2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版必修1

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1、第一章 集合與函數(shù)概念1聚焦“集合”雙基一、透析“集合”的基礎(chǔ)知識(shí)(一)集合的含義1集合的含義是一個(gè)描述性的，我們可以理解為一些對(duì)象組成的總體就構(gòu)成集合，其中構(gòu)成集合的每一個(gè)對(duì)象稱為集合的元素所以只要把對(duì)象看成整體就可以構(gòu)成集合2集合的元素的三個(gè)特性(1)確定性：對(duì)于一個(gè)集合中每一個(gè)元素都可以判斷該元素是不是集合中的元素如“2012年中國(guó)效益較好的大型企業(yè)”就不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤?012年中國(guó)效益較好的大型企業(yè)”中的對(duì)象是不確定的，效益較好和大型企業(yè)都沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，無法判斷一些企業(yè)是否屬于這個(gè)范圍(2)互異性：互異性是指集合中的元素必須是互不相同的如集合x|x24x402，而不能寫成2，2(

2、3)無序性：對(duì)于一個(gè)集合中的元素?zé)o先后順序，只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素一樣，這兩個(gè)集合就是相等的(二)集合的表示1列舉法：列舉法是將集合中的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“”括起來表示集合用列舉法表示集合時(shí)，首先要注意集合中元素的基本形式例如：集合1,2與(1,2)是兩個(gè)完全不同的集合，1,2是由1,2這兩個(gè)元素所構(gòu)成的集合，(1,2)是以一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(1,2)為元素構(gòu)成的集合另外，用列舉法表示由許多元素或無限個(gè)元素組成的集合時(shí)，要注意充分體現(xiàn)元素間的規(guī)律，在花括號(hào)內(nèi)列舉出部分元素，其余的元素用省略號(hào)表示例如：所有正整數(shù)構(gòu)成的集合可記為1,2,3,4，n，2描述法：它是指用集合所含元素的共同特征來表示

3、集合的方法具體可這樣表示：在花括號(hào)“”內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素(代表元素)的一般符號(hào)及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征它的一般表示形式為xA|p(x)，豎線前的x就是代表元素對(duì)于描述法中的代表元素應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)應(yīng)寫清楚該集合中的代表元素如集合x|2x4不能寫成2x4，因?yàn)檫@樣少了代表元素(2)豎線后邊應(yīng)對(duì)代表元素的取值有準(zhǔn)確的表示，比如下面的表示方法是錯(cuò)誤的：(x，y)|(1,0)，事實(shí)上，它應(yīng)表示為(x，y)|x1，y0，或表示為(1,0)(三)集合間的基本關(guān)系1空集是不含任何元素的集合，它雖然不含任何元素，但這樣的集合是客觀存在的由于空集是任何集合

4、的子集，是任何非空集合的真子集，所以在研究集合問題時(shí)，空集還是很活躍的，一不小心就會(huì)出錯(cuò)如滿足BA，就要分B和B進(jìn)行研究2子集可以理解為集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則A是B的子集比如任何一個(gè)整數(shù)都是有理數(shù)，也就是說整數(shù)集是有理數(shù)集的子集，可以表示為：ZQ.但不要理解為A是B中部分元素組成的集合，因?yàn)锳時(shí)，A也是B的子集，還有AB時(shí)，A也是B的子集3真子集可以從兩方面理解：一是集合A是集合B的子集，二是集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A.如A1,2,3,4,5，B1,2,3,4,5,6，由于6B，但6A，且有AB，則集合A是集合B的真子集4若兩個(gè)集合互相包含，即AB，且AB，則稱集合

5、A與集合B相等，記作AB.(四)集合的基本運(yùn)算1并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作AB.符號(hào)表示：ABx|xA，或xB相關(guān)結(jié)論：AAA，AA，ABBA.AB中的元素就是把集合A，B中所有元素并在一起構(gòu)成的集合，要注意集合間元素的互異性，對(duì)于既屬于集合A又屬于集合B的元素只能出現(xiàn)一次2交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB.符號(hào)表示：ABx|xA，且xB相關(guān)結(jié)論：AAA，A，ABBA.AB中的任何元素都是集合A和B的公共元素，當(dāng)集合A，B沒有公共元素時(shí)，不能說集合A，B沒有交集，而是AB.3補(bǔ)集：由全集U中不屬于A的

6、所有元素組成的集合，稱為A在U中的補(bǔ)集，表示為UA，實(shí)際上UAx|xU，且xA補(bǔ)集的概念是在全集中定義的，是由屬于全集U但不屬于集合A的所有元素構(gòu)成，集合A和它的補(bǔ)集UA都是集合U的子集，且A(UA)，A(UA)U，全集不同，則補(bǔ)集也不同二、盤點(diǎn)解集合問題的基本方法(一)列舉法對(duì)于一些有明顯特征的集合，可以將集合中的元素一一列舉出來例1 設(shè)集合M1,2,4,8，Nx|x是2的倍數(shù)，則MN_.解析因?yàn)镹x|x是2的倍數(shù)，0,2,4,6,8，所以MN2,4,8答案2,4,8評(píng)注對(duì)于元素易于列舉的集合，通常可以直接列舉(二)結(jié)構(gòu)相似法對(duì)于用描述法給出的若干集合，判斷它們的關(guān)系時(shí)，可以把它們各自的屬性

7、化為結(jié)構(gòu)相似的表達(dá)式例2 若集合Ax|xm，mZ，Bx|x，nZ，Cx|x，pZ，則A，B，C之間的關(guān)系是_解析集合A中，x，mZ；集合B中，x，nZ；集合C中，x，pZ.不難判斷ABC.答案ABC(三)數(shù)軸法當(dāng)集合中的元素與不等式相關(guān)時(shí)，可借助于數(shù)軸進(jìn)行運(yùn)算具有簡(jiǎn)明的直觀效果例3 設(shè)集合Ax|1xa1，xR，Bx|1x5，xR，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由1xa1，得a1xa1.如圖，可知a11或a15.所以a0，或a6.答案a|a0或a6評(píng)注不等式型集合的交集、并集通?？梢越柚鷶?shù)軸來解，解題時(shí)注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意(四)Venn圖法借助Venn圖的直觀顯示，?？墒辜蠁栴}化難

8、為易例4 已知A，B均為集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，則A_.解析如圖，因?yàn)锳B3，所以3A.又因?yàn)?UB)A9，所以9A.答案3,92集合的基本關(guān)系與運(yùn)算一、子集集合問題的核心一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.記作：AB或BA.當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，則記作AB或BA.例1 設(shè)集合Ax|x23x20，Bx|(xa)(x21)0，當(dāng)a為何值時(shí)，AB?分析集合A，B都是用“描述法”表示的方程的解集，為了比較A和B的關(guān)系，先考慮將A和B進(jìn)行化簡(jiǎn)解易得集合A1,2

9、當(dāng)a1或a1時(shí)，B1,1，此時(shí)AB；當(dāng)a1且a1時(shí)，B1,1，a要使AB，則a2.故當(dāng)a2時(shí)，AB.二、交集兩集合間的“且運(yùn)算”由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集，記為AB，即ABx|xA，且xB，其中關(guān)鍵詞為“且”例2 設(shè)全集UZ，集合A1,0,1,2，Bx|x2x0，則A(UB)_.分析先求出集合B，再按集合相關(guān)運(yùn)算法則求解解析因?yàn)锽x|x2x00,1，所以A(UB)1,2答案1,2三、并集兩集合間的“或運(yùn)算”由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記為AB，即ABx|xA，或xB，其中關(guān)鍵詞為“或”例3 若全集UR，集合

10、Ax|1x2，Bx|xy1，yA，求AB.分析欲求AB，先對(duì)B進(jìn)行化簡(jiǎn)解因?yàn)閥A，即1y2，且xy1，所以0x3，即Bx|0x3所以ABx|1x3四、補(bǔ)集全集對(duì)子集的“差運(yùn)算”一般地，設(shè)U是一個(gè)集合，A是U的一個(gè)子集，即AU，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在全集U中的補(bǔ)集，記為UA，即UAx|xU，且xA，可以理解為全集對(duì)子集的差集例4 設(shè)全集U2,9，a22a3，集合A|2a1|,2，且UA5，求實(shí)數(shù)a的值解因?yàn)閁2,9，a22a3，UA5，所以a22a35.解得a2或a4.若a2，則U2,9,5，A2,3，不合題意；若a4，則U2,9,5，A2,9，符合題意故a4.五、等集

11、一個(gè)集合的兩種表示例5 已知集合M2，a，b與集合N2a,2，b2是同一個(gè)集合，求a、b.分析此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素的性質(zhì)建立關(guān)系式解兩個(gè)集合為同一個(gè)集合，則這兩個(gè)集合的元素完全相同且與元素的順序無關(guān)，于是或解之，得或或又當(dāng)a0，b0時(shí)，不滿足互異性，應(yīng)該舍去因此或評(píng)注解決集合相等的問題，易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn)和修正.3集合中的數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問題化難為易、化抽象為具體通過“形”往往可以解決用“數(shù)

12、”很難解決的問題集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法例1 已知全集為U，Ua|aN*且a9，且(UA)B1,9，AB2，(UA)(UB)4,6,8，試確定集合A，B.分析若能將題設(shè)條件中所給出的各個(gè)集合中的元素，都能在Venn圖上表示出來，那么所要確定的集合A，B中的元素，將會(huì)從Venn圖上一目了然的得出解將已知條件中的集合Ua|aN*且a91,2,3,4,5,6,7,8,9，(UA)B1,9，AB2，(UA)(UB)4,6,8，在Venn圖上表示出來，如圖所示由Venn圖可以直觀的得出A2,3,5,7，B1,2,9例2 某學(xué)校藝術(shù)班有100名學(xué)生，其中學(xué)舞蹈的學(xué)生有67人，學(xué)唱歌的學(xué)生有45人，而學(xué)樂器的學(xué)生既不能學(xué)舞蹈，又不能學(xué)唱歌，人數(shù)有21人，那么同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的學(xué)生有多少人？解設(shè)只學(xué)舞蹈的學(xué)生有x人，只學(xué)唱歌的學(xué)生有y人，既學(xué)舞蹈又學(xué)唱歌的學(xué)生有z人，Venn圖如圖所示解得所以同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的有33人例3 已知集合Ax|x1，或x1，Bx|2axa1，a1，BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解a1，2aa1，B.畫出數(shù)軸分析，如圖所示由圖知要使BA，需2a1或a11，即a或a2.又a2m1，解得m2，此時(shí)有BA；若B，則m12m1，即m2，由BA，得，解得2m3.由得m3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|m38