2022年高三數學上學期第三次考試試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數學上學期第三次考試試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜析】試題的題型比例配置與高考要求一致，全卷重點考查中學數學主干知識和方法，側重于中學數學學科的基礎知識和基本技能的考查，側重于知識交匯點的考查.在函數、三角函數、數列、立體幾何、導數、圓錐曲線、概率統(tǒng)計等仍然是支撐整份試卷的主體內容，尤其在解答題，涉及高中數學的重點知識.明確了教學方向和考生的學習方向.本卷具有一定的綜合性，很多題由多個知識點構成，在適當的規(guī)劃和難度控制下，效果明顯，通過知識交匯的考查，對考生數學能力提出了較高的要求，提高了區(qū)分度，完全符合課改的要求和學生學習的實際情況. 一、選擇題（本大題共10小

2、題，每小題只有一個正確答案，每題5分，共50分） 【題文】1. 設集合≤x≤2},B=,則= A.［1,2］ B.［0,2］ C. ［1,4］ D.［0,4］ 【知識點】交、并、補集的混合運算．A1 【答案解析】B 解析：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x＞0，x∈R}={x＞4，或x＜0}， ∴={x|0≤x≤4}，∴={x|0≤x≤2}．故選B． 【思路點撥】利用不等式的性質，結合題設條件先求出，再求的值． 【題文】2. 設（是虛數單位），則=

3、 A. B． C． D． 【知識點】復數代數形式的混合運算．L4 【答案解析】C 解析：∵，∴== =1+i﹣2i=1﹣i，故選：C． 【思路點撥】根據復數的四則運算進行化簡即可得到結論． 【題文】3．以q為公比的等比數列中，，則“”是“”的 A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．A2 【答案解析】A 解析：在等比數列中，若a1＜a3，則a1＜a1q2， ∵a1＞0，∴q2＞1，即q＞1或

4、q＜﹣1． 若q＞1，則a1q2＞a1，即a1＜a3成立， ∴“a1＜a3”是“q＞1”成立的必要不充分條件，故選：A． 【思路點撥】根據等比數列的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷． 【題文】4．若點M（）為平面區(qū)域上的一個動點，則的最大值是 A． B． C． D． 【知識點】簡單線性規(guī)劃．E5 【答案解析】D 解析：由約束條件作出可行域如圖， 令z=x+2y，化為直線方程的斜截式得：， 由圖可知，當直線過可行域內的點A（0，）時，直線在y軸上的截距最大， z最大，最大值為z=0+2×=1．故選：D

5、． 【思路點撥】由約束條件作出可行域，令z=x+2y，化為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入z=x+2y得答案． 【題文】5．若如下框圖所給的程序運行結果為，那么判斷框中應填入的關于的條件是 A． B． C． D． 【知識點】程序框圖．L1 【答案解析】D 解析：當k=10時，S=1+10=11，k=9， 當k=9時，S=11+9=20，k=8， 當k=8時，S=20+8=28，k=7， 當k=7時，S=28+7=35，k=6， 此時不滿足條件輸出， ∴判斷框中應填入的關于k

6、的條件是k＞6， 故選：D． 【思路點撥】根據程序，依次進行運行得到當S=35時，滿足的條件，即可得到結論． 【題文】6．已知實數x，y滿足ax＜ay(0＜a＜1)，則下列關系式恒成立的是 A．＞ B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C．sin x＞sin y D．x3＞y3 【知識點】指數函數的圖像與性質；對數函數的圖像與性質.B6 【答案解析】D 解析：∵實數x，y滿足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y， A．若＞，則等價為x2+1＜y2+1，即x2＜y2，當x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＜y2不成立． B．若ln（x2+1）＞ln（y2+

7、1），則等價為x2＞y2成立，當x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＞y2不成立． C．當x=π，y=時，滿足x＞y，但sinx＞siny不成立． D．當x＞y時，x3＞y3，恒成立， 故選：D． 【思路點撥】本題主要考查不等式的大小比較，利用函數的單調性的性質是解決本題的關鍵． 【題文】7．函數，下列結論不正確的 A．此函數為偶函數． B．此函數是周期函數． C．此函數既有最大值也有最小值． D．方程的解為． 【知識點】分段函數的應用．B10 【答案解析】D 解析：A．若x為有理數，則﹣x也為有理數，∴f（﹣x

8、）=f（x）=1， 若x為無理數，則﹣x也無有理數，∴f（﹣x）=f（x）=π，∴恒有f（﹣x）=f（x），∴函數f（x）為偶函數．∴A正確． B．設T為一個正數．當T為無理數時，有f（0）=1，f（0+T）=f（T）=π，∴f（0）=f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期； 當T為有理數時，若x為有理數，易知x+kT（k為整數）還是有理數，有f（x+T）=f（x）， 若x為無理數，易知x+kT（k為整數）還是無理數，仍有f（x+T）=f（x）．綜上可知，任意非0有理數都是f（x）的周期．此命題也是對的． C．由分段 函數的表達式可知，當x為有理數時，f（x）=1，當x為無理

9、數時，f（x）=π， ∴函數的最大值為π，最小值為1，∴C正確． D．當x為有理數時，f（x）=1，則f[f（x）]=f（1）=1，此時方程成立． 當x為無理數時，f（x）=π，則f[f（x）]=f（π）=π，∴D錯誤． 故選：D． 【思路點撥】根據分段函數的表達式，分別利用函數奇偶性，周期性和函數的單調性的性質進行判斷即可． 【題文】8．不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是 A． B． C． D． 【知識點】一元二次不等式的解法．E3 【答案解析】C 解析：對任意a，b∈（0，+∞），， 所以只需x2+2x＜8,即（x﹣2）（x+4）

10、＜0，解得x∈（﹣4，2）,故選C 【思路點撥】由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值． 【題文】9．設函數的圖像關于直線對稱，它的周期是，則 A．的圖象過點 B．在上是減函數 C．的一個對稱中心是 D．的最大值是A 【知識點】正弦函數的對稱性；三角函數的周期性及其求法．C3 【答案解析】C 解析：函數f（x）=Asin（ωx+φ）的周期π，所以ω==2；函數圖象關于直線對稱，所以，因為，所以φ=， 函數的解析式為 f（x）=Asin（2x+），f（x）的圖象過點不正確；f（x）在上是減函數，不正確，f（x）的最大值是|A|，所以D不正確

11、；x=時，函數f（x）=0，所以f（x）的一個對稱中心是，正確； 故選C 【思路點撥】通過函數f（x）=Asin（ωx+φ）的周期，求出ω，利用函數圖象的對稱軸，求出φ，得到函數的解析式，然后判斷選項的正誤即可． 【題文】 10．設函數的圖像在點處切線的斜率為，則函數的圖像為 A B C D 【知識點】利用導數研究函數的單調性．B12 【答案解析】B 解析：∵f（x）=x sinx+cosx ∴f'（x）=（x sinx）'

12、+（cosx）'=x（sinx）'+（x）'sinx+（cosx）'=x cosx+sinx﹣sinx=x cosx ∴k=g（t）=tcost，根據y=cosx的圖象可知g（t）應該為奇函數且當x＞0時g（t）＞0 故選B． 【思路點撥】先對函數f（x）進行求導運算，根據在點（t，f（t））處切線的斜率為在點（t，f（t））處的導數值，可得答案． 二、填空題（5小題，每題5分，共25分） 【題文】11．平面向量與的夾角為，，，則=________ . 【知識點】平面向量數量積的運算．F3 【答案解析】 解析：由題意可得 =||?||?cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，

13、 ∴|﹣2|====2， 故答案為：． 【思路點撥】由題意可得 =||?||?cos120°的值，再根據|﹣2|=，計算求得結果． 【題文】12．已知等差數列的公差，若， _____. 【知識點】等差數列的性質．D2 【答案解析】1008 解析：∵等差數列{an}中，∴a1+a2+…+axx=xxa1008， ∵a1+a2+…+axx=xxam，∴m=1008．故答案為：1008． 【思路點撥】直接利用等差數列性質，即可得出結論． 【題文】13．已知矩形中，，在矩形內隨機取一點,則 的概率為__________ . 【知識點】幾何概型．K3 【答案解析】 解析：

14、四邊形ABCD的面積為2． BM＜BC表示以B為圓心，1為半徑的圓在矩形ABCD內部的部分，面積為， ∴BM＜BC的概率為=． 故答案為：． 【思路點撥】本題為幾何概型，由題意通過圓和矩形的知識確定滿足條件的圖形，分別找出滿足條件的點集對應的圖形面積，及圖形的總面積，作比值即可． 【題文】14．已知=2，=3，=4，…，若=6（a，t均為正實數）．類比以上等式，可推測a，t的值，則t+a=　_________?。畑x考2xx20 【知識點】類比推理．M1 【答案解析】41 解析：觀察下列等式 =2， =3，=4，… 照此規(guī)律，第5個等式中：a=6，t=a2﹣1=35，

15、a+t=41． 故答案為：41． 【思路點撥】觀察所給的等式，等號右邊是，，…第n個應該是，左邊的式子，寫出結果． 【題文】15．下列命題： ①兩個變量間的相關系數越小，說明兩變量間的線性相關程度越低； ②已知線性回歸方程為，當變量增加1個單位，其預報值平均增加2個單位； ③某項測試成績滿分為10分，現隨機抽取30名學生參加測試，得分如右圖所示，假設得分值的中位數為me，平均值為，眾數為mo，則me=mo＜； ④設a、b∈R，若a+b≠6，則a≠3或b≠3； ⑤不等式＋－<的解集為，則. 其中正確命題的序號是 （把所有正確命題的序號都寫上）.

16、 【知識點】頻率分布直方圖.菁I2 【答案解析】②④ 解析：對于①，相關系數r的絕對值越趨近于1，相關性越強；越趨近于0，相關性越弱，∴①錯誤； 對于②，線性回歸方程=3+2中，當變量x增加1個單位時，其預報值平均增加2個單位，是正確的； 對于③，根據頻率分布直方圖得，眾數mo最小，平均值最大，∴③錯誤； 對于④，它的逆否命題是：設a、b∈R，若a=3且b=3，則a+b=6，是真命題， ∴原命題也是真命題，④正確； 對于⑤，由絕對值的意義知|x|+|x﹣1|的最小值為1， ∴|x|+|x﹣1|＜a的解集為空集時，a≤1，∴⑤錯誤． 綜上，正確的命題是②④． 故答案為：②

17、④． 【思路點撥】①根據相關系數r的意義判斷即可； ②根據線性回歸方程中相關系數的意義判斷即可； ③根據頻率分布直方圖以及眾數、中位數和平均數的意義進行判斷即可； ④根據原命題與逆否命題的真假性相同，進行判斷即可； ⑤根據絕對值的意義以及不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的關系，即可得出a的取值范圍． 三、解答題：（6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 16．（本小題滿分12分） 某次的一次學科測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖． （Ⅰ）求參加測試的總人數及分數在[80，90）之間的人數； （Ⅱ）若要從分數在[80，1

18、00）之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，求在抽取的試卷中，恰有一份分數在[90，100）之間的概率． 【知識點】列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．K2 I2 【答案解析】（Ⅰ）4；（Ⅱ）。 解析：（Ⅰ）成績在[50，60）內的頻數為2，由頻率分布直方圖可以看出，成績在[90，100]內同樣有2人． 由，解得n=25．成績在[80，90）之間的人數為25﹣（2+7+10+2）=4人，∴參加測試人數n=25，分數在[80，90）的人數為4人。 （Ⅱ）設“在[80，100]內的學生中任選兩人，恰有一人分數在[90，100]內”為事件M， 將[80，90）內的4人

19、編號為a，b，c，d；[90，100]內的2人編號為A，B 在[80，100]內的任取兩人的基本事件為：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15個．其中，恰有一人成績在[90，100]內的基本事件有 aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8個．∴所求的概率得。 【思路點撥】（Ⅰ）根據條件所給的莖葉圖看出分數在[50，60）之間的頻數，由頻率分布直方圖看出分數在[50，60）之間的頻率和[90，100）之間的頻率一樣，繼而得到參加測試的總人數及分數在[80，90）之間的人數； （Ⅱ）由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有

20、事件可以通過列舉得到結果數，看出滿足條件的事件數，根據古典概型公式得到結果． 【題文】17.（本小題滿分12分） 已知等比數列的前項和為 ，成等差數列. （Ⅰ）求數列的通項公式; （Ⅱ）數列是首項為-6，公差為2的等差數列，求數列的前項和. 【知識點】等差數列與等比數列的綜合；數列的求和．D4 D5 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）由已知得,則. 代入，得，解得（舍去）或.所以. （Ⅱ）由題意得，所以. 設數列的前項和為，則 . 【思路點撥】（Ⅰ）利用S1，2S2，3S3成等差數列，確定數列的公比，即可求得數列的通項；（Ⅱ）確定數列{bn}的通項，利用分組求和

21、，可求數列{bn}的前n項和． 【題文】18．（本小題滿分12分） 已知函數． (Ⅰ)設，求的值域； (Ⅱ)在△ABC中，角，，所對的邊分別為，，．已知c=1，，且△ABC的面積為，求邊a和b的長． 【知識點】三角函數中的恒等變換應用；正弦定理．C7 C8 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）或 解析：（Ⅰ）==． 時，值域為． （Ⅱ）因為，由（1）知． 因為△ABC的面積為，所以，于是. ① 在△ABC中，設內角A、B的對邊分別是a，b. 由余弦定理得，所以． ?② 由①②可得或 【思路點撥】（Ⅰ）化簡可得f（x）=．x∈[﹣，]，即可求出f

22、（x）的值域；（Ⅱ）先求出C，再由三角形面積公式有，由正弦定理得a2+b2=7．聯立方程即可解得． 【題文】19.（本小題滿分12分） 已知在正項數列{an}中，Sn表示前n項和且2＝an＋1，數列的前n項和, (I) 求; (II)是否存在最大的整數t,使得對任意的正整數n均有總成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由, 【知識點】數列與不等式的綜合．D5 【答案解析】（Ⅰ）an＝2n－1，；（Ⅱ）存在符合題意。 解析：（Ⅰ）由2＝an＋1，得Sn＝2， 當n＝1時，a1＝S1＝2，得a1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2－2，整理，得(an＋an－1)(an

23、－an－1－2)＝0， ∵數列{an}各項為正，∴an＋an－1>0.∴an－an－1－2＝0. ∴數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列．∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 于是 易知數列是遞增數列，故T1=是最小值，只需，即，因此存在符合題意。 【思路點撥】（Ⅰ）由2=an+1，得Sn=（）2，從而數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，由此能求出an，Sn．（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn==，=，由此能求出t=11符合題意． 【題文】20.（本小題滿分13分） 某商區(qū)停車場臨時停車按時段收費，收費標準為：每輛汽車一次

24、停車不超過小時收費元，超過小時的部分每小時收費元（不足小時的部分按小時計算）．現有甲、乙二人在該商區(qū)臨時停車，兩人停車都不超過小時． (I) 若甲停車小時以上且不超過小時的概率為，停車付費多于元的概率為，求甲停車付費恰為元的概率； （Ⅱ）若每人停車的時長在每個時段的可能性相同，求甲、乙二人停車付費之和為元的概率． 【知識點】古典概型及其概率計算公式；互斥事件與對立事件．K2 K4 K5 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）設“甲臨時停車付費恰為元”為事件，則 ． 甲臨時停車付費恰為元的概率是． (Ⅱ)設甲停車付費元，乙停車付費元，其中． 則甲、乙二人的停車費用共有16種

25、等可能的結果： .其中，種情形符合題意． “甲、乙二人停車付費之和為元”的概率為． 【思路點撥】（Ⅰ）根據題意，由全部基本事件的概率之和為1求解即可． （Ⅱ）先列出甲、乙二人停車付費之和為36元的所有情況，再利用古典概型及其概率計算公式求概率即可。 【題文】21．（本小題滿分14分） 若，其中． (I)當時，求函數在區(qū)間上的最大值； (Ⅱ)當時，若，恒成立，求的取值范圍． 【知識點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；導數在最大值、最小值問題中的應用．B12 【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）當，時，， ∵，∴當時，，

26、 ∴函數在上單調遞增， 故 (Ⅱ)①當時，，， ，，∴f（x）在上增函數， 故當時，； ②當時，，，（7分） （i）當即時，在區(qū)間上為增函數， 當時，，且此時； （ii）當，即時，在區(qū)間上為減函數，在區(qū)間上為增函數， 故當時，，且此時； （iii）當，即時，在區(qū)間[1，e]上為減函數， 故當時，. 綜上所述，函數的在上的最小值為） 由得；由得無解；由得無解； 故所求的取值范圍是． 【思路點撥】（Ⅰ）當a=﹣2，x∈[e，e2]時，f（x）=x2﹣2lnx+2，求其導數可判函數在[e，e2]上單調遞增，進而可得其最大值；（Ⅱ）分類討論可得函數y=f（x）在[1，+∞）上的最小值為，分段令其，解之可得a的取值范圍．