2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何單元質(zhì)量檢測(cè) 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何單元質(zhì)量檢測(cè) 理 新人教A版一、選擇題(每小題4分，共40分)1以下關(guān)于幾何體的三視圖的敘述中，正確的是()A球的三視圖總是三個(gè)全等的圓B正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形C水平放置的各面均為正三角形的四面體的三視圖都是正三角形D水平放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓解析：畫幾何體的三視圖要考慮視角，但對(duì)于球無(wú)論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個(gè)全等的圓答案：A2用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為()A. B.C8 D.解析：S圓r2r1，而截面圓圓心與球心的距離d1，所以球的半徑為R.所以VR3，故選B.答案：B3設(shè)、是三個(gè)互不重

2、合的平面，m、n是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是()A若，則B若m，n，則mnC若，m，則mD若，m，m，則m解析：對(duì)于A，若，可以平行，也可以相交，A錯(cuò)；對(duì)于B，若m，n，則m，n可以平行，可以相交，也可以異面，B錯(cuò)；對(duì)于C，若，m，則m可以在平面內(nèi)，C錯(cuò)；易知D正確答案：D4一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體沿其棱的中點(diǎn)截去部分后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A7 B.C. D.解析：依題意可知該幾何體的直觀圖如圖所示，其體積為232111.答案：D5已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA12AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦

3、值為()A.B.C.D.解析：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)AA12AB2，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，(0，1,1)，(0，1,2)，cos，.答案：C6如圖所示，正四棱錐PABCD的底面積為3，體積為，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則PA與BE所成的角為()A. B.C. D.解析：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE，易得OEPA，所以所求角為BEO.由所給條件易得OB，OEPA，BE.所以cosOEB，所以O(shè)EB60，選C.答案：C7如圖為棱長(zhǎng)是1的正方體的表面展開(kāi)圖，在原正方體中給出下列三個(gè)命題：點(diǎn)M到AB的距離為；三棱錐CDNE的

4、體積是；AB與EF所成的角是其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：依題意可作出正方體的直觀圖如圖，顯然M到AB的距離為MC，正確；而VCDNE111，正確；AB與EF所成的角等于AB與MC所成的角，即為，正確答案：D8正ABC與正BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為()A.B. C.D.解析：取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO.建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)BC1，則A，B，D.，.由于為平面BCD的一個(gè)法向量，可進(jìn)一步求出平面ABD的一個(gè)法向量n(1，1)，cosn，sinn，.答案：C9正三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)都為2，E，F(xiàn)，G為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B1F與平面

5、GEF所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析：如圖，取AB的中點(diǎn)E，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Exyz.則E(0,0,0)，F(xiàn)(1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(1,0,2)，C1(0，2)，G.(2,0，1)，(1,0,1)，.設(shè)平面GEF的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由得令x1，則n(1，1)，設(shè)B1F與平面GEF所成角為，則sin|cosn，|.答案：A10如圖，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB1、BC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不成立的是()AEF與BB1垂直BEF與BD垂直CEF與CD異面DEF與A1C1異面解析：連接B1C，AC

6、，則B1C交BC1于F，且F為B1C的中點(diǎn)，又E為AB1的中點(diǎn)，所以EF綊AC，而B(niǎo)1B平面ABCD，所以B1BAC，所以B1BEF，A正確；又ACBD，所以EFBD，B正確；顯然EF與CD異面，C正確；由EF綊AC，ACA1C1，得EFA1C1，故不成立的選項(xiàng)為D.答案：D二、填空題(每小題4分，共16分)11已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)解析：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)三棱錐，底面是底邊長(zhǎng)為4，高為2的等腰三角形，棱錐的高為2，故體積為V422.答案：12已知球與棱長(zhǎng)均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為_(kāi)解析：將該三棱錐放入正方體內(nèi)，若球與三棱錐各棱均相切等價(jià)

7、于球與正方體各面均相切，所以2R，R，則球的表面積為S4R242.答案：213三棱錐SABC中，SBASCA90，ABC是斜邊ABa的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：異面直線SB與AC所成的角為90；直線SB平面ABC；平面SBC平面SAC；點(diǎn)C到平面SAB的距離是a.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_解析：由題意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正確；取AB的中點(diǎn)E，連接CE，(如圖)可證得CE平面SAB，故CE的長(zhǎng)度即為C到平面SAB的距離a，正確答案：14如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G為BC的中點(diǎn)，K為AF的中點(diǎn)沿EF將矩形折成120

8、的二面角AEFB，此時(shí)KG的長(zhǎng)為_(kāi)解析：如圖，過(guò)K作KMEF，垂足M為EF的中點(diǎn)，則向量與的夾角為120，60.又，222211211cos603.|.答案：三、解答題(共4小題，共44分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、計(jì)算過(guò)程或證明步驟)15(10分)一個(gè)幾何體是由圓柱ADD1A1和三棱錐EABC組合而成，點(diǎn)A，B，C在圓O的圓周上，其正(主)視圖，側(cè)(左)視圖的面積分別為10和12，如圖所示，其中EA平面ABC，ABAC，ABAC，AE2.(1)求證：ACBD.(2)求三棱錐EBCD的體積解：(1)因?yàn)镋A平面ABC，AC平面ABC，所以EAAC，即EDAC.又因?yàn)锳CAB，ABEDA，所以A

9、C平面EBD.因?yàn)锽D平面EBD，所以ACBD.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C在圓O的圓周上，且ABAC，所以BC為圓O的直徑設(shè)圓O的半徑為r，圓柱高為h，根據(jù)正(主)視圖，側(cè)(左)視圖的面積可得，解得所以BC4，ABAC2.以下給出求三棱錐EBCD體積的兩種方法：方法1：由(1)知，AC平面EBD，所以VEBCDVCEBDSEBDCA，因?yàn)镋A平面ABC，AB平面ABC，所以EAAB，即EDAB.其中EDEADA224，因?yàn)锳BAC，ABAC2，所以SEBDEDAB424，所以SEBCD42.方法2：因?yàn)镋A平面ABC，所以VEBCDVEABCVDABCSABCEASABCDASABCED.其中ED

10、EADA224，因?yàn)锳BAC，ABAC2，所以SABCACAB224，所以VEBCD44.16(10分)如圖，ABAD，BAD90，M，N，G分別是BD，BC，AB的中點(diǎn)，將等邊BCD沿BD折疊成BCD的位置，使得ADCB.(1)求證：平面GNM平面ADC.(2)求證：CA平面ABD.證明：(1)因?yàn)镸，N分別是BD，BC的中點(diǎn)，所以MNDC.因?yàn)镸N平面ADC，DC平面ADC，所以MN平面ADC.同理NG平面ADC.又因?yàn)镸NNGN，所以平面GNM平面ADC.(2)因?yàn)锽AD90，所以ADAB.又因?yàn)锳DCB，且ABCBB，所以AD平面CAB.因?yàn)镃A平面CAB，所以ADCA.因?yàn)锽CD是等

11、邊三角形，ABAD，不妨設(shè)AB1，則BCCDBD，可得CA1.由勾股定理的逆定理，可得ABCA.因?yàn)锳BADA，所以CA平面ABD.17(12分)如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求證：ABDE；(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；(3)線段EA上是否存在點(diǎn)F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，DO.因?yàn)镋BEA，所以EOAB.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形AB2CD2BC，ABBC，所以四邊形OBCD為正方形，所以ABOD.因?yàn)镋ODO0.所以

12、AB平面EOD，所以ABED.(2)因?yàn)槠矫鍭BE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)槿切蜤AB為等腰直角三角形，所以O(shè)AOBODOE，設(shè)OB1，所以O(shè)(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一個(gè)法向量為(0,1,0)設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為，所以sin|cos，即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.(3)存在點(diǎn)F，且時(shí)，有EC平面FBD.證明如下：由，F(xiàn)，所以，(1,1,0)設(shè)平面FBD的法

13、向量為v(a，b，c)，則有所以取a1，得v(1,1,2)因?yàn)関(1,1，1)(1,1,2)0，且EC平面FBD，所以EC平面FBD，即點(diǎn)F滿足時(shí)，有EC平面FBD.18(12分)如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直已知AB2，EF1.(1)求證：平面DAF平面BCF；(2)求直線AB與平面CBF所成角的大?。?3)當(dāng)AD的長(zhǎng)為何值時(shí)，平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60？解：(1)證明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB為圓O的直徑，A

14、FBF，又BFCBB，AF平面CBF.AF平面ADF，平面DAF平面CBF.(2)由(1)知AF平面CBF，F(xiàn)B為AB在平面CBF內(nèi)的射影，因此，ABF為直線AB與平面CBF所成的角ABEF，四邊形ABEF為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)F作FHAB，交AB于H.已知AB2，EF1，則AH.在RtAFB中，根據(jù)射影定理得AF2AHAB，AF1，sinABF，ABF30.直線AB與平面CBF所成角的大小為30.(3)設(shè)EF中點(diǎn)為G，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)ADt(t0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0，t)，C(1,0，t)，又A(1,0,0)，B(1,0,0)，F(xiàn)，(2,0,0)，設(shè)平面DCF的法向量為n1(x，y，z)，則n10，n10.即，令z，解得x0，y2t，n1(0,2t，)由(1)可知AF平面CFB，取平面CBF的一個(gè)法向量為n2，依題意，n1與n2的夾角為60.cos60，即，解得t.因此，當(dāng)AD的長(zhǎng)為時(shí)，平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60.