2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性（二）學(xué)案 蘇教版必修1

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1、2.2.1函數(shù)的單調(diào)性(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會借助單調(diào)性求最值.3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值知識點一函數(shù)的最大(小)值思考在如圖表示的函數(shù)中，最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值分別是多少？1為什么不是最小值？梳理設(shè)yf(x)的定義域為A.如果存在x0A，使得對于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么稱f(x0)為yf(x)的最大值，記為ymaxf(x0)如果存在x0A，使得對于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么稱f(x0)為yf(x)的最小值，記為yminf(x0)知識點二函數(shù)的最大(小)值的幾何意義思考函數(shù)yx2，x1,1的圖象如下：試指出函數(shù)

2、的最大值、最小值和相應(yīng)的x的值梳理函數(shù)最大值對應(yīng)圖象中的最高點，最小值對應(yīng)圖象中的最低點知識點三函數(shù)的單調(diào)性與最值若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)的最小值為yminf(a)，最大值為ymaxf(b)；若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是單調(diào)減函數(shù)，則函數(shù)的最小值為yminf(b)，最大值為ymaxf(a)即單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值、最小值類型一借助單調(diào)性求最值例1已知函數(shù)f(x)(x0)，求函數(shù)的最大值和最小值反思與感悟(1)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上為單調(diào)增函數(shù)，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上為單調(diào)減函數(shù)，則f(x)的

3、最大值為f(a)，最小值為f(b)(3)若函數(shù)yf(x)有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決出最大(小)函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)最大(小)的(4)如果函數(shù)定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)|x1|x1|.(1)畫出f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的最小值類型二求二次函數(shù)的最值例2(1)已知函數(shù)f(x)x22x3，若x0,2，求函數(shù)f(x)的最值；(2)已知函數(shù)f(x)x22x3，若xt，t2，求函數(shù)f(x)的最值；(3)已知函數(shù)f(x)x23，求函數(shù)f(x)的最值；(4)

4、“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂如果煙花距地面的高度h m與時間t s之間的關(guān)系為h(t)4.9t214.7t18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少(精確到1 m)?反思與感悟(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關(guān)，求解時要注意這兩個因素(2)圖象直觀，便于分析、理解；配方法說理更嚴(yán)謹(jǐn)，一般用于解答題跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)x42x23，求函數(shù)f(x)的最值；(2)求二次函數(shù)f(x)x22ax2在2,4上的最小值；(3)如圖，某地要修建一個圓形的噴水池，水流在各個方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池

5、的中央為坐標(biāo)原點，水平方向為x軸、豎直方向為y軸建立平面直角坐標(biāo)系那么水流噴出的高度h(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關(guān)系式為hx22x，x0，求水流噴出的高度h的最大值是多少？類型三函數(shù)最值的應(yīng)用例3已知x2xa0對任意x(0，)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍引申探究若將本例中“x(0，)”改為“x(，)”，再求a的取值范圍反思與感悟恒成立的不等式問題，任意xD，f(x)a恒成立，一般轉(zhuǎn)化為最值問題：f(x)mina來解決任意xD，f(x)a恒成立f(x)maxa.當(dāng)最值不存在時，可求值域，但要注意a的取值的變化跟蹤訓(xùn)練3已知ax2x1對任意x(0,1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍1函

6、數(shù)yx1在區(qū)間，2上的最大值是_2函數(shù)f(x)在1，)上的最大值為_3函數(shù)f(x)x2，x2,1的最大值，最小值分別為_4已知函數(shù)f(x)則f(x)的最大值，最小值分別為_5若不等式xa10對一切x(0，恒成立，則a的最小值為_1函數(shù)的最值與值域、單調(diào)性之間的聯(lián)系(1)對一個函數(shù)來說，其值域是確定的，但它不一定有最值，如函數(shù)y.如果有最值，則最值一定是值域中的一個元素(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上單調(diào)，則f(x)的最值必在區(qū)間端點處取得即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出yf(x)的草圖，然后根

7、據(jù)圖象的增減性進行研究特別要注意二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點處取得答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考最大的函數(shù)值為4，最小的函數(shù)值為2.1沒有A中的元素與之對應(yīng)，不是函數(shù)值知識點二思考x1時，y有最大值1，對應(yīng)的點是圖象中的最高點，x0時，y有最小值0，對應(yīng)的點為圖象中的最低點題型探究例1解設(shè)x1，x2是區(qū)間(0，)上的任意兩個實數(shù)，且x1x2，則f(x1)f(x2).當(dāng)x10，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(0,1上為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)1x10，x1x210，f(x1)f(x2

8、)0，f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上為單調(diào)減函數(shù)f(x)maxf(1)，無最小值跟蹤訓(xùn)練1解(1)f(x)的圖象如圖(2)由圖知，f(x)在(，1上為單調(diào)減函數(shù)，在1,1上為常函數(shù)，在1，)上為單調(diào)增函數(shù)，f(x)min2.例2解(1)函數(shù)f(x)x22x3開口向上，對稱軸x1，f(x)在0,1上為單調(diào)減函數(shù)，在1,2上為單調(diào)增函數(shù)，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.(2)對稱軸x1，當(dāng)1t2即t1時，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.當(dāng)1t2，即1t0時，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)min

9、f(1)4.當(dāng)t1，即0t1時，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.當(dāng)11時，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.設(shè)函數(shù)最大值為g(t)，最小值為(t)，則有g(shù)(t)(t)(3)設(shè)t(t0)，則x23t22t3.由(1)知yt22t3(t0)在0,1上為單調(diào)減函數(shù)，在1，)上為單調(diào)增函數(shù)當(dāng)t1即x1時，f(x)min4，無最大值(4)作出函數(shù)h(t)4.9t214.7t18的圖象(如圖)顯然，函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標(biāo)就是這時距地面的高度由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)4.9t21

10、4.7t18，我們有：當(dāng)t1.5時，函數(shù)有最大值h29.于是，煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約為29 m.跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)x2t(t0)，則x42x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上為單調(diào)減函數(shù)，在1，)上為單調(diào)增函數(shù)當(dāng)t1即x1時，f(x)min4，無最大值(2)函數(shù)圖象的對稱軸是xa，當(dāng)a4時，f(x)在2,4上是單調(diào)減函數(shù)，f(x)minf(4)188a.當(dāng)2a4時，f(x)minf(a)2a2.f(x)min(3)由函數(shù)hx22x，x0，的圖象可知，函數(shù)圖象的頂點就是水流噴出的最高點此時函數(shù)取得最大值對于函數(shù)hx22x，x0，當(dāng)x1時，函數(shù)有最

11、大值hmax1221.于是水流噴出的最高高度是 m.例3解方法一令yx2xa，要使x2xa0對任意x(0，)恒成立，只需ymin0，解得a.實數(shù)a的取值范圍是(，)方法二x2xa0可化為ax2x.要使ax2x對任意x(0，)恒成立，只需a(x2x)max，又(x2x)max，a.實數(shù)a的取值范圍是(，)引申探究解f(x)x2x在(，)上為單調(diào)減函數(shù)，f(x)的值域為(，)，要使ax2x對任意x(，)恒成立，只需a，a的取值范圍是，)跟蹤訓(xùn)練3解x0，ax2x1可化為a.要使a對任意x(0,1恒成立，只需a()min.設(shè)t，x(0,1，t1.t2t(t)2.當(dāng)t1時，(t2t)min0，即x1時，()min0，a0.a的取值范圍是(，0當(dāng)堂訓(xùn)練1.2.13.4,04.10,65.11