2019版高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 第48講 圓的方程學案

《2019版高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 第48講 圓的方程學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 第48講 圓的方程學案（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第48講　圓的方程 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.掌握確定圓的幾何要素． 2．掌握圓的標準方程與一般方程． 3．了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系表示點的位置. 2016·江蘇卷，18 2015·全國卷Ⅰ，14 2014·陜西卷，12 求圓的方程，利用圓的性質(zhì)求解最值. 分值：5分 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)到__定點__的距離等于__定長__的點的軌跡叫做圓 標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心C：__(a，b)__ 半徑：__r__ 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)

2、 圓心： 半徑：r＝ 2．點與圓的位置關(guān)系 (1)理論依據(jù)：__點__與__圓心__的距離與半徑的大小關(guān)系． (2)三種情況 圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)， ①(x0 －a)2＋(y0 －b)2__＝__r2?點在圓上； ②(x0 －a)2＋(y0 －b)2__>__r2?點在圓外； ③(x0－a)2＋(y0 －b)2__<__r2?點在圓內(nèi)． 3．空間直角坐標系及相關(guān)概念 (1)空間直角坐標系：以空間一點O為原點，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸，y軸，z軸．這時建立了空間直角坐標系Oxyz，其中點O叫做__坐標原點__，x軸，y軸，z軸統(tǒng)

3、稱__坐標軸__，由坐標軸確定的平面叫做坐標平面． (2)右手直角坐標系的含義是：當右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸正方向時，中指一定指向z軸的__正方向__. (3)空間一點M的坐標為有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的__橫坐標__，y叫做點M的__縱坐標__，z叫做點M的__豎坐標__. (4)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|＝____，AB的中點P的坐標為____. 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓．(　×　) (

4、2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓心為，半徑為的圓．(　×　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　√　) (4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2 ＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y ＋Dx0 ＋Ey0＋F>0.(　√　) (5)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　) 解析 (1)錯誤．t≠0時，方程表示圓心為(－a，－b)，半徑為|t|的圓． (2)錯誤．a(chǎn)2＋(2a)2－4(2a2

5、＋a－1)>0即－20得方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，反之也成立． (4)正確．因為點M(x0，y0)在圓外，所以2＋2>，即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0. (5)正確．設(shè)M(x，y)是圓上異于直徑端點A，B的點，由·＝－1得(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 顯然A，B也滿足上式．所以以AB為直徑的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．已知點A(1，－1)，B( －1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　A　) A．x2＋

6、y2＝2　　 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1　　 D．x2＋y2＝4 解析 ∵圓心為(0,0)，半徑r＝＝， ∴圓的方程為x2＋y2＝2. 3．方程x2 ＋y2＋ax＋2ay＋2a2 ＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　D　) A．(－∞，－2)∪　　 B． C．(－2,0)　　 D． 解析 ∵方程表示圓，則a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， ∴－2

7、內(nèi)， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，即－1

8、法是待定系數(shù)法，大致步驟如下： ①根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； ②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組； ③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標準方程或一般方程． 【例1】 根據(jù)下列條件，求圓的方程． (1)經(jīng)過點A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上； (2)經(jīng)過P(－2,4)，Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6； (3)圓心在直線y＝－ 4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)． 解析 (1)由題意知kAB＝2，AB中點為(4,0)，設(shè)圓心C(a，b)， ∵圓過A(5,2)，B(3，－2)兩點， ∴圓心一定

9、在線段AB的垂直平分線上． 則解得∴C(2,1)， ∴r＝|CA|＝＝， ∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. (2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 將P，Q兩點的坐標分別代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 設(shè)x1，x2是方程③的兩根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④ 由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0. (3)如圖，設(shè)圓心(x0，－4x0)，依題意得＝1， ∴x0＝1，即圓心坐標為(1，－4)，

10、半徑r＝2， 故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 二　與圓有關(guān)的最值問題 與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題． 【例2】 已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 解析 方程x2＋y2－4x＋1＝0變形為(x－2)2＋y2＝3表示的圖形是圓．

11、 (1)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (2)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線和圓的兩個交點處取得最大值和最小值． 又圓心到原點的距離為＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4. (3)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx.當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時

12、＝，解得k＝±.所以的最大值為，最小值為－. 三　與圓有關(guān)的軌跡問題 求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法 求解與圓有關(guān)的軌跡問題應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件的不同采用以下方法： (1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程． (2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程． (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程． (4)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等． 【例3】 已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點． (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝ 90°，求線段PQ中點的軌跡方程． 解析 (1)設(shè)AP的中點為M(x

13、，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2,2y)． 因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2 ＝4. 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. 四　空間直角坐標系中的對稱問題 解決空間直角坐標系中點的對稱問題的關(guān)注點 (1)看清所求問題是關(guān)于坐標軸對稱

14、還是坐標平面對稱，明確哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒發(fā)生變化． (2)記清各類對稱點坐標間的對稱關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵． (3)可借助于坐標系中的長方體模型幫助記憶點P關(guān)于原點、坐標軸、坐標平面的對稱的特點，以便解決其他問題． 【例4】 如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1的對稱中心是坐標原點，交于同一頂點的三個面分別平行于三個坐標平面，頂點A(－2，－3，－1)，求其他七個頂點的坐標． 解析 由題意得，點B與點A關(guān)于xOz平面對稱，故點B的坐標為(－2,3，－1)； 點D與點A關(guān)于yOz平面對稱，故點D的坐標為(2，－3，－1)； 點C與點A關(guān)于z軸對稱，故點C的坐標為

15、(2,3，－1)． 由于點A1，B1，C1，D1分別與點A，B，C，D關(guān)于xOy平面對稱， 故點A1，B1，C1，D1的坐標分別為A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1), C1(2,3,1), D1(2，－3,1)． 1．已知圓(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一條直徑過直線x－2y＋3＝0被圓所截弦的中點，則該直徑所在的直線方程為(　D　) A．3x＋y－5＝0　　 B．x－2y＝0 C．x－2y＋4＝0　　 D．2x＋y－3＝0 解析 直線x－2y＋3＝0的斜率為，已知圓的圓心坐標為(2，－1)，該直徑所在直線的斜率為－2，所以該直徑所在的直線方程為y＋1＝－2(x－

16、2)，即2x＋y－3＝0，故選D． 2．已知在圓M：x2＋y2－4x＋2y＝0內(nèi)，過點E(1,0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　D　) A．3　　 B．6 C．4　　 D．2 解析 圓x2＋y2－4x＋2y＝0可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝5， 圓心M(2，－1)，半徑r＝，最長弦為圓的直徑， ∴|AC|＝2. ∵BD為最短弦，∴AC與BD垂直，易求得|ME|＝， ∴|BD|＝2|BE|＝2＝2.　 ∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BDC ＝|BD|×|EA|＋|BD|×|EC| ＝|BD|×(|EA|＋|EC|)＝|BD|×|AC

17、| ＝×2×2＝2，故選D． 3．已知拋物線C1：x2＝ 2y的焦點為F，以F為圓心的圓C2交C1于A，B兩點，交C1的準線于C，D兩點，若四邊形ABCD是矩形，則圓C2的標準方程為(　A　) A．x2＋2＝4　　　　 B．2＋y2＝4 C．x2＋2＝2　　　　 D．2＋y2＝2 解析 由題設(shè)知拋物線的焦點為F，所以圓C2的圓心坐標為.因為四邊形ABCD是矩形，所以BD為直徑，AC為直徑，又F為圓C2的圓心，所以點F為該矩形的兩條對角線的交點，所以點F到直線CD的距離與點F到直線AB的距離相等．又直線CD的方程為y＝－，點F到直線CD的距離為1，所以直線AB的方程為y＝，可取A，

18、所以圓C2的半徑r＝|AF|＝＝2，所以圓C2的標準方程為x2＋2＝4，故選A． 4．已知點A(1，－2,1)關(guān)于平面xOy的對稱點為A1，則|AA1|＝__2__. 解析 易知A1(1，－2，－1)， 所以|AA1|＝＝2. 易錯點　忽視圓的方程中的隱含條件致誤 錯因分析：忽視圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的隱含條件D2＋E2－4F＞0而導致錯誤． 【例1】 若過點(0,0)作圓x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0的切線有兩條，則k的取值范圍是________. 解析 因為方程表示圓，所以k2＋(2k)2－4(2k2＋k－1)＞0， 即3k

19、2＋4k－4＜0，解得－2＜k＜.① 由題意，得點(0,0)在圓外，所以2k2＋k－1＞0， 解得k＞或k＜－1.② 由①②，得－2＜k＜－1或＜k＜， 故k的取值范圍是(－2，－1)∪. 答案 (－2，－1)∪ 【跟蹤訓練1】 若a∈，則方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圓的個數(shù)為(　B　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析 原方程變形為 2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1， ∵方程表示圓，∴－a2－a＋1>0，即(a＋2)(3a－2)<0， ∴－2

20、填空題的形式出現(xiàn)． 一、選擇題 1．圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為(　A　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 解析 設(shè)對稱圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝1，圓心(1,2)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(2,1)，故對稱圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2 ＝1，故選A． 2．圓心在y軸上，半徑長為1，且過點(1,2)的圓的方程是(　A　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

21、 D．x2＋(y－3)2＝1 解析 設(shè)圓心坐標為(0, a)，則＝1， ∴a＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1. 3．以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，且與雙曲線－＝1的兩漸近線相切的圓的方程為(　C　) A．x2＋2＝ B．x2＋(y－1)2＝ C．(x－1)2＋y2＝ D．(x－2)2＋y2＝ 解析 拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，雙曲線－＝1的漸近線為y＝±x，即3x±4y＝0.由已知，得圓的半徑長等于點F到直線3x±4y＝0的距離，即r＝＝，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝. 4．已知兩點A(－2,0)，B(0,2)，點C是圓x2＋y2－2x＝0上任

22、意一點，則△ABC面積的最小值是(　A　) A．3－　　 B．3＋ C．3－　　 D． 解析 圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，直線AB的方程為x－y＋2＝0，圓心(1,0)到直線AB的距離d＝＝，則點C到直線AB的最短距離為－1.又因為|AB|＝2，所以△ABC面積的最小值為×2×＝3－. 5．若實數(shù)x，y滿足x2＋y2－2x＋4y＝0，則x－2y的最大值為(　B　) A．　　 B．10 C．9　　 D．5＋2 解析 原方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)為圓心，為半徑的圓．設(shè)x－2y＝b，則x－2y可看作直線x－2y＝b在x軸上的截距，當直線與圓相

23、切時，b取得最大值或最小值，此時＝.∴b＝10或b＝0，∴x－2y的最大值是10. 6．設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，右焦點F(c,0)，方程ax2－bx－c＝0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，則點P(x1，x2)與圓x2＋y2＝8的位置關(guān)系為(　C　) A．點P在圓外　　 B．點P在圓上 C．點P在圓內(nèi)　　 D．不確定 解析 ∵e2＝1＋2＝2，∴2＝1，∴＝1，∴a＝b，c＝a，∴方程ax2－bx－c＝0 可化為x2－x－＝0.∴x1＋x2＝1，x1·x2＝－.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋2<8， ∴點P在圓內(nèi)，故選C． 二、填空題 7．圓心在直

24、線2x－y＝3上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是__(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1__. 解析 依題意設(shè)圓心為(a,2a－3)，因為圓與兩坐標軸均相切，所以|a|＝|2a－3|，解得a＝1或a＝3，即r＝1或3，故圓的標準方程為(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1. 8．若圓C與圓x2＋y2＋2x＝0關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱，則圓C的方程是__x2＋y2－2x－4y＋4＝0__. 解析 設(shè)C(a，b)，因為已知圓的圓心為A(－1,0)，由點A，C關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱，得解得又因為圓的半徑是1，所以圓C的方程是(x－1)

25、2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0. 9．若過點P(a，a)可作圓x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍是　(－∞，－3)∪　. 解析 圓的方程可化為(x－a)2＋y2＝3－2a， 因為過點P(a，a)能作圓的兩條切線，所以點P在圓的外部， 即解得a<－3或1

26、A(－1,5)，B(－2，－1)，所以由兩點式得AB的方程為＝，整理得6x－y＋11＝0. (2)因為M是BC的中點，所以M， 即M(1,1)， 所以|AM|＝＝2，所以圓的半徑為. 所以AM的中點為，即中點為(0,3)，所以以線段AM為直徑的圓的方程為x2＋(y－3)2＝5. 11．一圓經(jīng)過A(4,2)，B(－1,3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程． 解析 設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E. 由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝

27、0.① 又因為圓過點A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.② 1＋9－D＋3E＋F＝0.③ 解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0. 12．(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4)． (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且|BC|＝|OA|，求直線l的方程； (3)設(shè)點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得＋＝，求實數(shù)t的取值

28、范圍． 解析 (1)圓M的標準方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圓心M(6,7)，半徑為5. 由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)． 因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0＜y0＜7， 圓N的半徑為y0，從而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1. 因此，圓N的標準方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為＝2. 設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，則圓心M到直線l的距離d＝＝. 因為|BC|＝|OA|＝＝2， 而|MC|2＝d2＋2， 所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15. 故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 因為A(2,4)，T(t,0)，＋＝，所以① 因為點Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.② 將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25. 所以P(x1，y1)在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，即此兩圓有公共點， 所以5－5≤≤5＋5， 解得2－2≤t≤2＋2. 因此，實數(shù)t的取值范圍是[2－2，2＋2]． 13