《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第5講 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程學(xué)案 文 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第5講 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程學(xué)案 文 新人教A版（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程 做真題(2019高考全國卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)證明：設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.當(dāng)x時(shí)，g(x)0；當(dāng)x時(shí)，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零點(diǎn)所以f(x)在(0，)存在唯一零點(diǎn)明考情函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程的根(零點(diǎn))考查的形式以解答題為主，主要考查利用導(dǎo)數(shù)確定某些高次式、指數(shù)式、對數(shù)式及絕對值式結(jié)構(gòu)的函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)，或者依據(jù)它們的零點(diǎn)或方程根的存在情況求參數(shù)的值(或取值范圍)等問題，以解答題為主判斷、證明
2、或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩類零點(diǎn)問題的不同處理方法：利用零點(diǎn)存在性定理的條件函數(shù)圖象在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0.直接法：判斷一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，取值證明f(a)f(b)0；分類討論法：判斷幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)f(b)0，所以f(x)0等價(jià)于3a0.設(shè)g(x)3a，關(guān)鍵1：變形后構(gòu)造函數(shù)此處結(jié)合分析法，考慮下一步判斷則g(x)0，僅當(dāng)x0時(shí)g(x)0，所以g(x)在(，)單調(diào)遞增故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)又f(3a1)6a22a60，故f(x)有一個(gè)零點(diǎn)關(guān)鍵
3、3：利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn). 典型例題 (2019廣東省七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln xax.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0，f(x)單調(diào)遞增，在上，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)可知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故f(x)maxfln1.當(dāng)ln1，即a時(shí)，f 1，即a0，令0b1且b，則ln b0，f(b)ln babln b0，故f(b)f0，則在(e，)上，g(t)10，故g(t)在(
4、e，)上單調(diào)遞減，故在(e，)上，g(t)g(e)2e0，則f0，故ff0，f(x)在上有一個(gè)零點(diǎn)故f(x)在(0，)上有兩個(gè)零點(diǎn)綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究方程根(函數(shù)零點(diǎn))的一般方法(1)研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等；(2)根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置；(3)數(shù)形結(jié)合去分析問題，可以使問題的求解過程有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn) 對點(diǎn)訓(xùn)練(2019高考全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)
5、；(2)f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)證明：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)ln x1ln x.因?yàn)閥ln x單調(diào)遞增，y單調(diào)遞減，所以f(x)單調(diào)遞增又f(1)10，故存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0.又當(dāng)xx0時(shí)，f(x)x0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)內(nèi)存在唯一根x.由x01得1x0.又fln 10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根綜上，f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般
6、命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍案例關(guān)鍵步【分類討論法】(2016高考全國卷)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.(1)略(2)(i)設(shè)a0，則由
7、(1)知，f(x)在(，1)單調(diào)遞減，在(1，)單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b0且bln ，則f(b)(b2)a(b1)2a(b2b)0.所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)鍵1：利用函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)值的變化確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)(ii)設(shè)a0，則f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)(iii)設(shè)a0，若a，則由(1)知，f(x)在(1，)單調(diào)遞增，又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)若a，則由(1)知，f(x)在(1，ln (2a)單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)鍵2：對參數(shù)分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)值的變化確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)
8、綜上，a的取值范圍為(0，). 典型例題 (2019南昌市第一次模擬測試)已知函數(shù)f(x)ex(ln xaxab)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，a，bR，直線yx是曲線yf(x)在x1處的切線(1)求a，b的值(2)是否存在kZ，使得yf(x)在(k，k1)上有唯一零點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由【解】(1)f(x)ex(ln xaxb)，f(x)的定義域?yàn)?0，)由已知，得即，解得a1，b.(2)由(1)知，f(x)ex，則f(x)ex，令g(x)ln xx，則g(x)0，g(2)ln 210，即f(x)0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，g(x)0，即f(x)0.所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)
9、遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減又當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(2)e2(ln 2)0，f(e)ee0，則g(x)，由g(x)0得2ln xx1，解得0x0，當(dāng)x0時(shí)，g(x)，所以作出函數(shù)g(x)的簡圖，如圖，結(jié)合函數(shù)值的變化趨勢猜想：當(dāng)a(0，1)時(shí)符合題意下面給出證明：當(dāng)a1時(shí)，ag(x)max，方程至多一解，不符合題意；當(dāng)a0時(shí)，方程至多一解，不符合題意；當(dāng)a(0，1)時(shí)，g()0，所以g()a0，g()(ln )()a，所以g()a1，函數(shù)f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽，由導(dǎo)數(shù)公式知f(x)2xe
10、x(1x2)ex(x1)2ex，xR.因?yàn)閷θ我鈞R，都有f(x)0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)證明：由(1)知f(x)在(，)上單調(diào)遞增，且f(0)1a1，所以a10，所以0，所以e1，所以e10，故f()0，所以存在x0(0，)使得f(x0)0.又因?yàn)閒(x)在(，)上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)2(2019武昌區(qū)調(diào)研考試)已知函數(shù)f(x)aexaex1，g(x)x3x26x，其中a0.(1)若曲線yf(x)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求該曲線在原點(diǎn)處的切線方程；(2)若f(x)g(x)m在0，)上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)因?yàn)閒(0)a10，所以
11、a1，此時(shí)f(x)exex1.所以f(x)exe，f(0)1e.所以曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y(1e)x.(2)因?yàn)閒(x)aexaex1，所以f(x)aexaea(exe)當(dāng)x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)0x1時(shí)，f(x)1時(shí)，h(x)0；當(dāng)0x0.所以h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減所以當(dāng)x0，)時(shí)，h(x)maxh(1)m.要使f(x)g(x)m在0，)上有解，則m1，即m.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為，)3已知函數(shù)f(x)(a，bR，a0)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為a.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論方程f(x)1根的個(gè)數(shù)解：(1)函數(shù)f(x)的定義域
12、為(0，)，f(x)，由f(1)aba，得b2a，所以f(x)，f(x).當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，得0x；由f(x).當(dāng)a0，得x；由f(x)0，得0x0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)a0，在上h(x)0，當(dāng)x無限增大時(shí)，h(x)無限接近0；在上，h(x)單調(diào)遞增且當(dāng)x無限接近0時(shí)，ln x2負(fù)無限大，故h(x)負(fù)無限大故當(dāng)0時(shí)，方程f(x)1有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)a時(shí)，方程f(x)1只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)a時(shí)，方程f(x)1有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)a0或a時(shí)，方程f(x)1有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)0a時(shí)，方程f(x)1無實(shí)根4(2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln x，mR.(1)若函數(shù)f(x)的圖象在(2，f(2)處的切線與直線xy0平行，求實(shí)數(shù)n的值；(2)若n1時(shí)，函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(0x12.解：(1)由題意得f(x)，所以f(2).由于函數(shù)f(x)的圖象在(2，f(2)處的切線與直線xy0平行，所以1，解得n6.(2)證明：若n1時(shí)，f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(0x11，ln t，x1，故x1x2x1(t1)，所以x1x22，記函數(shù)h(t)ln t(t1)，則h(t)0，所以h(t)在(1，)上單調(diào)遞增，所以h(t)h(1)0，又t1時(shí)，ln t0，所以x1x22成立- 10 -
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