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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 專題探究課三習題 理 新人教A版(I)
1.(xx·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
解 (1)由已知，有f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，f＝－，
f ＝－，f＝，
所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－.
2.(xx·湖南卷)設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btan A.
(1)證明：si
2、n B＝cos A；
(2)若sin C－sin Acos B＝，且B為鈍角，求A，B，C.
(1)證明 由正弦定理知＝＝＝2R，
∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入a＝btan A得：
∴sin A＝sin B·，又∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，
∴1＝，即sin B＝cos A.
(2)解 由sin C－sin Acos B＝知，
sin(A＋B)－sin Acos B＝，∴cos Asin B＝.
由(1)知，sin B＝cos A，∴cos2A＝，由于B是鈍角，
故A∈，∴cos A＝，A＝.
sin B＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.
3.(
3、xx·江蘇啟東中學模擬)設函數(shù)f(x)＝sin＋cos2x＋sin xcos x.
(1)若|x|＜，求函數(shù)f(x)的值域；
(2)設A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若f＝，
cos(A＋C)＝－，求cos C的值.
解 (1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋＋sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝2sin＋.
∵|x|＜，∴－＜2x＋＜，
∴－＜sin≤1，
∴－＜f(x)≤，即f(x)的值域為.
(2)由f＝得sin＝1，
又A為△ABC的內(nèi)角，所以A＝.
又因為在△ABC中，cos(A＋C)＝－，
所以sin(A＋C)＝，
所以cos C＝co
4、s
＝cos(A＋C)＋sin(A＋C)＝.
4.(xx·成都診斷)設函數(shù)f(x)＝sin＋2sin2(ω＞0)，已知函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝，△ABC的面積為S＝6，a＝2，求b，c的值.
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋1－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx＋1
＝sin＋1.
∵函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π，
∴函數(shù)f(x)的周期為2π.∴ω＝1.
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sin＋
5、1.
(2)由f(A)＝，得sin＝.
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
∵S＝bcsin A＝6，
∴bcsin ＝6，bc＝24，
由余弦定理，得a2＝(2)2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24.
∴b2＋c2＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.
5.已知△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝
(2sin B，－)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，且m∥n.
(1)求銳角B的大??；
(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值.
解 (1)∵m∥n，
∴2sin B＝－cos 2B，
∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－
6、.
又∵B為銳角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.
(2)∵B＝，b＝2，
由余弦定理cos B＝，
得a2＋c2－ac－4＝0.
又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，
當且僅當a＝c＝2時等號成立.
故S△ABC＝acsin B＝ac≤，
當且僅當a＝c＝2時等號成立，
即S△ABC的最大值為.
6.(xx·四川卷) 如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.
(1)證明：tan ＝；
(2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan ＋tan ＋tan ＋tan 的值.
(1)證明 tan ＝＝＝.
(2)解 由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B，
由(1)，有tan ＋tan ＋tan ＋tan
＝＋＋＋
＝＋.
連接BD，
在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A，
在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，
所以AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝BC2＋CD2＋2BC·CDcos A，
則cos A ＝
＝＝，
于是sin A＝＝ ＝.
連接AC，同理可得
cos B＝＝＝，
于是sin B＝＝ ＝.
所以tan ＋tan ＋tan ＋tan
＝＋
＝＋
＝.
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