時(shí)演練1已知數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S64S3，則a10()A. B.C. D.解析：選BS64S3，公差d1.6a114，解得a1.a1091.2已知公差不為0的等差數(shù)列an滿足a1，a3，a4成等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則的值為()A2 B3C2 D3解析：選D設(shè)an的公差為d，因?yàn)閍1，a3，a4成等比數(shù)列，所以(a12d)2a1(a13d)，可得a14d，所以3.3(2018大連聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的
18、公差d0.設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S2S336.(1)求d及Sn; (2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65.解：(1)由題意知(2a1d)(3a13d)36，將a11代入上式解得d2或d5.因?yàn)閐0，所以d2.從而an2n1，Snn2(nN*)(2)由(1)得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由m，kN*知2mk1k11，故解得即所求m的值為5，k的值為4.等差數(shù)列的判定與證明典例已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a118，設(shè)bnlog2an，且b417.(1)求證：數(shù)列bn是以2為公差的等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列bn的前n
19、項(xiàng)和為Sn，求Sn的最大值思路點(diǎn)撥(1)利用等比數(shù)列以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化證明數(shù)列bn是以2為公差的等差數(shù)列；(2)求出數(shù)列的和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可解(1)證明：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則bn1bnlog2an1log2anlog2log2q，因此數(shù)列bn是等差數(shù)列又b11log2a113，b417，所以等差數(shù)列bn的公差d2，故數(shù)列bn是以2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知，bn252n，則Snn(24n)(n12)2144，于是當(dāng)n12時(shí)，Sn取得最大值，最大值為144. 方法技巧等差數(shù)列判定與證明的方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于n2的任意自然數(shù)，anan1為同一常數(shù)an
20、是等差數(shù)列解答題中證明問題等差中項(xiàng)法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法anpnq(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證SnAn2Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列即時(shí)演練1(2016浙江高考)如圖，點(diǎn)列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示點(diǎn)P與Q不重合)若dn|AnBn|，Sn為AnBnBn1的面積，則()ASn是等差數(shù)列 BS是等差數(shù)列Cdn是等差數(shù)列 Dd是等差數(shù)列解析：選A由題意
21、，過點(diǎn)A1，A2，A3，An，An1，分別作直線B1Bn1的垂線，高分別記為h1，h2，h3，hn，hn1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得h1，h2，h3，hn，hn1，成等差數(shù)列，又Sn|BnBn1|hn，|BnBn1|為定值，所以Sn是等差數(shù)列故選A.2(2017全國(guó)卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22，S36.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列解：(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得解得故an的通項(xiàng)公式為an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)典例(1)已知等差數(shù)
22、列an的公差為d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，則m的值為()A8 B12C6 D4(2)已知數(shù)列an，bn為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若，則()A. B.C. D.(3)(2018天水模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.解析(1)由a3a6a10a1332，得(a3a13)(a6a10)32，得4a832，即a88，m8.(2)因?yàn)閍n，bn為等差數(shù)列，且，所以.(3)S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.答案(1)A(2)A(3)60方法技巧等差
23、數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)在等差數(shù)列an中，aman(mn)dd(mn)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差(2)和的性質(zhì)在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.即時(shí)演練1(2018岳陽模擬)在等差數(shù)列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A95 B100C135 D80解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，于是a7a8(a1a2)(41)(a3a4)(a1a2)40320100.2(2018廣州模擬)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正
24、數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是()A. B.C. D.解析：選A設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，所以.3若兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別是Sn，Tn，已知，則_.解析：數(shù)列an和bn都是等差數(shù)列，.答案：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值等差數(shù)列的通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn均為n的函數(shù)，通常利用函數(shù)法或通項(xiàng)變號(hào)法解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題典例等差數(shù)列an中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a10，S3S11，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為_解析法一：用“函數(shù)法”解題由S3S11，可得3a1d11a1d
25、，即da1.從而Snn2n(n7)2a1，因?yàn)閍10，所以0，d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當(dāng)a10時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.即時(shí)演練1(2018濰坊模擬)在等差數(shù)列an中，a129，S10S20，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最大值為()AS15 BS16CS15或S16 DS17解析：選Aa129，S10S20，10a1d20a1d，解得d2，Sn29n(2)n230n(n15)2225.當(dāng)n15時(shí)，Sn取得最大值2已知an是等差數(shù)列，a126，a8a135，當(dāng)an的前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，n的值為()A8 B9C10 D11解析：選B設(shè)數(shù)列an的公差為d，a1
26、26，a8a135，267d2612d5，解得d3，Sn26n3n2n2，an的前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，n9.3已知an是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中a10，公差d0，a60，公差d0，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，有下列命題：若S3S11，則必有S140；若S3S11，則必有S7是Sn中的最大項(xiàng)；若S7S8，則必有S8S9；若S7S8，則必有S6S9.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：選D對(duì)于，若S11S34(a1a14)0，即a1a140，則S140，所以正確；對(duì)于，當(dāng)S3S11時(shí)，易知a7a80，又a10，d0，所以a70a8，故S7是Sn中的最大項(xiàng)，所以正確；對(duì)于，若S7S8
27、，則a80，那么d0，可知a90，此時(shí)S9S8S9，所以正確；對(duì)于，若S7S8，則a80，S9S6a7a8a93a8S9，所以正確故選D.4(2018大同模擬)在等差數(shù)列中，a1a2a33，a18a19a2087，則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于()A290 B300C580 D600解析：選B由a1a2a33a23，得a21.由a18a19a203a1987，得a1929，所以S2010(a2a19)300.5設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S918，an430(n9)，若Sn336，則n的值為()A18 B19C20 D21解析：選D因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以S99a518，a52，Sn3216n
28、336，解得n21.6設(shè)an是等差數(shù)列，d是其公差，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()AdS5D當(dāng)n6或n7時(shí)Sn取得最大值解析：選C由S5S6，得a1a2a3a4a50.同理由S7S8，得a80.又S6S7，a1a2a6a1a2a6a7，a70，B正確；da7a6S5，即a6a7a8a90，可得2(a7a8)0，由結(jié)論a70，a80，知C選項(xiàng)錯(cuò)誤；S5S8，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性可知D正確故選C.7等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d0，(S8S5)(S9S5)|a8| B|a7|a8|C|a7|a8| D|a7|0解析：選B因?yàn)?S8S5)(S9S5)0，所以(
29、a6a7a8)(a6a7a8a9)0，因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a6a7a83a7，a6a7a8a92(a7a8)，所以a7(a7a8)0，所以a70，且|a7|a8|，故選B.二、填空題8在數(shù)列an中，an1，a12，則a20_.解析：由an1，a12，可得3，所以是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列所以3(n1)，即an，所以a20.答案：9數(shù)列an滿足：a11，an12an2n，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：a11，an12an2n，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差d的等差數(shù)列，故(n1)n，即ann2n1.答案：ann2n110設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S40，且S83S4，S12S8，則_.解析：
30、當(dāng)S40，且S83S4，S12S8時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)得：S4，S8S4，S12S8成等差數(shù)列，2(S8S4)S4(S12S8)，2(3S4S4)S4(3S43S4)，解得2.答案：2三、解答題11已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，a3a412.(1)求a1a2a3a4a5；(2)設(shè)bn10an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，若b1b2，則n為何值時(shí)，Sn最大？Sn最大值是多少？解：(1)設(shè)an的公差為d，a1，a2，a5成等比數(shù)列，(a1d)2a1(a14d)，解得d0或d2a1.當(dāng)d0時(shí)，a3a412，an6，a1a2a3a4a530；當(dāng)d0時(shí)，a3a412，a11，d2，
31、a1a2a3a4a525.(2)b1b2，bn10an，a1a2，d0，由(1)知an2n1，bn10an10(2n1)112n，Sn10nn2(n5)225.當(dāng)n5時(shí)，Sn取得最大值，最大值為25.12(2018沈陽質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3a64，S55.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值和Tn的表達(dá)式解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意知解得故an2n7(nN*)(2)由an2n70，得n，即n3，所以當(dāng)n3時(shí)，an2n70.由(1)知Snn26n，所以當(dāng)n3時(shí)，TnSn6nn2；當(dāng)n4時(shí)，TnS3(SnS3)Sn2S
32、3n26n18.故T513，Tn13已知數(shù)列an中，a14，anan12n13(n2，nN*)(1)證明數(shù)列an2n是等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，anan12n13an12n2n13，an2n(an12n1)3.又a14，a122，故數(shù)列an2n是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，an2n2(n1)33n1，an2n3n1.(2)bn1，Snn，令Tn，則Tn，得，Tn1，13，Snn5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a13，an12an2n11(nN*)(1)求a2，a3；(2)求實(shí)數(shù)使為等差數(shù)列，并由此求出an與Sn；(3)求n
33、的所有取值，使N*，說明你的理由解：(1)a13，an12an2n11，a2232219，a32923125.(2)a13，an12an2n11，an112(an1)2n1，1，故1時(shí)，數(shù)列成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差d1.n，即ann2n1.Sn(12222323n2n)n，設(shè)Tn12222323n2n，則2Tn122223324n2n1，得，Tn222232nn2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12，SnTnn(n1)2n12n.(3)2，結(jié)合y2x及yx的圖象可知2n恒成立，2n1n，即n2n10，0且an為遞增數(shù)列，Sn0且Snan，1，即12，當(dāng)n2時(shí)，N*.綜上可得n1.高考
34、研究課(二)等比數(shù)列的3考點(diǎn)基本運(yùn)算、判定和應(yīng)用全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度等比數(shù)列的基本運(yùn)算5年7考由項(xiàng)與和的關(guān)系求首項(xiàng)、求前n項(xiàng)和、求項(xiàng)數(shù)等等比數(shù)列的判定5年3考證明等比數(shù)列等比數(shù)列的綜合應(yīng)用5年4考求和后放縮法證明不等式，等比數(shù)列求項(xiàng)之積的最值等比數(shù)列基本量的運(yùn)算典例(1)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1a3，a2a4，則()A4n1B4n1C2n1 D2n1(2)(2017全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，a11，b11，a2b22.若a3b35，求bn的通項(xiàng)公式；若T321，求S3. 解析(1)設(shè)an的公比為q，由()()可得2
35、，q，代入()得a12，an2n1，Sn4，2n1.答案：D(2)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.()由a3b35得2dq26.()聯(lián)立()()解得(舍去)或因此bn的通項(xiàng)公式為bn2n1.由b11，T321，得q2q200，解得q5或q4.當(dāng)q5時(shí)，由()得d8，則S321.當(dāng)q4時(shí)，由()得d1，則S36. 方法技巧解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法(1)方程的思想等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解(2)分類討論的思想等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分
36、類討論，當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Snna1；當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Sn.即時(shí)演練1已知數(shù)列an是首項(xiàng)a1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，S3，若am，則m的值為()A8 B10C9 D7解析：選A設(shè)數(shù)列an的公比為q，若q1，則S3，不符合題意，q1.由得ann1n1.由amm1，得m8.2(2017北京高考)已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)樗?a14d10，解得d2，所以an2n1.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閎11，b2b4a5，所以b1qb
37、1q39.解得q23.所以b2n1b1q2n23n1.從而b1b3b5b2n113323n1.等比數(shù)列的判定與證明典例(1)已知數(shù)列an中，a11，a23且an23an12an，nN*，對(duì)數(shù)列an有下列命題：數(shù)列an是等差數(shù)列；數(shù)列an1an是等比數(shù)列；當(dāng)n2時(shí)，an都是質(zhì)數(shù)；2，nN*，則其中正確的命題有()A BC D(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)求a2，a3的值；求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列 解析(1)an23an12an，an2an12(an1an)，數(shù)列an1an是以a2a12為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，anan12n1，an1a
38、n22n2，a2a121，累加得：ana121222n12n2，an2n2a12n1.顯然中，只有正確，又(n2)，12，故正確；綜上所述，錯(cuò)誤，正確答案：D(2)思路點(diǎn)撥令n1,2,3，即可求出結(jié)論；當(dāng)n2時(shí)，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)，與已知式相減，再利用anSnSn1(n2)，化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)論解：a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，a1212；當(dāng)n2時(shí)，a12a2(a1a2)4，a24；當(dāng)n3時(shí)，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.證明：a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，()當(dāng)n2時(shí)，a12a23a3(n
39、1)an1(n2)Sn12(n1)()()()得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 方法技巧等比數(shù)列的3種判定方法定義法若q(q為非零常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列等比中項(xiàng)法若數(shù)列an中，an0且aanan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列即時(shí)演練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snan2n(nN*)，則下列數(shù)列中一定為等比數(shù)列的是()Aan Ban1Can2 DSn解析
（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八單元 數(shù)列學(xué)案 文
