2017-2018版高中數學 第一章 導數及其應用 1.1.3 導數的幾何意義學案 新人教B版選修2-2

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1、11.3導數的幾何意義明目標、知重點1.理解導數的幾何意義.2.根據導數的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程1.割線斜率與切線斜率設函數yf(x)的圖象如圖所示，AB是過點A(x0，f(x0)與點B(x0x，f(x0x)的一條割線，此割線的斜率是.當點B沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉動，它的極限位置為直線AD，這條直線AD叫做此曲線在點A處的切線于是，當x0時，割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k，即kf(x0) .2導數的幾何意義函數yf(x)在點xx0處的導數的幾何意義是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率也就是說，曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)

2、處的切線的斜率是f(x0)相應地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)情境導學如果一個函數是路程關于時間的函數，那么函數在某點處的導數就是瞬時速度，這是函數的實際意義，那么從函數的圖象上來考察函數在某點處的導數，它具有怎樣的幾何意義呢？這就是本節(jié)我們要研究的主要內容探究點一導數的幾何意義思考1如圖，當點Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿著曲線f(x)趨近于點P(x0，f(x0)時，割線PPn的變化趨勢是什么？答當點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線思考2曲線的切線是不是一定和曲線只有一個交點？答不一定曲線的切線和曲線不一定只有一

3、個交點，和曲線只有一個交點的直線和曲線也不一定相切如圖，曲線的切線是通過逼近將割線趨于確定位置的直線例1如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數h(t)4.9t26.5t10的圖象根據圖象，請描述、比較曲線h(t)在t0，t1，t2附近的變化情況解我們用曲線h(t)在t0，t1，t2處的切線，刻畫曲線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況(1)當tt0時，曲線h(t)在t0處的切線l0平行于t軸所以，在tt0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降(2)當tt1時，曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率h(t1)0.所以，在tt1附近曲線下降，即函數h(t)在tt1附近單調遞減(3)當tt2時，曲線h(t

4、)在t2處的切線l2的斜率h(t2)0(即切線的斜率大于零)，則函數yf(x)在xx0附近的圖象是上升的；若f(x0)0，所以，在tt3，tt4附近單調遞增，且曲線h(t)在t3附近比在t4附近遞增得快(2)若函數yf(x)的導函數在區(qū)間a，b上是增函數，則函數yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象可能是()答案A解析依題意，yf(x)在a，b上是增函數，則在函數f(x)的圖象上，各點的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個選項的圖象，只有A滿足探究點二求切線的方程思考1怎樣求曲線f(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程？答根據導數的幾何意義，求出函數yf(x)在點(x0，f(x0)處的導數，即曲線

5、在該點處的切線的斜率，再由直線方程的點斜式求出切線方程思考2曲線f(x)在點(x0，f(x0)處的切線與曲線過某點(x0，y0)的切線有何不同？答曲線f(x)在點(x0，f(x0)處的切線，點(x0，f(x0)一定是切點，只要求出kf(x0)，利用點斜式寫出切線即可；而曲線f(x)過某點(x0，y0)的切線，給出的點(x0，y0)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點例2已知曲線yx2，求：(1)曲線在點P(1,1)處的切線方程；(2)曲線過點P(3,5)的切線方程解(1)設切點為(x0，y0)，y|xx0 2x0，斜率k2.曲線在點P(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即2xy10.

6、(2)點P(3,5)不在曲線yx2上，設切點為(x0，y0)由(1)知，k2x0，切線方程為yy02x0(xx0)，由P(3,5)在所求直線上得5y02x0(3x0)再由A(x0，y0)在曲線yx2上得y0x聯(lián)立，得，x01或x05.從而切點A的坐標為(1,1)或(5,25)當切點為(1,1)時，切線的斜率為k12x02，此時切線方程為y12(x1)，即2xy10，當切點為(5,25)時，切線的斜率為k22x010，此時切線方程為y2510(x5)，即10xy250.綜上所述，過點P(3,5)且與曲線yx2相切的直線方程為2xy10或10xy250.反思與感悟求曲線上某點處的切線方程，可以直接

7、利用導數求出曲線上此點處的斜率，然后利用點斜式寫出切線方程；求曲線過某點的切線方程，要先求出切點坐標跟蹤訓練2已知直線l：y4xa和曲線C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切點坐標解設直線l與曲線C相切于點P(x0，y0)，f(x) 3x24x，kf(x0)3x4x0.由題意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，切點的坐標為(，)或(2,3)當切點為(，)時，有4()a，解得a.當切點為(2,3)時，有342a，解得a5.當a時，切點坐標為(，)；當a5時，切點坐標為(2,3)1已知曲線f(x)2x2上一點A(2,8)，則點A處的切線斜率為()A4 B16 C8 D2答案C解析f(

8、2) (82x)8，即k8.2若曲線yx2axb在點(0，b)處的切線方程是xy10，則()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析由題意，知k 1，a1.又(0，b)在切線上，b1，故選A.3已知曲線yf(x)2x24x在點P處的切線斜率為16，則P點坐標為_答案(3,30)解析設點P(x0,2x4x0)，則f(x0) 4x04，令4x0416得x03，P(3,30)呈重點、現規(guī)律1導數f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，即k f(x0)，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度2“函數f(x)在點x0處的導數”是一個數值，不是變數，“導函數”是一個函數，二者有本質的區(qū)別，但又有密切關系，f(x0)是其導數yf(x)在xx0處的一個函數值3利用導數求曲線的切線方程，要注意已知點是否在曲線上如果已知點在曲線上，則以該點為切點的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知點不在切線上，則設出切點(x0，f(x0)，表示出切線方程，然后求出切點6