2022年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線復(fù)習(xí)知識精講 理 蘇教版選修2-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線復(fù)習(xí)知識精講 理 蘇教版選修2-1【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 圓錐曲線復(fù)習(xí)二. 教學(xué)目標(biāo)： 1. 通過小結(jié)與復(fù)習(xí)，能較準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的特點(diǎn)以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系 2. 通過本節(jié)教學(xué)能較全面地掌握本章所教的各種方法與技巧，尤其是解析幾何的基本方法坐標(biāo)法；本周知識要點(diǎn)一. 知識歸納：名 稱橢圓雙曲線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于）的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓即 當(dāng)22時，軌跡是橢圓， 當(dāng)22時，軌跡是一條線段 當(dāng)22時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點(diǎn)的軌跡叫雙曲線即當(dāng)22時，軌跡是雙曲線當(dāng)22時，軌跡是兩條射線

2、當(dāng)22時，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn)方 程焦點(diǎn)在軸上時： 焦點(diǎn)在軸上時： 注：根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在軸上時： 焦點(diǎn)在軸上時：常數(shù)的關(guān) 系 ， 最大，最大，可以漸近線焦點(diǎn)在軸上時：焦點(diǎn)在軸上時：拋物線：圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線（一）橢圓 1. 橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程 （1）范圍：，橢圓落在組成的矩形中。 （2）對稱性:圖象關(guān)于y軸對稱。圖象關(guān)于x軸對稱。圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。原點(diǎn)叫橢圓的對稱中心，簡稱中心。x軸、y軸叫橢圓的對稱軸。從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距。 （3）頂點(diǎn)：橢圓和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn) 橢圓共有四個頂點(diǎn)：，。加兩焦點(diǎn)共有六個特殊點(diǎn)。叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸

3、。長分別為。分別為橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn)。 （4）離心率：橢圓焦距與長軸長之比。橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在時的特例。橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認(rèn)為是橢圓在時的特例。 2. 橢圓的第二定義：一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù)，那么這個點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率。橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式 3. 橢圓的準(zhǔn)線方程 對于，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線對于，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（焦參數(shù)）（二）雙曲線的幾何性質(zhì)： 1.

4、（1）范圍、對稱性由標(biāo)準(zhǔn)方程，從橫的方向來看，直線xa,xa之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線。雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心。 （2）頂點(diǎn) 頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)： 實(shí)軸：長為2a,a叫做實(shí)半軸長。虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長。 雙曲線只有兩個頂點(diǎn)，而橢圓則有四個頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異。 （3）漸近線 過雙曲線的漸近線（） （4）離心率 雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：e1 雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可

5、知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。 2. 等軸雙曲線 定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率。 3. 共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗伞?4. 共軛雙曲線 以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同。共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?。 5. 雙曲線的第二定義：到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是

6、雙曲線。其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線。常數(shù)e是雙曲線的離心率。 6. 雙曲線的準(zhǔn)線方程： 對于來說，相對于左焦點(diǎn)對應(yīng)著左準(zhǔn)線，相對于右焦點(diǎn)對應(yīng)著右準(zhǔn)線； 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（也叫焦參數(shù)）。 對于來說，相對于下焦點(diǎn)對應(yīng)著下準(zhǔn)線；相對于上焦點(diǎn)對應(yīng)著上準(zhǔn)線。（三）拋物線的幾何性質(zhì) （1）范圍 因?yàn)閜0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）滿足不等式x0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。 （2）對稱性 以y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。 （3）頂點(diǎn) 拋物線和它

7、的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)在方程中，當(dāng)y0時，x0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。 （4）離心率 拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示。由拋物線的定義可知，e1?！镜湫屠}】 例1. 根據(jù)下列條件，寫出橢圓方程 （1）中心在原點(diǎn)、以對稱軸為坐標(biāo)軸、離心率為1/2、長軸長為8； （2）和橢圓9x24y236有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）； （3）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，從一個焦點(diǎn)看短軸兩端的視角為直角，焦點(diǎn)到長軸上較近頂點(diǎn)的距離是。 分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要根據(jù)焦點(diǎn)位置確定方程形式，其次是根據(jù)a2b2c2及已知條件確定a2、b2的值進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方

8、程。 解：（1）焦點(diǎn)位置可在x軸上，也可在y軸上 因此有兩解： （2）焦點(diǎn)位置確定，且為（0，），設(shè)原方程為,（ab0），由已知條件有，故方程為。 （3）設(shè)橢圓方程為,（ab0） 由題設(shè)條件有及a2b2c2，解得b 故所求橢圓的方程是。 例2. 直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？ 解：把代入 整理得：（1） 當(dāng)時， 由0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)若A、B在雙曲線的同一支，須0，所以或。 故當(dāng)或時，A、B兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)時，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。 例3. 已知拋物線方程為（p0），直線過拋物線的焦

9、點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。 解：設(shè)與拋物線交于 由距離公式|AB| 則有 由 從而 即 由于p0，解得【模擬試題】（答題時間：40分鐘） 1. 是任意實(shí)數(shù)，則方程所表示的曲線不可能是（ ） A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 圓 2. 已知橢的一條準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)的值是（ ） A. 7或7B. 4或12C. 1或15D. 0 3. 雙曲線的離心率，則的取值范圍為（ ） A. B. （12，0） C. （3，0） D. （60，12） 4. 以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為（） A. B. C. D. 5. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A. B. C. D. 6.

10、已知點(diǎn)A（2，1），的焦點(diǎn)為F，P是的點(diǎn)，為使取得最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 7. 已知雙曲線的漸近線方程為，一條準(zhǔn)線方程為，則雙曲線方程為（ ） A. B. C. D. 8. 拋物線到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A. B. C. D. 9. 動圓的圓心在拋物線上，且動圓與直線相切，則動圓必過定點(diǎn)（ ） A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，2） 10. 到定點(diǎn)（2，0）的距離與到定直線的距離之比為的動點(diǎn)的軌跡方程為_。 11.雙曲線的一條準(zhǔn)線是，則_。 12. 已知點(diǎn)（2，3）與拋物線的焦點(diǎn)距離是5，_。 13. 中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為F

11、1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。 14. 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F（2，0）作斜率為的直線，交雙曲線于M、N 兩點(diǎn)，且4，求雙曲線方程?！驹囶}答案】 1. C2. C3. B4. A5. B 6. A7. A8. B9. B 10. 11. 12. 4 13. 分析：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由F1（0，）知，c，最后解關(guān)于a、b的方程組即可。 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由F1（0，）得 把直線方程代入橢圓方程整理得： 設(shè)弦的兩個端點(diǎn)為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得： ， 又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為， ，與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為： 14. 解：設(shè)所求雙曲線方程為（a0，b0），由右焦點(diǎn)為（2，0）。知c2，b24a2則雙曲線方程為，設(shè)直線MN的方程為：，代入雙曲線方程整理得：（208a2）x212a2x5a432a20 設(shè)M（x1,y1）,N（x2,y2）,則 解得：， 故所求雙曲線方程為：