2017-2018版高中數(shù)學 第一章 數(shù)列 3.1 等比數(shù)列(一)學案 北師大版必修5

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1、31等比數(shù)列(一)學習目標1.通過實例，理解等比數(shù)列的概念并學會簡單應用.2.掌握等比中項的概念并會應用.3.掌握等比數(shù)列的通項公式并了解其推導過程知識點一等比數(shù)列的概念思考觀察下列4個數(shù)列，歸納它們的共同特點1,2,4,8,16，；1，；1,1,1,1，；1,1，1,1，.梳理等比數(shù)列的概念和特點(1)如果一個數(shù)列從第_項起，每一項與它的_一項的_都等于_常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的_，通常用字母q表示(q0)(2)遞推公式形式的定義q(n1)(或q，nN)(3)等比數(shù)列各項均_為0.知識點二等比中項的概念思考在2,8之間插入一個數(shù)，使之成等比數(shù)列這樣的實數(shù)有幾個？

2、梳理等差中項與等比中項的異同，對比如下表：對比項等差中項等比中項定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫作a與b的等差中項若a，G，b成_數(shù)列，則G叫作a與b的等比中項定義式AabA公式AG個數(shù)a與b的等差中項唯一a與b的等比中項有_個，且互為_備注任意兩個數(shù)a與b都有等差中項只有當_時，a與b才有等比中項知識點三等比數(shù)列的通項公式思考等差數(shù)列通項公式是如何推導的？你能類比推導首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項公式嗎？梳理等差數(shù)列an首項為a1，公比為q，則ana1qn1.類型一證明等比數(shù)列例1根據(jù)下面的框圖，寫出數(shù)列的前5項，并建立數(shù)列的遞推公式這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？反思與感悟判斷一個數(shù)列是否為

3、等比數(shù)列的方法是利用定義，即q(與n無關的常數(shù))跟蹤訓練1已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn(an1)(nN)(1)求a1，a2；(2)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列類型二等比數(shù)列通項公式的應用命題角度1方程思想例2一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項反思與感悟已知等比數(shù)列an的某兩項的值，求該數(shù)列的其他項或求該數(shù)列的通項常用方程思想，通過已知可以得到關于a1和q的兩個方程，從而解出a1和q，再求其他項或通項跟蹤訓練2在等比數(shù)列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.命題角度2等比數(shù)列的實際應用例3某種放射性物質不斷變化為其他物質

4、，每經(jīng)過一年剩余的這種物質是原來的84%，這種物質的半衰期為多長？(精確到1年，放射性物質衰變到原來的一半所需時間稱為這種物質的半衰期)反思與感悟等比數(shù)列應用問題，在實際應用問題中較為常見，解題的關鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項a1，項數(shù)n所對應的實際含義跟蹤訓練3某制糖廠2011年制糖5萬噸，如果從2011年起，平均每年的產(chǎn)量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開始超過30萬噸？(保留到個位，lg 60.778，lg 1.20.079)類型三等比中項例4若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則的值為()A B. C1 D1反思與感悟(1)任意兩個實數(shù)都有唯一確定的等差中

5、項；(2)只有同號的兩個實數(shù)才有實數(shù)等比中項，且一定有2個跟蹤訓練41與1的等比中項是()A1 B1C1 D.1在等比數(shù)列an中，a18，a464，則a3等于()A16 B16或16C32 D32或322若等比數(shù)列的首項為4，末項為128，公比為2，則這個數(shù)列的項數(shù)為()A4 B8 C6 D323已知等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a36，則a7等于()A64 B81 C128 D243445和80的等比中項為_1等比數(shù)列的判斷或證明(1)利用定義：q(與n無關的常數(shù))(2)利用等比中項：aanan2(nN)2兩個同號的實數(shù)a、b才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個()，而不是一個()，這是

6、容易忽視的地方3等比數(shù)列的通項公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四個量，已知其中三個量可求得第四個量答案精析問題導學知識點一思考從第2項起，每項與它的前一項的比是同一個常數(shù)梳理(1)2前比同一公比(3)不能知識點二思考設這個數(shù)為G.則，G216，G4.所以這樣的數(shù)有2個梳理等比兩相反數(shù)ab0知識點三思考等差數(shù)列通項公式的推導是借助累加消去中間項，等比數(shù)列則可用累乘根據(jù)等比數(shù)列的定義得q，q，q，q(n2)將上面n1個等式的左、右兩邊分別相乘，得qn1，化簡得qn1，即ana1qn1(n2)當n1時，上面的等式也成立ana1qn1(nN)題型探究例1解若將輸出的數(shù)依次記為a1(即A)，a

7、2，a3，.由框圖可知，a11，a2a1，a3a2，a4a3，a5a4.于是，可得遞推公式由于，因此這個數(shù)列是等比數(shù)列，其通項公式是ann1.跟蹤訓練1(1)解a1S1(a11)，a1.又a1a2S2(a21)，a2.(2)證明Sn(an1)，Sn1(an11)，兩式相減得an1an1an，即an1an，數(shù)列an是首項為，公比為的等比數(shù)列例2解設這個等比數(shù)列的第1項是a1，公比是q，那么，得q，將q代入，得a1.因此，a2a1q8.綜上，這個數(shù)列的第1項與第2項分別是與8.跟蹤訓練2解(1)由等比數(shù)列的通項公式得，a63(2)6196.(2)設等比數(shù)列的公比為q，那么解得所以ana1qn152n1.例3解設這種物質最初的質量是1，經(jīng)過n年，剩余量是an，由條件可得，數(shù)列an是一個等比數(shù)列其中a10.84，q0.84，設an0.5，則0.84n0.5.兩邊取對數(shù)，得nlg 0.84lg 0.5，用計算器算得n4.答這種物質的半衰期大約為4年跟蹤訓練3解記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為a1，a2，a3，an，.則依題意可得a15，1.2(n2且nN)，從而an51.2n1，這里an30，故1.2n16，即n1log1.269.85.故n11.答從2021年開始，該糖廠年制糖量開始超過30萬噸例4D跟蹤訓練4C當堂訓練1C2.C3.A4.60或607