小學數學總復習 (2)

目錄1 數和數的運算： 整數 自然數 2計數單位 數位 多位數的讀法和寫法3數的整除 因數與倍數 能被2，3，4，5，8，9，125整除的數的特點4奇數與偶數 質數（素數）與合數5公因數和最大公因數 公倍數和最小公倍數7小數的意義 小數的性質 小數的分類8 小數點位置移動引起的小數變化：小數化成分數9分數 分數的意義 分數的分類 分數乘除法法則：10約分和通分 分數的加減法則 分數大小的比較 倒數 分數化成小數11百分數 比和比例 比的意義和性質 比值和化簡比 12 比例的意義和性質 比例的意義 比例的性質 解比例 正比例和反比例 13比和比例的區(qū)別 求比值和化簡比的區(qū)別14比 分數和除法三者的關系 正比例與反比例 15求比例的習題16 方法 數的讀法和寫法 17 數的改寫18數的互化 數的整除 約分和通分19性質和規(guī)律 商不變的規(guī)律 小數的性質 小數點移動引起小數的變化20分數的基本性質 分數與除法 比的關系 整數的四則運算（加減乘除）22小數的四則運算23分數的四則運算 運算定律（交換律，結合律，分配律）24運算法則25運算順序 和差積商的變化規(guī)律27應用題-簡單應用題29應用題-復雜應用題 平均數問題 相遇問題30應用題-復雜應用題 歸一問題 歸總問題31應用題-復雜應用題 和差問題 和倍問題 差倍問題 行程問題32應用題-復雜應用題 流水問題33應用題-復雜應用題 還原問題 植樹問題34應用題-復雜應用題 盈虧問題 年齡問題35應用題-復雜應用題 雞兔問題 分數與百分數的應用（加減乘除）36分數百分數常用公式 工程問題 37 納稅 利潤與折扣 本金與利息及利息稅38 度量衡 長度 面積 體積和容積 它們的定義 常用單位 單位之間的換算39度量衡 質量 時間 貨幣 它們的定義 常用單位 單位之間的換算40代數初步知識 用字母表示數的意義和作用 常見的數量關系 運算定律和性質41 代數初步知識 用字母表示幾何體的公式 簡易方程44幾何的初步知識 線和角 45幾何的初步知識 平面圖形 長方形 正方形 三角形 平行四邊形 梯形46幾何的初步知識 圓 扇形 環(huán)形 47幾何的初步知識 長方體48幾何的初步知識 正方體 圓柱體 圓錐 49幾何的初步知識 球51簡單的統(tǒng)計 統(tǒng)計表的制作52簡單的統(tǒng)計 統(tǒng)計圖（條形統(tǒng)計圖 折線統(tǒng)計圖 扇形統(tǒng)計圖）53圖形與變換 第一章 數和數的運算一 概念 （一）整數 1 整數的意義 像。-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，。這樣的數稱為整數。整數分為正整數，0，負整數。正整數，0又稱為自然數,而且是最小的自然數。整數的個數是無限的，既沒有最大的整數，也沒有最小的整數。2 自然數 我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1，2，3叫做自然數。 一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數，而且是最小的自然數，沒有最大的自然數。自然數既可以表示事物的多少（即基數），也可以表示事物的次序（即序數）正數與負數：表示兩種相反意義的量。0既不是正數，也不是負數。不管是什么數（整數，分數，小數，百分數）都有正數與負數之分。正數>0>負數3計數單位 一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億都是計數單位。 每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。這樣的計數法叫做十進制計數法。 4 數位 計數單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數位。 數位是指各個計數單位所占的位置；每個數位上的數都有相應的計數單位；位數是指一個自然數中含有數位的個數。億 級萬 級個 級 數 級。千 百 十億 億 億 位 位 位千 百 十萬 萬 萬位 位 位千 百 十 個位 位 位 數 位。千 百 十 億 億 億 千 百 十 萬 萬 萬 千 百 十計數單位多位數的讀法和寫法：1）多位數的讀法：從高位到低位一級一級地讀，每級末尾的0都不讀，其它數位有一個0或連續(xù)幾個0，都只讀一個零；2）多位數的寫法：從高位到低位一級一級地寫，哪一位上一個單位也沒有，就在哪一位上寫0.*大于0的整數的大小比較 比較兩個整數的大小，如果位數不同，那么位數多的數就大；如果位數相同，左起第一位上的數大的那個數就大；左起第一位上的數相同，就比較左起第二位上的數，左起第二位上的數大的那個數就大，以此類推。*改寫和省略尾數根據需要，有時需將一個較大的數改成用萬或億做單位的數，改寫時只要在萬位或者億位右下方點上小數點，然后把小數末尾的0去掉，再寫上"萬“或者“億”字，改寫的數是原數的準確的數，用“=”連接。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數 12.543 億（關鍵是要分級：個級，萬級，億級）有時根據實際需要把一個數某一位后面的尾數省略，求他的近似數。在小學階段通常用“四舍五入”法求一個數的近似數。用“四舍五入”法求一個數的近似數，要看所省略的尾數的最高位，如果尾數最高位上的數不滿5時，就直接把尾數都舍去；如果尾數最高位上的數大于或等于5時，把尾數舍去后，向他的前一位進一（注：在用“四舍五入”法求一個數的近似數時，也會用到“進一法”和“去尾法”，主要用于解決實際問題）。近似數與原數用“”連接。例如：省略 3459000 萬后面的尾數，先分級，345，9000分為個級和萬級，將萬位數字5后面的數字全部去掉（采用“四舍五入”法），添加“萬”，即約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數約是 47 億0的作用：表示占位；表示起點；表示界限例如：用三個7和三個0按要求寫出六位數。（1）一個零都不讀出（2）只讀一個零（3）只讀兩個零 點悟：根據讀法規(guī)則，每級末尾的0都不讀，其它數位有一個0或連續(xù)幾個0，都只讀一個零；在寫數上，要符合“一個零都不讀出來”的條件，就要把0放在級尾，六位數中包含萬級和個級兩個級尾，即要把0放在萬級或個級的級尾；要符合“只讀一個零”的條件，那么在個級首或個級中間有一個0或連續(xù)幾個0；要符合“只讀兩個零”，那么在個級首或個級中間同時出現0解答：（1）777000 707700 （2）770700 770070 770007 707007 707070 （3）7007075數的整除 1）因數與倍數整數a除以整數b(b 0），除得的商是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a 。 如果數a能被數b（b 0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或a的因數）。倍數和約數是相互依存的。 一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的 約數是它本身。例如：10的約數有1、2、5、10，其中最小的約數是1，最大的約數是10。 一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。3的倍數有：3、6、9、12其中最小的倍數是3 ，沒有最大的倍數。因為35能被7整除，所以35是7的倍數，7是35的約數，或者說7是35的約數 2）能被2，3，5整除的數的特點 個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除 個位上是0或5的數，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一個數各位數上的和能被9整除，這個數就能被9整除。如：234 270 144 能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。 如204，能被3整除但不能被9整除 一個數的末兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一個數的末三位數能被8（或125）整除，這個數就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 例如：一個分數化簡后是，原來分子與分母的和為60，原來這個分數是多少？ 分析：分數化簡后是，說明原來分數的分子是2的倍數，分母是13的倍數，而且原來分數的分子分母同時除以相同的數。用原來分子與分母的和60除以現在分子與分母的和（2+13），即可求出原來的分數。 答案：60÷（2+13）=4 原來這個分數是3 ）奇數與偶數能被2整除的數叫做偶數。 不能被2整除的數叫做奇數。自然數中只有奇數與偶數偶數±偶數=偶數 奇數±奇數=偶數 奇數±偶數=奇數 偶數用代數式2n,2n±2表示偶數X偶數=偶數 偶數X奇數=偶數 奇數X奇數=奇數 奇數用代數式2n-1,2n+1表示 4）質數（素數）與合數按一個數約數的個數，非0自然數可分為1、質數、合數三類。一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（或素數），100以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數，例如 4、6、8、9、12都是合數。 1不是質數也不是合數，自然數除了0和1外，不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不同分類，可分為質數、合數和1。 每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數，例如15=3×5，3和5 叫做15的質因數。 把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。 例如把28分解質因數 28=1x2x2xx75）公因數（或叫公約數）和最大公因數（或叫最大公約數）（公因數有最大，公倍數只有最?。讉€數公有的約數，叫做這幾個數的公約數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數，例如12的約數有1、2、3、4、6、12；18的約數有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公約數，6是它們的最大公約數。 公約數只有1的兩個數，叫做互質數，成互質關系的兩個數，有下列幾種情況： 1和任何自然數互質。 如1與2互質相鄰的兩個自然數互質。 如2與3互質兩個不同的質數互質。 如3與7互質當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質。 如8與3互質兩個合數的公約數只有1時，這兩個合數互質，如24與35互質如果幾個數中任意兩個都互質，就說這幾個數兩兩互質。 如2，3，5，7任意兩個互質如果較小數是較大數的約數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數。 如4與24，則4是（4 24）的最大公約數如果兩個數是互質數，它們的最大公約數就是1。 如9與25的最大公約數為16）公倍數和最小公倍數幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數，如2的倍數有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍數有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍數，6是它們的最小公倍數。 7）求最大公約數與最小公倍數一般采用短除法。如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數，那么較小數就是這兩個數的最大公因數；如8與24 則24是他們的最小公倍數如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數，而1就是這兩個數的最大公因數。 如8與9則8*9=27是他們的最小公倍數幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。 例如：求27與63的最大公因數與最小公倍數。用短除法其中用短除法左邊上的所有數的乘積（3x3=9）作為它們的最大公因數，而用短除法左邊上和底邊上所有的數的乘積（3x3x3x7=189）作為他們的最小公倍數8）分解質因數 每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，這幾個質數叫做這個合數的質因數；把一個合數用幾個質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。24分解質因數，用短除法即24等于短除法左邊上所有數字與最低邊上數字的總乘，即24=2*2*2*3利用求最大公約數與最小公倍數解應用題例如：大雪后的一天，小明和爸爸同時步測一個圓形花圃的周長，他倆的起點和步行方向完全相同，小名每步長54厘米，爸爸每步長72厘米。由于兩個腳印有重合，所以各走完一圈后，雪地上留下60個腳印，求圓形花圃的周長 分析：要求花圃的周長，必須求出相鄰兩次腳印重合所走的路程以及走完全程腳印重合的次數。而兩人從起點出發(fā)到第一次腳印重合所走的路程是相同的，這個路程是兩個人步長（54，72）的最小公倍數216.在216厘米里，兩人留下的腳印數為：216÷54=4（個），216÷72=3（個） 由于兩人有腳印是重合的，所以每216厘米就有腳?。?+3-1=6（個），60÷6=10，即走完全程共重合10次，因此花圃的周長就是216x10=2160厘米解答：54和72的最小公倍數是216216÷54=4（個） 216÷72=3（個） 4+3-1=6（個） 60÷6=10 216x10=2160厘米例如：暑假期間，明明和亮亮去敬老院照顧老人，7月13日他們去了，并約好，他們一起去敬老院的時候有幾次？分析：首先求出從7月13日到8月31日有多少天。7月份是大月，有31天。所以從7月13日到7月31日有：31-13+1=19天 8月份有31天。這樣求出從7月13日到8月31日一共有19+31=50天；其次，明明每2天去一次，亮亮每3天去一次，則他們每6天一起，即為2和3的最小公倍數；最后看50里面含有多少個6，即50里面含有8個6，也就是說第一天不算，他們有8次是一起去敬老院的，加上第一天，一共是9次共同去的解答： 31-13+1=19天 19+31=50天 8+1=9（天）（二）小數 1 小數的意義 意義：把整數1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾 可以用小數表示。 計數單位：一位小數表示十分之幾，計數單位就是十分之一；兩位小數表示百分之幾，計數單位就是百分之一；三位小數表示千分之幾，計數單位就是千分之一 構成：一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點右邊的數叫做小數部分。 讀法：讀小數時，整數部分仍然按整數的讀法讀，小數點讀作“點”，小數部分的數按數位順序依次讀出每個數位上的數字，小數點后面的“0”有幾個讀幾個。寫法：在小數里，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數部分的最高分數單位“十分之一”和整數部分的最低單位“一”之間的進率也是10。寫小數時，仍然按整數的寫法寫，整數部分是零的要寫“0”，小數點要寫在個位右下角，然后依次寫出小數部分每一個數位上的數字。整數和小數都是按照十進制計數法寫出的數。2小數的性質：小數的末尾添上0或者去掉0，小數的大小不變3小數的分類 純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數。 帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數。 有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數。 無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。 例4.33 .1415926 無限不循環(huán)小數：一個數的小數部分，數字排列無規(guī)律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環(huán)小數。 例如：3.14159765799878826528393717. 循環(huán)小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這個數叫做循環(huán)小數。 例如： 3.555 0.0333 12.109109 一個循環(huán)小數的小數部分，依次不斷重復出現的數字叫做這個循環(huán)小數的循環(huán)節(jié)。 例如： 3.99 的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ， 0.5454 的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。 純循環(huán)小數：循環(huán)節(jié)從小數部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數。 例如： 3.111 0.5656 混循環(huán)小數：循環(huán)節(jié)不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數。 3.1222 0.03333 寫循環(huán)小數的時候，為了簡便，小數的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環(huán) 節(jié)只有 一個數字，就只在它的上面點一個點。例如： 3.777 簡寫作, 0.5302302 簡寫作 。 4 小數點位置移動引起的小數變化：小數點向右移動一位、二位、三位原來的數分別擴大10倍、100倍、1000倍，反之小數點向左移動一位、二位、三位原來的數分別縮小10倍、100倍、1000倍即原來的數就縮小到它的十分之一，百分之一，千分之一。（注意：位數不夠時，必須添加“0”補足位數）如3.57小數點右移3位，變?yōu)?570，原來的數3.57就擴大1000倍；反之，小數點向左移動3位，變?yōu)?.00357，原來的數3.57就縮小1000倍5小數化成分數：原來有幾位小數，就在1的后面寫幾個零作分母，把原來的小數去掉小數點作分子，能約分的要約分。整數部分仍作帶分數的整數部分，如：；6循環(huán)小數化為分數 純循環(huán)小數化為分數：把第一個循環(huán)節(jié)的數字組成的數作為分子，分母由數字9組成，9的個數等于循環(huán)節(jié)的個數。如混循環(huán)小數化為分數：其分子是小數點右邊第一個數字到第一個循環(huán)節(jié)末位的數字所組成的數減去不循環(huán)數字所組成的差，分母黝數字9和0組成，9的個數等于循環(huán)節(jié)的位數，0的個數等于不循環(huán)部分的位數。如例如：把化為小數，小數后面第100個數字是幾？100個數字的和是多少？分析 把化為小數是，循環(huán)節(jié)是“285714”100÷6=16。4，小數點后面第100個數字是第17個循環(huán)周期的第四個數字“7”，小數點后面100個數字就包含16個循環(huán)節(jié)和一個循環(huán)節(jié)的前4個數字。解答： =，100÷6=16。4 16x(2+8+5+7+1+4)+2+8+5+7=454答案：小數后面第100個數字是7，100個數字的和是454 （ 三）分數 1 分數的意義 把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。 =ab=a:b在分數里，中間的橫線叫做分數線；分數線下面的數，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。2 分數的分類真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1。如假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大于或等于1。如帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。如，讀作三又5分之二假分數與帶分數互化：，假分數化帶分數，分母（7）不變，用分子（57）除以分母（7）所得的商8作為帶分數的整數部分，余數（1）作為帶分數的分子；帶分數化假分數是分母（7）不變，用帶分數的整數部分（8）乘以分母（7）所得的積加上分子（1）所得的和作分子。3分數乘除法法則：1）分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變。分數乘整數與整數乘以整數都表示求幾個相同數的和的簡便運算如3*8表示8個3相加；*8表示8個相加2）分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母。分數乘分數與整數乘分數都表示求這個數的幾分之幾如* 表示求 的是多少；8*表示求8的是多少3）分數除以整數（0除外），等于分數乘以這個整數的倒數。如4）分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘以或除以同一個數（0除外），分數的大小不變。如（m不為0）4約分和通分把一個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數 ，叫做約分。分子分母是互質數的分數，叫做最簡分數。 如把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。如： 5分數的加減法則：同分母的分數相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分數相加減，先通分，然后再加減。6分數大小的比較：同分母的分數相比較，分子大的大，分子小的小;若分子相同，分母大的反而小;異分母的分數相比較，先通分然后再比較；若分子相同，分母大的反而小。如7倒數 乘積是1的兩個數互為倒數，1的倒數是1，0沒有倒數 如2與互為倒數。切記：倒數是兩個數互為倒數8分數化成小數：用分母去除分子，即用分子除以分母。能除盡的就化成有限小數，有的不能除盡，不能化成有限小數的，一般保留三位小數。注意：一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有2和5 以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。（四）百分數1 表示一個數是另一個數的百分之幾的數 叫做百分數,也叫做百分率 或百分比。百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。 2百分數的單位：因為百分數的分母是100，所以百分數的分數單位是1%3成數與折扣： 成數：工農業(yè)生產中經常用到“成數”來表示生產的增長情況，幾成就是十分子幾，也就是百分之幾十； 折扣：商店有時降價出售商品，叫做折扣銷售，通稱“打折”。幾折就是十分子幾，也就是百分之幾十4百分數化成小數：把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。 5. 分數化成百分數：通常先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。 （五）比和比例1比的意義和性質 （1） 比的意義 - 兩個數相除又叫做兩個數的比。 - “：”是比號，讀作“比”。比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。 - 同除法比較，比的前項相當于被除數，后項相當于除數，比值相當于商。 - 比值通常用分數表示，也可以用小數表示，有時也可能是整數。 - 比的后項不能是零。 根據分數與除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數值。 （2）比的性質 -1比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質。2 比例的前項之積=比例的后項之積 如a:b=c:d則有ad=bc （3） 求比值和化簡比 - 求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是一個數值可以是整數，也可以是小數或分數。 - 根據比的基本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，即前、后項是互質的數。 比例尺 ：一副圖的圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺 - 圖上距離：實際距離=比例尺 - 要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。 - 線段比例尺：在圖上附有一條注有數目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。 -比例尺分為兩類“數值比例尺”和“線段比例尺”例如：籃球場長28米，寬18米，把它畫在比例尺是1：300的圖紙上，寬應該畫多少米？ 分析:因為比例尺是1：300，根據圖上距離：實際距離=比例尺=1：300 列方程解答解：設圖上距離寬應該畫X厘米 15米=1500厘米 方法一： 根據圖上距離：實際距離=比例尺=1：300 列方程X:1500=1:300 比例的性質：內項的乘積=外項的乘積 得 300x=1500 解得 x=5方法二： 根據圖上距離：實際距離=比例尺=1：300 列方程 交叉相乘 300x=1500 解得 x=5答：在圖上寬應該畫5厘米2 比例的意義和性質 （1） 比例的意義 - 表示兩個比相等的式子叫做比例。 - 組成比例的四個數，叫做比例的項。 - 兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。 （2）比例的性質 - 在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。這叫做比例的基本性質。 （3）解比例 - 根據比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。 3 正比例和反比例 （1） 成正比例的量 - 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。 - 用字母表示=k(一定） （2）成反比例的量 - 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。 - 用字母表示x×y=k(一定) 4.按比例分配 - 在農業(yè)生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。 - 方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數的幾分之幾是多少。 1比和比例的區(qū)別 比 比 例意義兩個數的比表示兩個數相除（有兩項）表示兩個比相等的式子（有四項）各部分名稱a : b = （b0）前項 比號 后項 比值a : b = c : d 內項 外項組成比有兩個數組成，后項不能為0.一般包含兩種情況：1表示兩個同類量的關系2兩個不同類量的比產生新的量比例由四個數組成，四個數都不能為基本性質比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積 2求比值和化簡比的區(qū)別 意 義 一般方法 結 果求比值比的前項除以后項所得的商用比的前項除以后項一個整數或小數或分數化簡比把兩個數的比化成最簡單的整數比把比的前項和后項同時乘以或除以相同的（不為0的）數一個最簡單的整數比3比 分數和除法三者的關系 對應部分名稱結果區(qū) 別 相互關系 比前項比號（：）后項（0）比值表示兩個數的關系比 分數 百分數和除法可以互相轉化，它們四者的性質內涵相同分 數 分子分數線（）分母（0）分數值是一個數除 法被除數除號（÷）除數（0）商是一種運算4正比例與反比例 意 義 不同點相同點正比例由兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個量（X,Y）的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系相對應的兩個量的比值（商）一定=k(一定）由兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化反比例由兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個量（X,Y）的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系相對應的兩個量的積一定x×y=k(一定)求比例的習題解比例方程 1（x-8):6=5:4 2 分析：1 （x-8）與4是外項，6與5是內項，根據比例的性質，內項之積等于外項之積，列出式子：；2 將分數方程改寫成比例形式（要記得除法就是分數就是比例，即），再根據比例的性質，內項之積等于外項之積，列出式子：。最后解出方程解： 1 （x-8):6=5:4 2 4-32=30 2x0.75=1.5(3-10) 4=32+30=62 1.5=4.5-15 =15.5 3=15 =5最后一步：要將求出的未知數代入原方程驗算例如3 甲乙速度比是3：5，乙丙速度比是4：7，求甲：乙：丙分析：知道甲乙之比和乙丙之比，因為只有乙是中間方，故只能以乙作為標準，將乙的兩個數字5和4 ，求出它們的最小公倍數20.再將甲乙速度比3：5化成乙為20的比例，即將3：5的前后項同時乘以4得到12：20；同樣將4：7的前后項同時乘以5得到20:35；這樣就得到甲：乙：丙=12：20：35解答：3：5=3x4:5x4=12:20 4:7=4x5:7x5=20:35甲：乙：丙=12：20：35 二 方法 （一）數的讀法和寫法 1. 整數的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數位連續(xù)有幾個0都只讀一個零。 2. 整數的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫0。 小數的讀法：讀小數的時候，整數部分按照整數的讀法讀，小數點讀作“點”，小數部分從左向右順次讀出每一位數位上的數字。 4. 小數的寫法：寫小數的時候，整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下角，小數部分順次寫出每一個數位上的數字。 5. 分數的讀法：讀分數時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數的讀法來讀。 6. 分數的寫法：先寫分數線，再寫分母，最后寫分子，按照整數的寫法來寫。 7. 百分數的讀法：讀百分數時，先讀百分之，再讀百分號前面的數，讀數時按照整數的讀法來讀。 8. 百分數的寫法：百分數通常不寫成分數形式，而是把分數化成小數，乘以100后，再在其后面加上百分號“%”來表示。 （二）數的改寫一個較大的多位數，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數。有時還可以根據需要，省略這個數某一位后面的數，寫成近似數。 1. 準確數：在實際生活中，為了計數的簡便，可以把一個較大的數改寫成以萬或億為單位的數。改寫后的數是原數的準確數。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數 12.543 億。 近似數：根據實際需要，我們還可以把一個較大的數，省略某一位后面的尾數，用一個近似數來表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數是 13 億。3四舍五入法：要省略的尾數的最高位上的數是4 或者比4小，就把尾數去掉；如果尾數的最高位上的數是5或者比5大，就把尾數舍去，并向它的前一位進1。例如：省略 345900 萬后面的尾數約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數約是 4億。 4. 大小比較 1. 比較整數大小：比較整數的大小，位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最高位，最高位上的數大，那個數就大；最高位上的數相同，就看下一位，哪一位上的數大那個數就大。 2. 比較小數的大?。合瓤此鼈兊恼麛挡糠郑麛挡糠执蟮哪莻€數就大；整數部分相同的，十分位上的數大的那個數就大；十分位上的數也相同的，百分位上的數大的那個數就大 3. 比較分數的大小:分母相同的分數，分子大的分數比較大；分子相同的數，分母小的分數大。分數的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數的大小。 例子：在（）里面填上一個合適的數字，使不等式成立 1)45.21>4().21 2)0.0()噸>3.5千克 3）-5<-() 分析：1）先看整數部分，不等式左右兩邊十位上均是4，一樣大；接著看個位數字，左邊是5，右邊是要求的數字，要使左邊大于右邊，由于十位上數字一致，只需要左邊個位數字大于右邊個位數字。換句話來說，就是只要右邊個位數字小于5的數字均可以，當然最合適的數字是4.最后在刮號中天上4即可。45.21>4(4).21 2）因為不等式兩邊單位不一致，所以先化單位。左邊是要求的，故只能將右邊的千克化為噸。小單位化為大單位，要除以進率1000，（1噸=1000千克），3.5千克=0.0035噸。原式改為0.0()噸>0.0035噸。不等式左右兩邊整數部分均為0，相同的數字；接著看十分位，均為0；再看百分位，左邊是要求的，右邊為0，要使左邊大于右邊，只要左邊百分位大于右邊百分位的數字0即可，故最佳答案應填1 。0.0(1)噸>3.5千克 3）畫出數軸，由數軸可知右邊的數總比左邊的數大?？芍?5稍大的是-4，故刮號中填入4。-5<-(4) （三）數的互化 1. 小數化成分數：原來有幾位小數，就在1的后面寫幾個零作分母，把原來的小數去掉小數點作分子，能約分的要約分。 2. 分數化成小數：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數，有的不能除盡，不能化成有限小數的，一般保留三位小數。 3. 一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有2和5 以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數 4. 小數化成百分數：只要把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號5. 百分數化成小數：把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。 6. 分數化成百分數：通常先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。 （四）數的整除1. 把一個合數分解質因數，通常用短除法。先用能整除這個合數的質數去除，一直除到商是質數為止，再把除數和商寫成連乘的形式。 2. 求幾個數的最大公約數的方法是：先用這幾個數的公約數連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數1為止，然后把所有的除數連乘求積，這個積就是這幾個數的的最大公約數 。 3. 求幾個數的最小公倍數的方法是：先用這幾個數（或其中的部分數）的公約數去除，一直除到互質（或兩兩互質）為止，然后把所有的除數和商連乘求積，這個積就是這幾個數的最小公倍數4. 成為互質關系的兩個數：1和任何自然數互質 ； 相鄰的兩個自然數互質； 當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質； 兩個合數的公約數只有1時，這兩個合數互質。 （五）約分和通分1.約分的方法：用分子和分母的公約數（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數為止。 2.通分的方法：先求出原來的幾個分數分母的最小公倍數，然后把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。 常記的分數化為小數：例如：一個3位數，個位與百位上的數字之和是4，積是3，3個數字之和是6，多少？分析：由個位與百位上的數字之和是4，則個位與百位上的數字只能是1與3，或2與2；由個位與百位上的數字之積是3，則個位與百位上的數字只能是1與3，綜合上述分析，從而確定個位與百位上的數字只能是1與3。由3個數字之和是6，確定十位上的數字只能是2，從而判斷這個三位數可能是123或者321.那么這個數擴大到原來的1000倍是12300或者32100三 性質和規(guī)律 （一）商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)律：在除法里，被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。 如： （m不等于0） （二）小數的性質 小數的性質：在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。 小數中間的0不能去掉，去掉小數中間的0 會改變小數的大小如：3.567=3.56700 3.87000=3.87（三）小數點位置的移動引起小數大小的變化 1. 小數點向右移動一位，原來的數就擴大10倍；小數點向右移動兩位，原來的數就擴大100倍；小數點向右移動三位，原來的數就擴大1000倍 如3.786，變?yōu)?7.86，小數點向右移動一位，原來的數就擴大10倍2. 小數點向左移動一位，原來的數就縮小10倍；小數點向左移動兩位，原來的數就縮小100倍；小數點向左移動三位，原來的數就縮小1000倍 如3.786，小數點向左移動兩位，變?yōu)?.03786,原來的數就縮小100倍注意：小數點向左移或者向右移位數不夠時，要用“0"補足位。（四）分數的基本性質 分數的基本性質：分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數（零除外），分數的大小不變。如（m不等于0）（五）分數與除法的關系 1.被除數÷除數= 被除數/除數 即 2. 因為零不能作除數，所以分數的分母不能為零。 3. 被除數 相當于分子，除數相當于分母。 四 運算的意義 （一）整數四則運算 1整數加法：把兩個數合并成一個數的運算叫做加法。在加法里，相加的數叫做加數，加得的數叫做和。加數是部分數，和是總數。加數+加數=和 a+b=c 一個加數=和另一個加數 c-a=b2整數減法：已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。 在減法里，已知的和叫做被減數，已知的加數叫做減數，未知的加數叫做差。被減數是總數，減數和差分別是部分數。 加法和減法互為逆運算。 被減數減數差 a-b=c 被減數差減數 a-c=b 差減數被減數c+b=a3整數乘法：求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。 在乘法里，相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做積。 在乘法里，0和任何數相乘都得0. 1和任何數相乘都的任何數。 一個因數× 一個因數 =積 一個因數=積÷另一個因數 因數×因數積 ab=c 積÷一個因數另一個因數 c÷a=b4 整數除法：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。 在除法里，已知的積叫做被除數，已知的一個因數叫做除數，所求的因數叫做商。 乘法和除法互為逆運算。 在除法里，0不能做除數。因為0和任何數相乘都得0，所以任何一個數除以0，均得不到一個確定的商。 被除數÷除數=商 除數=被除數÷商 被除數=商×除數 被除數÷除數商。余數 被除數÷商除數 商×除數+余數被除數 a÷b=c.d a÷c=b bc+d=a加減法法則 同單位加減，單位不變，單位的個數相加減 整 數 小 數 分 數1.相同數位對其2.從個位算起3.加法中滿幾十就向前一位進幾；減法中不夠減時，就從前一位退一當101.小數點對齊2.按整數加減法進行計算3.得數中的小數點和相加減的數里的小數點對齊1.同分母分數相加減，分母不變，分子相加減2.異分母分數相加減，先通分，再計算3.結果能約分的要化成最簡分數乘法 整 數 小 數 分 數1.從個位乘起，依次用第二個因數每位上的數去乘第一個因數2.用第二個因數哪一位上的數去乘，得數的末位就和哪一位對齊3.最后把幾次乘得的數加起來1.按整數乘法的法則求出積2.看因數中共有幾位小數，就從積的最右邊數出幾位，然后點上 小數點，位數不夠時用0補上1.分數乘分數，用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母2.有整數的把整數看作是分母為1的假分數3結果能約分的要化成最簡單分數 除 法 整 數 小 數 分 數1.從被除數的高位起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位，如果不夠除，就要多看一位。除到哪一位就要把商寫在那一位的上面除數是整數的小數除法：先按整數除法法則進行計算，再把商的小數點和被除數的小數點對齊；除數是小數的小數除法：先轉化成除數是整數的小數除法，在按照除數是整數的小數除法計算甲數除以乙數（不為0），等于甲數乘以乙數的倒數總法則：1.無刮號時優(yōu)先級高的先算（大于+-）2.同級運算從左至右依次運算3.有刮號的先算刮號里面的（二）小數四則運算 1. 小數加法：小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運算。 2. 小數減法：小數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算. 3. 小數乘法：小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算；一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾是多少。小數除法：小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算5乘方 求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 = ，3x3x3=（三）分數四則運算 1分數加法：分數加法同整數加法的意義相同，是把兩個數合并成一個數的運算。 2. 分數減法：分數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。 3.分數乘法：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。 4. 乘積是1的兩個數叫做互為倒數。 5. 分數除法：分數除法的意義與整數除法的意義相同。就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。 （四）運算定律 運算定律適用于所有的整數，小數，分數，百分數運算1. 加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，即a+b=b+a 。 2. 加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把后兩個數相加，再和第一個數相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c) 。3. 乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置它們的積不變，即a×b=b×a。 4. 乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘以第三個數；或者先把后兩個數相乘，再和第一個數相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c) 5. 乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘再把兩個積相加，即(a±b)×c=a×c±b×c 。 6. 減法的性質：從一個數里連續(xù)減去幾個數，可以從這個數里減去所有減數的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c) 。 （五）運算法則 1. 整數加法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，就向前一位進一。 2. 整數減法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數合并在一起，再減。 3. 整數乘法法則：先用一個因數每一位上的數分別去乘另一個因數各個數位上的數，用因數哪一位上的數去乘，乘得的數的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數加起來。 4. 整數除法計算法則：先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數要小于除數。 5. 小數乘法法則：先按照整數乘法的計算法則算出積，再看因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點；如果位數不夠，就用“0”補足。 6. 除數是整數的小數除法計算法：先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有余數，就在余數后面添“0”，再繼續(xù)除。 7. 除數是小數的除法計算法則：先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點也向右移動幾位（位數不夠的補“0”），然后按照除數是整數的除法法則進行計算。 8. 同分母分數加減法計算方法:同分母分數相加減，只把分子相加減，分母不變。 9. 異分母分數加減法計算:先通分，然后按照同分母分數加減法的的法則進行計算。 10. 帶分數加減法的計算:整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的數合并起來。 11. 分數乘法的計算法則:分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變；分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 12. 分數除法的計算法則:甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。 （六） 運算順序 1. 小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。 2. 和差積商的變化規(guī)律：*和的變化規(guī)律1）如果一個數增加或減少一個數，另一個加數不變，那么他們的和也增加或減少同一個數用字母表示是：如果a+b=c ，則(a+d)+b=c+d; (a-d)+b=c-d2）如果一個數增加一個數，另一個加數減