2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 北師大版

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1、 第六節(jié) 幾何概型 [考綱傳真] (教師用書(shū)獨(dú)具)1.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.2.了解幾何概型的意義. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第181頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,與區(qū)域的形狀,位置無(wú)關(guān),則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型. 2.幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無(wú)限性:在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè). (2)等可能性:每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. 3.幾何概型的概率公式 P(A)=. [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”

2、,錯(cuò)誤的打“×”) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.(  ) (2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù),取到1的概率是.(  ) (3)概率為0的事件一定是不可能事件.(  ) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線(xiàn)段、平面圖形、立體圖形.(  ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改編)有四個(gè)游戲盤(pán),將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎(jiǎng),小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì),應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是(  ) A [P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=, 所以P(A)>P(C)=P(D)>P(B).] 3.已知函數(shù)f(x

3、)=x2-2x-3,x∈[-1,4],則f(x)為增函數(shù)的概率為(  ) A.    B. C. D. C [f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,x∈[-1,4],∴f(x)在[1,4]上是增函數(shù).∴f(x)為增函數(shù)的概率為P==.] 4.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖10-6-1,正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(  ) 圖10-6-1 A. B. C. D. B [不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則正方形內(nèi)切圓的半徑為1,可得S正方形=4

4、. 由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng),得S黑=S白=S圓=,所以由幾何概型知所求概率P===. 故選B.] 5.如圖10-6-2所示,在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子,有180粒落到陰影部分,據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_(kāi)_______. 圖10-6-2 0.18 [由題意知, ==0.18. ∵S正=1,∴S陰=0.18.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第181頁(yè)) 與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型  (1)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)某公司的班車(chē)在7:30,8:00,8:30發(fā)車(chē),小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē),且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是

5、隨機(jī)的,則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是(  ) A.   B. C. D. (2)如圖10-6-3所示,四邊形ABCD為矩形,AB=,BC=1,在∠DAB內(nèi)作射線(xiàn)AP,則射線(xiàn)AP與線(xiàn)段BC有公共點(diǎn)的概率為_(kāi)_______. 圖10-6-3 (1)B (2) [(1)如圖,7:50至8:30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘,而小明等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘是指小明在7:50至8:00之間或8:20至8:30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站,此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘,由幾何概型概率公式知所求概率為P==.故選B. (2)以A為圓心,以AD=1為半徑作圓弧交AC,AP,AB分別為C′,P′,B

6、′. 依題意,點(diǎn)P′在上任何位置是等可能的,若射線(xiàn)AP與線(xiàn)段BC有公共點(diǎn),則事件“點(diǎn)P′在上發(fā)生”. 又在Rt△ABC中,易求∠BAC=∠B′AC′=. 故所求事件的概率] [規(guī)律方法] 1.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,如果試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域可用長(zhǎng)度度量,則其概率的計(jì)算公式為P(A)=. 2.與角度有關(guān)的幾何概型,當(dāng)涉及射線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)、扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí),應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率,且不可用線(xiàn)段的長(zhǎng)度代替,這是兩種不同的度量手段. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(2018·廣州綜合測(cè)試(二))在區(qū)間[-1,5]上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則方程x2-2ax+4a-3=0有兩個(gè)正根的概率為(

7、  ) A. B. C. D. (2)(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是________. (1)C (2) [(1)因?yàn)榉匠蘹2-2ax+4a-3=0有兩個(gè)正根,所以解得

8、:30~6:00之間到達(dá)的時(shí)刻是等可能的,先到同學(xué)須等待,15分鐘后還未見(jiàn)面便離開(kāi).則兩位同學(xué)能夠見(jiàn)面的概率是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140362】 A. B. C. D. D [從下午5:30開(kāi)始計(jì)時(shí),設(shè)兩位同學(xué)到達(dá)的時(shí)刻分別為x,y分鐘,則x,y應(yīng)滿(mǎn)足如圖中正方形OABC所示,若兩位同學(xué)能夠見(jiàn)面,則x,y應(yīng)滿(mǎn)足|x-y|≤15,如圖中陰影部分(含邊界)所示,所以所求概率P==,故選D.] ◎角度2 與線(xiàn)性規(guī)劃交匯的問(wèn)題  (2017·廣州綜合測(cè)試)在平面區(qū)域{(x,y)|0≤x≤1,1≤y≤2}內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿(mǎn)足y≤2x的概率為(  ) A.

9、B. C. D. A [ 依題意作出圖像如圖,則P(y≤2x)===.] ◎角度3 與定積分交匯的問(wèn)題  (2018·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))在區(qū)間[1,e]上任取實(shí)數(shù)a,在區(qū)間[0,2]上任取實(shí)數(shù)b,使函數(shù)f(x)=ax2+x+b有兩個(gè)相異零點(diǎn)的概率是(  ) A. B. C. D. A [函數(shù)f(x)=ax2+x+b有兩個(gè)相異零點(diǎn),即方程ax2+x+b=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則Δ=1-ab>0,b<.所有試驗(yàn)結(jié)果為Ω={(a,b)|1≤a≤e,0≤b≤2},面積為2(e-1),使函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)的事件為Ω1=,面積為da=lna|=1-0=1,則所求概率為P(A)

10、=,故選A.] [規(guī)律方法] 1.與平面幾何、解析幾何等知識(shí)交匯問(wèn)題的解題思路 利用平面幾何、解析幾何等相關(guān)知識(shí),先確定基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形狀,再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸?,?jì)算出其面積,進(jìn)而代入公式求概率. 2.與線(xiàn)性規(guī)劃交匯問(wèn)題的解題思路 先根據(jù)約束條件作出可行域,再確定形狀,求面積大小,進(jìn)而代入公式求概率. 3.與定積分交匯問(wèn)題的解題思路 先確定基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形狀構(gòu)成,再將其面積轉(zhuǎn)化為某定積分的計(jì)算,并求其大小,進(jìn)而代入公式求概率. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(2018·云南二檢)RAND(0,1)表示生成一個(gè)在(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)(實(shí)數(shù)),若x=RAND(0,1),y=RAND(

11、0,1),則x2+y2<1的概率為(  ) A. B.1- C. D.1- (2)如圖10-6-4,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________. 圖10-6-4 (1)A (2) [(1)由幾何概型的概率計(jì)算公式知,所求概率P==,故選A. (2)由題意知,陰影部分的面積 S=(4-x2)dx==, 所以所求概率P===.] 與體積有關(guān)的幾何概型  在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨

12、機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)_______. 1- [如圖,與點(diǎn)O距離不大于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半球,其體積V1=×π×13=.事件“點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率”對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為23-,根據(jù)幾何概型概率公式得,點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率P==1-.] [規(guī)律方法] 與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題求法的關(guān)鍵點(diǎn) 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題,關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間),對(duì)于某些較復(fù)雜的事件也可利用其對(duì)立事件去求. [跟蹤訓(xùn)練] 一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖10-6-5所示,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛翔,則它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140363】 圖10-6-5 A. B. C. D. D [由題圖可知VF-AMCD=×SAMCD×DF=a3,VADF-BCE=a3,所以它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為=.] 8

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