2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（二）學(xué)案 北師大版選修2-1

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1、1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)加深理解橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠熟練求解與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)與推導(dǎo)思考1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征與代數(shù)特征分別是什么？思考2依據(jù)橢圓方程，如何確定其焦點(diǎn)位置？思考3觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣選擇坐標(biāo)系才能使橢圓的方程較簡(jiǎn)單？并寫出求解過(guò)程.梳理(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式焦點(diǎn)位置形狀、大小焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上形狀、大小相同ab0，b2a2c2，焦距為2cF1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)1(ab0)焦點(diǎn)在y軸上F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)1(ab0)(2)方程Ax2By21表示橢圓的充要條件是_.(3)橢圓方程中參數(shù)a，b，c之間

2、的關(guān)系為_(kāi).類型一橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定例1求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A(，2)和B(2，1)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.反思與感悟求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以利用定義，也可以利用待定系數(shù)法，選擇求解方法時(shí)，一定要結(jié)合題目條件，其次需注意橢圓的焦點(diǎn)位置.跟蹤訓(xùn)練1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(0,2)和(1,0).類型二相關(guān)點(diǎn)法在求解橢圓方程中的應(yīng)用例2如圖，在圓x2y24上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡. 引申探究若本例中“過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線

3、段PD”，改為“過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線段PD”.那么線段PD的中點(diǎn)M的軌跡又是什么？反思與感悟如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P隨著另一個(gè)在已知曲線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)Q而運(yùn)動(dòng)，則求P點(diǎn)的軌跡方程時(shí)一般用轉(zhuǎn)代法來(lái)求解.基本步驟為(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)，已知曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x1，y1).(2)求關(guān)系式：用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即得關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程，并把所得方程化簡(jiǎn)即可.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，P是以O(shè)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，POB的平分線交直線PB于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程. 1.若方程y21表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值

4、范圍為()A.(1，) B.(，)C.1，) D.(，1)2.設(shè)B(4,0)，C(4,0)，且ABC的周長(zhǎng)等于18，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)3.已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則橢圓E的方程為_(kāi).4.在橢圓y21中，有一沿直線運(yùn)動(dòng)的粒子從一個(gè)焦點(diǎn)F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F1，再次被橢圓反射后又回到F2，則該粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi).5.ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c成等差數(shù)列，且b6，求頂點(diǎn)B的軌跡方程.1.兩種形式的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的比較如下表：

5、標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)不同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)相同點(diǎn)定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合a、b、c的關(guān)系a2b2c22.所謂橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；在1與1這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有ab0的要求，如方程1(m0，n0，mn)就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，可與直線截距式1類比，如1中，由于ab，所以在x軸上的“截距”更大，因而焦點(diǎn)在x軸上(即看x2，y2分母的大小).要區(qū)別a2b2c2與習(xí)慣思維下的勾股定理c2a2b2.提醒：完成作業(yè)第

6、三章11.1(二)答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征：橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸或y軸上.標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關(guān)于與的平方和，并且分母為不相等的正值.思考2把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，與x2，y2相對(duì)應(yīng)的分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上.思考3(1)如圖所示，以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy. (2)設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0).(3)列式：依據(jù)橢圓的定義式|MF1|MF2|2a列方程，并將其坐標(biāo)化為2a.(4)化簡(jiǎn)：通過(guò)移項(xiàng)、兩次平方后得到：(a

7、2c2)x2a2y2a2(a2c2)，為使方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱、便于記憶，引入字母b，令b2a2c2，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).(5)從上述過(guò)程可以看到，橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，以方程的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)的距離之和為2a，即以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.由曲線與方程的關(guān)系可知，方程是橢圓的方程，我們把它叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.梳理(2)A0，B0且AB(3)a2b2c2題型探究例1解方法一(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，依

8、題意有解得此時(shí)不符合ab0，所以方程組無(wú)解.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.跟蹤訓(xùn)練1解(1)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).由橢圓的定義知：2a 2，即a.又c2，b2a2c26.所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,0)，所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.例2解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則xx0，y.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓x2y24上，所以xy4.把x0x，y02y代入方程，得x24y24，即y21.所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.引申探究解設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，則xy4，(*)代入(*)式得x21.故點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.跟蹤訓(xùn)練2解由三角形角平分線性質(zhì)得2.2.設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，則(x2，y)2(x0x，y0y)，又點(diǎn)P在單位圓x2y21上.()2(y)21.點(diǎn)Q的軌跡方程為y21.當(dāng)堂訓(xùn)練1.A2.A3.14.45.解以直線AC為x軸，AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(3,0)，C(3,0)，B(x，y)，則|BC|AB|ac2b2|AC|12，B點(diǎn)的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓，且a6，c3，b227.故所求的軌跡方程為1(y0).7