2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一單元 常用邏輯用語(yǔ) 1.1.2 量詞教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、 1．1.2　量　詞 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見(jiàn)的全稱量詞和存在量詞.2.了解含有量詞的全稱命題和存在性命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知識(shí)點(diǎn)一　全稱量詞與全稱命題 思考　觀察下列命題： ①每一個(gè)三角形都有內(nèi)切圓； ②所有實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根； ③對(duì)一切有理數(shù)x,5x＋2還是有理數(shù)． 以上三個(gè)命題中分別使用了什么量詞？根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假．　 　 梳理　(1) 全稱量詞 “所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一

2、切”、“任給”、“全部” 符號(hào) ? 全稱命題p 含有________________的命題 形式 “對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(kāi)_______________ (2)判斷全稱命題真假性的方法：對(duì)于全稱命題“?x∈M，p(x)”，要判斷它為真，需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判斷它為假，只需在M中找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)不成立即可． 知識(shí)點(diǎn)二　存在量詞與存在性命題 思考　觀察下列命題： ①有些矩形是正方形； ②存在實(shí)數(shù)x，使x>5； ③至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2－2x＋2<0. 以上三個(gè)命題分別使用了什么量詞？根據(jù)命題的實(shí)際含義

3、能否判斷命題的真假．　 　 梳理　(1) 存在量詞 “有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的” 符號(hào) ? 存在性命題 含有________________的命題 形式 “存在M中的一個(gè)x，使q(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(kāi)___________ (2)判斷存在性命題真假性的方法：要判斷一個(gè)存在性命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)x＝x0，使q(x0)成立即可，否則，這一存在性命題是假命題． 類型一　全稱命題與存在性命題的識(shí)別 例1　判斷下列語(yǔ)句是全稱命題，還是存在性命題． (1)凸多邊形的外角和等于360°； (2)有些實(shí)數(shù)a，b能使|

4、a－b|＝|a|＋|b|； (3)對(duì)任意a，b∈R，若a>b，則<； (4)有一個(gè)函數(shù)，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．　 　 　 反思與感悟　(1)判斷語(yǔ)句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱命題或存在性命題． (2)若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱命題，含有存在量詞的命題是存在性命題． (3)當(dāng)命題中不含量詞時(shí)，要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并用符號(hào)“?”或“?”表示下列命題． (1)自然數(shù)的平方大于或等于零； (2)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x，x2也是無(wú)理數(shù)； (3)有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；

5、(4)對(duì)于數(shù)列，總存在正整數(shù)n，使得an與1之差的絕對(duì)值小于0.01.　 　 　 類型二　全稱命題與存在性命題的真假的判斷 例2　判斷下列命題的真假： (1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P； (2)存在一個(gè)函數(shù)，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)； (3)每一條線段的長(zhǎng)度都能用正有理數(shù)來(lái)表示； (4)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得等式x2＋x＋8＝0成立； (5)?x∈R，x2－3x＋2＝0； (6)?x∈R，x2－3x＋2＝0.　 　 　 反思與感悟　要判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)都成立；如果在

6、集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個(gè)全稱命題就是假命題． 要判定存在性命題“?x∈M，q(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使q(x0)成立即可；如果在集合M中，使q(x)成立的元素x不存在，那么這個(gè)存在性命題就是假命題． 跟蹤訓(xùn)練2　有下列四個(gè)命題：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x∈N，x2≤x；④?x∈N＋，x為29的約數(shù)，其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 類型三　全稱命題與存在性命題的應(yīng)用 例3　已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等

7、式m＋f(x)>0對(duì)于任意x∈R恒成立，并說(shuō)明理由； (2)若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使不等式m－f(x)>0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．　 　 　 反思與感悟　(1)一般地，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min. (2)有關(guān)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的問(wèn)題，一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解，二是分離參數(shù)法求解．前者主要運(yùn)用Δ＝b2－4ac的符號(hào)，轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組，后者常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋

8、a2＋2≤0的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若對(duì)?x∈R，p(x)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 1．下列命題中，不是全稱命題的是(　　) A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0 B．自然數(shù)都是正整數(shù) C．每一個(gè)向量都有大小 D．一定存在沒(méi)有最大值的二次函數(shù) 2．下列命題是真命題的是(　　) A．a(chǎn)>b是ac2>bc2的充要條件 B．a(chǎn)>1，b>1是ab>1的充分條件 C．?x∈R,2x>x2 D．?x∈R，ex<0 3．下列存在性命題是假命題的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

9、 C．有的素?cái)?shù)是偶數(shù) D．有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù) 4．若?x∈[0，]，tan x≤m是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為_(kāi)_______． 5．用量詞符號(hào)“?”“?”表述下列命題，并判斷真假． (1)所有的實(shí)數(shù)x都能使x2＋x＋1>0成立； (2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，方程ax＋b＝0恰有一個(gè)解； (3)一定有整數(shù)x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理數(shù)x都能使x2＋x＋1是有理數(shù)． 　 　 1．判斷全稱命題的關(guān)鍵：一是先判斷是不是命題；二是看是否含有全稱量詞． 2判定全稱命題的真假的方法．定義法：對(duì)給定的集合的每一個(gè)元素x，p(x)都為真；代入法：在給定的

10、集合內(nèi)找出一個(gè)x0，使p(x0)為假，則全稱命題為假． 3．判定存在性命題真假的方法．代入法：在給定的集合中找到一個(gè)元素x0，使命題q(x0)為真，否則命題為假． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　命題①②③分別使用量詞“每一個(gè)”“所有”“一切”． 命題①③是真命題，命題②是假命題，三個(gè)命題中的“每一個(gè)”“所有”“一切”都有全部、所有的意義，要求命題對(duì)某個(gè)集合的所有元素都成立，而負(fù)實(shí)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，故命題②為假命題． 梳理　(1)全稱量詞　?x∈M，p(x) 知識(shí)點(diǎn)二 思考　命題①②③分別使用了量詞“有些”“存在”“至少有一個(gè)”．命題①②是真命題，命題③是假命題．三個(gè)命題

11、中的“有些”“存在”“至少有一個(gè)”等詞都是對(duì)某個(gè)集合內(nèi)的個(gè)別元素而言，要說(shuō)明這些命題是真命題，只要舉出一個(gè)例子即可．所以命題①②是真命題，而任意實(shí)數(shù)x，x2－2x＋2都大于0，所以命題③為假命題． 梳理　(1)存在量詞　?x∈M，q(x) 題型探究 例1　解　(1)可以改寫(xiě)為“所有的凸多邊形的外角和都等于360°”，是全稱命題． (2)含有存在量詞“有些”，故是存在性命題． (3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱命題． (4)含有存在量詞“有一個(gè)”，是存在性命題． 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)是全稱命題，表示為?x∈N，x2≥0. (2)是全稱命題，?x∈{x|x是無(wú)理數(shù)}，x2是無(wú)理

12、數(shù)． (3)是存在性命題，?f(x)∈{函數(shù)}，f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)． (4)是存在性命題，?n∈N＋，|an－1|＜0.01，其中an＝. 例2　解　(1)真命題． (2)真命題，如函數(shù)f(x)＝0，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)． (3)假命題，如邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線的長(zhǎng)度為，就不能用正有理數(shù)表示． (4)假命題，方程x2＋x＋8＝0的判別式Δ＝－31<0，故方程無(wú)實(shí)數(shù)解． (5)假命題，只有x＝2或x＝1時(shí)，等式x2－3x＋2＝0才成立． (6)真命題，x＝2或x＝1，都使得等式x2－3x＋2＝0成立． 跟蹤訓(xùn)練2　C 例3　解　方法一　(1)不等式m＋f(x)>

13、0可化為 m>－f(x)， 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4對(duì)于任意x∈R恒成立， 只需m>－4即可． 故存在實(shí)數(shù)m使不等式m＋f(x)>0對(duì)于任意x∈R恒成立，此時(shí)需m>－4. (2)不等式m－f(x)>0， 可化為m>f(x)， 若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)． 方法二　(1)要使不等式m＋f(x)>0對(duì)?x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m>0對(duì)?x∈R恒成立． 所以Δ＝(－2)2－4

14、(5＋m)<0，解得m>－4， 所以當(dāng)m>－4時(shí)，m＋f(x)>0對(duì)于任意x∈R恒成立． (2)若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x， 使m－f(x)>0成立， 即x2－2x＋5－m<0成立． 只需Δ＝(－2)2－4(5－m)>0即可， 解得m>4. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)． 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)∵關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0， 即4a－7≥0， 解得a≥，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (2)∵對(duì)?x∈R，p(x)是真命題． ∴對(duì)?x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立， 當(dāng)a＝0時(shí)，不等式為2x＋1>0不恒成立， 當(dāng)a≠0時(shí)，若不等式恒成立，則∴a>1. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．D　2.B　3.B　4.1 5．解　(1)?x∈R，x2＋x＋1>0，真命題． (2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解，假命題． (3)?x，y∈Z,3x－2y＝10，真命題． (4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理數(shù)，真命題． 7