2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點 分層教學(xué) 專項二 專題五 1 第1講 直線與圓學(xué)案

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1、第1講直線與圓年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析2018卷圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系T19(2)1.近兩年圓的方程成為高考全國課標(biāo)卷命題的熱點，需重點關(guān)注此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式考查2直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上.卷直線與圓的位置關(guān)系T62017卷圓的性質(zhì)、點到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)T15卷圓的弦長問題、雙曲線的幾何性質(zhì)T9卷直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離、橢圓的離心率T10直線與圓的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系T202016卷圓的方程

2、、點到直線的距離應(yīng)用T4卷直線與圓的位置關(guān)系T16直線的方程(基礎(chǔ)型) 兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在 2個距離公式(1)兩平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離d.(2)點(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離公式d.考法全練1若平面內(nèi)三點A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a()A1或0B.或0C.D.或0解析：選A.因為平面內(nèi)三點A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，所以kABkAC，即，即a(a22a

3、1)0，解得a0或a1.故選A.2若直線mx2ym0與直線3mx(m1)y70平行，則m的值為()A7B0或7C0D4解析：選B.因為直線mx2ym0與直線3mx(m1)y70平行，所以m(m1)3m2，所以m0或7，經(jīng)檢驗，都符合題意故選B.3兩條平行線l1，l2分別過點P(1，2)，Q(2，3)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是()A(5，)B(0，5C(，)D(0，解析：選D.當(dāng)直線PQ與平行線l1，l2垂直時，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為，所以l1，l2之間距離的取值范圍是(0，故選D.4已知點A(1，2)，B(2，11)，若直線

4、yx1(m0)與線段AB相交，則實數(shù)m的取值范圍是()A2，0)3，)B(，1(0，6C2，13，6D2，0)(0，6解析：選C.由題意得，兩點A(1，2)，B(2，11)分布在直線yx1(m0)的兩側(cè)(或其中一點在直線上)，所以0，解得2m1或3m6，故選C.5(一題多解)已知直線l：xy10，l1：2xy20.若直線l2與l1關(guān)于直線l對稱，則直線l2的方程是_解析：法一：l1與l2關(guān)于l對稱，則l1上任意一點關(guān)于l的對稱點都在l2上，故l與l1的交點(1，0)在l2上又易知(0，2)為l1上的一點，設(shè)其關(guān)于l的對稱點為(x，y)，則，解得即(1，0)，(1，1)為l2上兩點，故可得l2的

5、方程為x2y10.法二：設(shè)l2上任一點為(x，y)，其關(guān)于l的對稱點為(x1，y1)，則由對稱性可知解得因為(x1，y1)在l1上，所以2(y1)(x1)20，即l2的方程為x2y10.答案：x2y10圓的方程(綜合型)圓的3種方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)(3)圓的直徑式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的兩端點是A(x1，y1)，B(x2，y2) 典型例題 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線：yx2mx2m(mR)與x軸交于不同的兩點A，B，曲線與y軸交于點C.(1)是否存在以AB為直徑的圓過

6、點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由(2)求證：過A，B，C三點的圓過定點【解】由曲線：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0.設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則可得m28m0，x1x2m，x1x22m.令x0，得y2m，即C(0，2m)(1)若存在以AB為直徑的圓過點C，則0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0或m.由0得m8，所以m，此時C(0，1)，AB的中點M即圓心，半徑r|CM|，故所求圓的方程為y2.(2)證明：設(shè)過A，B兩點的圓的方程為x2y2mxEy2m0，將點C(0，2m)代入可得E12m，所以過A，B，C三點的圓的方程為x2y2mx(12

7、m)y2m0，整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故過A，B，C三點的圓過定點(0，1)和.求圓的方程的兩種方法(1)直接法：利用圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合直接求出圓心坐標(biāo)、半徑，進(jìn)而求出圓的方程(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出圓的方程，再由條件構(gòu)建系數(shù)滿足的方程(組)求得各系數(shù)，進(jìn)而求出圓的方程 對點訓(xùn)練1圓(x1)2(y2)21關(guān)于直線yx對稱的圓的方程為()A(x2)2(y1)21B(x1)2(y2)21C(x2)2(y1)21D(x1)2(y2)21解析：選A.由題意知圓心的坐標(biāo)為(1，2)易知(1，2)關(guān)于直線yx對稱的點為(2，1)，所以圓(x1)2(y2)21關(guān)

8、于直線yx對稱的圓的方程為(x2)2(y1)21，故選A.2已知ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.B.C.D.解析：選B.設(shè)外接圓圓心為P.因為ABC外接圓的圓心在線段BC的垂直平分線上，即直線x1上，可設(shè)圓心P(1，p)，由PAPB得|p|，解得p，所以圓心坐標(biāo)為P，所以圓心到原點的距離|OP|.故選B.3經(jīng)過原點且與直線xy20相切于點(2，0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24解析：選A.設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a，b)，則a2b2r2，(a2

9、)2b2r2，1，聯(lián)立解得a1，b1，r22.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x1)2(y1)22.故選A.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(綜合型) 直線與圓的位置關(guān)系的判定(1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dr相交；dr相切；dr相離(2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式來討論位置關(guān)系：0相交；0相切；0相離 圓與圓的位置關(guān)系的判定(1)dr1r2兩圓外離(2)dr1r2兩圓外切(3)|r1r2|dr1r2兩圓相交(4)d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)切(5)0d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)含 典型例題命題角度一圓的切線問題 (2018永州模擬)自圓C

10、：(x3)2(y4)24外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為()A8x6y210B8x6y210C6x8y210D6x8y210【解析】由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，4)，半徑r2，如圖因為|PQ|PO|，且PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以點P的軌跡方程為6x8y210，故選D.【答案】D過一點求圓的切線方程的方法(1)過圓上一點(x0，y0)的圓的切線的方程的求法若切線斜率存在，則先求切點與圓心連線所在直線的斜率k(k0)，由垂直關(guān)系知切線斜率為，由點斜式方程可求切

11、線方程若切線斜率不存在，則可由圖形寫出切線方程xx0. (2)過圓外一點(x0，y0)的圓的切線的方程的求法當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線斜率為k，切線方程為yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程當(dāng)切線斜率不存在時要加以驗證命題角度二直線與圓相交問題 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C與y軸相切，且過點M(1，)，N(1，)(1)求圓C的方程；(2)已知直線l與圓C交于A，B兩點，且直線OA與直線OB的斜率之積為2.求證：直線l恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)【解】(1)因為圓C過點M(1，)，N(1，)，所以圓心C在線段MN的垂直平分線上，即在x軸上，故設(shè)

12、圓心為C(a，0)，易知a0，又圓C與y軸相切，所以圓C的半徑ra，所以圓C的方程為(xa)2y2a2.因為點M(1，)在圓C上，所以(1a)2()2a2，解得a2.所以圓C的方程為(x2)2y24.(2)記直線OA的斜率為k(k0)，則其方程為ykx.聯(lián)立，得消去y，得(k21)x24x0，解得x10，x2.所以A.由kkOB2，得kOB，直線OB的方程為yx，在點A的坐標(biāo)中用代換k，得B.當(dāng)直線l的斜率不存在時，得k22，此時直線l的方程為x.當(dāng)直線l的斜率存在時，即k22.則直線l的斜率為.故直線l的方程為y.即y，所以直線l過定點.綜上，直線l恒過定點，定點坐標(biāo)為.直線與圓相交問題的求

13、法(1)弦長的求解方法根據(jù)半徑，弦心距，弦長構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系R2d2(其中l(wèi)為弦長，R為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)根據(jù)公式l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)求出交點坐標(biāo)，用兩點間距離公式求解(2)定點、定值問題的求解步驟設(shè)：設(shè)出直線方程，并代入圓的方程整理成關(guān)于x(或y)的一元二次方程列：用參數(shù)表示出需要證明的直線或者幾何式子解：判斷直線是否過定點或?qū)Ρ硎境龅拇鷶?shù)式進(jìn)行化簡求解 對點訓(xùn)練1(2018黃山模擬)已知圓O：x2y21，點P為直線1上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB經(jīng)過

14、定點()A.B.C.D.解析：選B.因為點P是直線1上的一動點，所以設(shè)P(42m，m)因為PA，PB是圓x2y21的兩條切線，切點分別為A，B，所以O(shè)APA，OBPB，所以點A，B在以O(shè)P為直徑的圓C上，即弦AB是圓O和圓C的公共弦所以圓心C的坐標(biāo)是，且半徑的平方r2，所以圓C的方程為(x2m)2，又x2y21，所以得，(2m4)xmy10，即公共弦AB所在的直線方程為(2xy)m(4x1)0，所以由得所以直線AB過定點.故選B.2已知圓C經(jīng)過點A(0，2)，B(2，0)，圓C的圓心在圓x2y22的內(nèi)部，且直線3x4y50被圓C所截得的弦長為2.點P為圓C上異于A，B的任意一點，直線PA與x軸

15、交于點M，直線PB與y軸交于點N.(1)求圓C的方程；(2)若直線yx1與圓C交于A1，A2兩點，求；(3)求證：|AN|BM|為定值解：(1)易知圓心C在線段AB的中垂線yx上，故可設(shè)C(a，a)，圓C的半徑為r.因為直線3x4y50被圓C所截得的弦長為2，且r，所以C(a，a)到直線3x4y50的距離d，所以a0或a170.又圓C的圓心在圓x2y22的內(nèi)部，所以a0，圓C的方程為x2y24.(2)將yx1代入x2y24得2x22x30.設(shè)A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，則x1x21，x1x2.所以(x12)(x22)y1y2x1x22(x1x2)4(x11)(x21)2x1x2(x

16、1x2)53153.(3)證明：當(dāng)直線PA的斜率不存在時，|AN|BM|8.當(dāng)直線PA與直線PB的斜率都存在時，設(shè)P(x0，y0)，直線PA的方程為yx2，令y0得M.直線PB的方程為y(x2)，令x0得N.所以|AN|BM|444444448，故|AN|BM|為定值8.一、選擇題1(2018高考全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2，6B4，8C，3D2，3 解析：選A.圓心(2，0)到直線的距離d2，所以點P到直線的距離d1，3根據(jù)直線的方程可知A，B兩點的坐標(biāo)分別為A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以A

17、BP的面積S|AB|d1d1.因為d1，3，所以S2，6，即ABP面積的取值范圍是2，62圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于A、B兩點，且|AB|2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24解析：選A.由題意得，圓C的半徑為，圓心坐標(biāo)為(1，)，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y)22，故選A.3半徑為2的圓C的圓心在第四象限，且與直線x0和xy2均相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A(x1)2(y2)24B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)24D(x2)2(y2)24解析：選C.設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，a)(a0

18、)，則圓心到直線xy2的距離d2，所以a2，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y2)24，故選C.4(2018湖南湘東五校聯(lián)考)圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離等于2的點有()A1個B2個C3個D4個解析：選B.圓(x3)2(y3)29的圓心為(3，3)，半徑為3，圓心到直線3x4y110的距離d2，所以圓上到直線3x4y110的距離為2的點有2個故選B.5在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過定點P的直線l：axy10與過定點Q的直線m：xay30相交于點M，則|MP|2|MQ|2()A.B.C5D10解析：選D.由題意知P(0，1)，Q(3，0)，因為過定點P的直線axy10與過定點Q的

19、直線xay30垂直，所以MPMQ，所以|MP|2|MQ|2|PQ|29110，故選D.6(2018鄭州模擬)已知ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(2，3)，B(2，1)，C(6，1)，以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，則該圓的方程為()Ax2y21Bx2y237Cx2y24Dx2y21或x2y237解析：選D.如圖，易知AC所在直線的方程為x2y40.點O到直線x2y40的距離d1，OA，OB，OC，所以以原點為圓心的圓若與三角形ABC有唯一的公共點，則公共點為(0，1)或(6，1)，所以圓的半徑為1或，則該圓的方程為x2y21或x2y237.故選D.二、填空題7(2018南寧模擬)過點(

20、，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于_解析：令P(，0)，如圖，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，當(dāng)AOB90時，AOB的面積取得最大值，此時過點O作OHAB于點H，則|OH|，于是sinOPH，易知OPH為銳角，所以O(shè)PH30，則直線AB的傾斜角為150，故直線AB的斜率為tan 150.答案：8已知動直線l0：axbyc20(a0，c0)恒過點P(1，m)，且Q(4，0)到動直線l0的最大距離為3，則的最小值為_解析：動直線l0：axbyc20(a0，c0)恒過點P(1，m)，所以abmc2

21、0.又Q(4，0)到動直線l0的最大距離為3，所以 3，解得m0.所以ac2.又a0，c0，所以(ac)，當(dāng)且僅當(dāng)c2a時取等號答案：9(2018桂林、百色、梧州、崇左、北海五市聯(lián)考)設(shè)圓C滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為31；圓心到直線l：x2y0的距離為d.當(dāng)d最小時，圓C的面積為_解析：設(shè)圓C的圓心為C(a，b)，半徑為r，則點C到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|.由題設(shè)知圓C截x軸所得劣弧所對的圓心角為90，知圓C截x軸所得的弦長為r，故r22b2，又圓C截y軸所得的弦長為2，所以r2a21，從而得2b2a21.又點C(a，b)到直線x2y0的距離d，所以

22、5d2(a2b)2a24b24aba24b22(a2b2)2b2a21，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2b21時等號成立，此時d取得最小值，此時r22，圓C的面積為2.答案：2三、解答題10已知點P(2，2)，圓C：x2y28y0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|OM|時，求l的方程及POM的面積解：(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0，4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則(x，y4)，(2x，2y)由題設(shè)知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x1

23、)2(y3)22.(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心，為半徑的圓由于|OP|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上又P在圓N上，從而ONPM.因為ON的斜率為3，所以l的斜率為，故l的方程為yx.又|OM|OP|2，O到l的距離為，|PM|，所以POM的面積為.11(2018高考全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為yk(x1)(k0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k21

24、60，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.12如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2，4)(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；(3)

25、設(shè)點T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍解：(1)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6，7)，半徑為5.由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0y07，于是圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)因為直線lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因為BCOA2，而MC2d2，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為A(2，4)，T(t，0)，所以()因為點Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.()將()代入()，得(x1t4)2(y13)225.于是點P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點，所以5555，解得22t22.因此，實數(shù)t的取值范圍是22，22 15