《2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關(guān)系韋達定理)高效演練學(xué)案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關(guān)系韋達定理)高效演練學(xué)案(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講 根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用,而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系,在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用本專題將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進行講述?!局R梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)一元二次方程的兩個根為:所以:,定理:如果一元二次方程的兩個根為,那么:說明:一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀的法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn),所以通常把此定理稱為”韋達定理”上述定理成立的前提是【高效演練】1.若 是一元二次方程 的兩個根,則的值是()A2 B2 C4 D3【解析】:方程的兩根
2、為,根據(jù)題意得故選D【答案】D2若,是方程x22x3=0的兩個實數(shù)根,則2+2的值為()A. 5 B. 7 C. 9 D. 10【解析】,是方程x22x3=0的兩個實數(shù)根,+=2,=3,2+2=(+)22=222(3)=10故選D【答案】D3關(guān)于x的一元二次方程x2pxq0的兩根同為負數(shù),則()A. p0且q0 B. p0且q0 C. p0且q0 D. p0且q0【解析】試題解析:設(shè)x1,x2是該方程的兩個負數(shù)根,則有x1+x20,x1x20,x1+x2=-p,x1x2=q-p0,q0p0,q0故選A【答案】A4.方程x2(m6)xm20有兩個相等的實數(shù)根,且滿足x1x2x1x2,則m的值是(
3、)A. 2或3 B. 3 C. 2 D. 3或25.規(guī)定:如果關(guān)于x的一元二次方程(a0)有兩個實數(shù)根,且其中一個根是另一個根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方程”現(xiàn)有下列結(jié)論:方程是倍根方程;若關(guān)于x的方程是倍根方程,則a=3;若關(guān)于x的方程(a0)是倍根方程,則拋物線與x軸的公共點的坐標是(2,0)和(4,0);若點(m,n)在反比例函數(shù)的圖象上,則關(guān)于x的方程是倍根方程上述結(jié)論中正確的有()ABCD【解析】關(guān)于x的方程(a0)是倍根方程,x2=2x1,拋物線的對稱軸是直線x=3,拋物線與x軸的交點的坐標是(2,0)和(4,0),故正確;點(m,n)在反比例函數(shù)的圖象上,mn=4,解得x1=
4、,x2=,x2=4x1,關(guān)于x的方程不是倍根方程;故選C【答案】C6.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為,則=_.【解析】關(guān)于的方程: 的兩個實數(shù)根分別為,.【答案】-37.若方程的兩實根為a、b,則的值為_。【解析】方程x2x1=0的兩實根為a、b,a+b=1,ab=1,【答案】-18設(shè)是方程的兩個實數(shù)根,則的值為_?!窘馕觥坑墒欠匠痰膬蓚€實數(shù)根,則且,又【答案】20179.關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根之積為負,則實數(shù)m的取值范圍是 10.一元二次方程有兩個實根,一個比3大,一個比3小,的取值范圍為_?!窘馕觥拷庖唬河?解得:解二:設(shè),則如圖所示,只須,解得【答案】11若關(guān)于x的一元
5、二次方程x24x+k3=0的兩個實數(shù)根為x1、x2,且滿足x1=3x2,試求出方程的兩個實數(shù)根及k的值【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=4,x1x2=k3又x1=3x2,聯(lián)立、,解方程組得,k=x1x2+3=31+3=6則方程兩根為x1=3,x2=1;k=6【答案】x1=3,x2=1;k=612.已知關(guān)于的方程(1)若這個方程有實數(shù)根,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若方程兩實數(shù)根分別為x1、x2,且滿足,求實數(shù)k的值.【解析】分析:(1)根據(jù)方程有實根可得0,進而可得-2(k-3)2-41(k2-4k-1)0,再解即可;(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2(k-3),x1x2=k2-4
6、k-1,再由完全平方公式可得x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,代入x1+x2=2(k-3),x1x2= k2-4k-1可計算出m的值解析:(1)x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0有實數(shù)根,=4(k-3)2-4(k2-4k-1)=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k0,解得:k5;13.已知關(guān)于的方程,根據(jù)下列條件,分別求出的值(1) 方程兩實根的積為5;(2) 方程的兩實根滿足【解析】(1) 方程兩實根的積為5 所以,當(dāng)時,方程兩實根的積為5(2) 由得知:當(dāng)時,所以方程有兩相等實數(shù)根,故;當(dāng)時,由于,故不合題意,舍去綜上可得,時,方程的兩實根滿足【答案】(1
7、);(2).14.已知關(guān)于x的一元二次方程 ,其中k為常數(shù)(1)求證:無論k為何值,方程總有兩個不相等實數(shù)根;(2)已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,求k的取值范圍;(3)若原方程的一個根大于3,另一個根小于3,求k的最大整數(shù)值解析:(1)證明:=(k5)24(1k)=k26k+21=(k3)2+120,無論k為何值,方程總有兩個不相等實數(shù)根;(2)解:二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,二次項系數(shù)a=1,拋物線開口方向向上,=(k3)2+120,拋物線與x軸有兩個交點,設(shè)拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1,x2,x1+x2=5k0,x1x2=1k0,解得k1,即k的取值范圍是k1;(3)解:設(shè)方程的
8、兩個根分別是x1,x2,根據(jù)題意,得(x13)(x23)0,即x1x23(x1+x2)+90,又x1+x2=5k,x1x2=1k,代入得,1k3(5k)+90,解得k則k的最大整數(shù)值為2【答案】(1)證明見解析;(2)k1;(3)2【解題反思】:本題考查了拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,綜合性較強。15.已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根(1) 是否存在實數(shù),使成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由(2) 求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值【解析】(1) 假設(shè)存在實數(shù),使成立 一元二次方程的兩個實數(shù)根, ,又是一元二次方程的兩個實數(shù)根, ,但不存在實數(shù),使成立7