《組合數(shù)學(xué)》工學(xué)研究生

西安電子科技大學(xué)研究生課程考試試題考試科目： 組 合 數(shù) 學(xué) 考試日期： 考試時間： 120 分考試方式： 閉卷 任課教師： 學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 注意，請先閱讀完題目后面的要求后再答題。一、 （10分）請計算多項(xiàng)式的展開式中和兩項(xiàng)的系數(shù)。二、 （10分）滿足不定方程62的整數(shù)解共有多少組？其中要求，。三、 （10分）一位學(xué)者要在一周內(nèi)安排38個小時的工作時間，而且每天至少工作5小時，最多工作10個小時。問共有多少種不同的安排方案？假設(shè)一周有5個工作日。四、 （10分）把4個顏色不同的糖果分給甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果數(shù)最多分別為3、3、4顆。那么，有多少種不同的分法？。五、 （10分）求遞推關(guān)系的通解。六、 （10分）某人有99根相同的鉛筆，他每天送給某個小朋友一根或兩根，那么他可以有多少種方式把這99根鉛筆送完？七、 （10分）某班的學(xué)習(xí)委員給大家發(fā)英語作業(yè)本，不小心發(fā)亂了。（1）結(jié)果沒有一個同學(xué)同時拿到了自己的作業(yè)本。問出現(xiàn)這種分發(fā)結(jié)果的可能性有多少種？（2）若至少有兩人拿到了自己的作業(yè)本，問出現(xiàn)這種分發(fā)結(jié)果的可能性又是多少？八、 （10分）某班同學(xué)選修外語課，可選的外語語種有英語、法語和德語。其中有14人選學(xué)英語，12人選學(xué)法語，6人同時選法語和英語，5人選學(xué)德語和英語，還有2人同時選了這三種外語，而6個選德語的同學(xué)每人包括德語在內(nèi)都至少選了兩種外語。問該班至少有多少名學(xué)生？九、 （10分）在一個邊長為n的正方形中至少選取多少個點(diǎn)，才能保證在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的各個三角形中，至少有一個三角形的面積不大于二分之一？并證明你的結(jié)論。十、 用紅色和藍(lán)色兩種顏色對一個正六面體的八個頂點(diǎn)進(jìn)行染色，使其中有3個頂點(diǎn)染紅色，其余5個頂點(diǎn)染藍(lán)色，且六面體可以做任何能使得圖形重合的剛體運(yùn)動，求不等價的染色方案數(shù)。其中正六面體的8個頂點(diǎn)的置換群Q的輪換指標(biāo)為。要求：（1） 請在試題和試卷上寫上學(xué)號和姓名；（2） 請給出每一個問題的具體解答過程；（3） 考試時允許攜帶計算器；（4） 所有的答案都要按順序?qū)懺谠嚲砩希唬?） 請按題目的順序書寫答案；（6） 請將試題夾在自己的試卷中一并交回；（7） 對于計算題，當(dāng)計算結(jié)果較大時，不要求計算出具體的數(shù)字，只要給出答案的表達(dá)式即可，如答案為15或20!3×8!等。一、 （10分）請計算多項(xiàng)式的展開式中和兩項(xiàng)的系數(shù)。 22680 5分 22680 5分二、 （10分）滿足不定方程62的整數(shù)解共有多少組？其中要求，。 做變換3, 5, , 2分 原方程化為60 2分 問題等價于從4種相異元素中可重復(fù)地選60個元素的組合問題 3分 答案為 2分 結(jié)果為39711 1分三、 （10分）一位學(xué)者要在一周內(nèi)安排38個小時的工作時間，而且每天至少工作5小時，最多工作10個小時。問共有多少種不同的安排方案？假設(shè)一周有5個工作日。 分析問題，寫相應(yīng)的（普）母函數(shù) 4分 母函數(shù)展開得 5676 4分(12x3456)（系數(shù)對稱）(13x61015212527)(14x1020355680104125140146)(14x1020355680104125140146) (15x1535707805)51535707805 答：共有780種選法 2分四、 （10分）把4個顏色不同的糖果分給甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果數(shù)最多分別為3、3、4顆。那么，有多少種不同的分法？方法I：用母函數(shù) 分析問題，寫相應(yīng)的（指）母函數(shù) 4分 母函數(shù)展開13794200 4分 答：共有79種分法 2分方法II：用排列 每個小朋友無上限，有=81種分法 4分 不符合要求的分法有甲或乙獨(dú)分4顆2種情況 4分 所有有81-2=79種分法 2分五、 （10分）求遞推關(guān)系的通解。 特征方程0 3分 特征根 q1，1，1，1 3分 通解 3分 其中A、B、C、D為任意常數(shù) 1分六、 （10分）某人有99根相同的鉛筆，他每天送給某個小朋友一根或兩根，那么他可以有多少種方式把這99根鉛筆送完？ 設(shè)送完n根鉛筆的不同方式共有種，分析問題 3分分兩種可能的情況：（1）第1天送1根，此類方式共有種；（2）第1天送2根，此類方式共有種。 建立遞推關(guān)系 3分 解得 2分 答： 2分七、 （10分）某班的學(xué)習(xí)委員給大家發(fā)英語作業(yè)本，不小心發(fā)亂了。（1）結(jié)果沒有一個同學(xué)同時拿到了自己的作業(yè)本。問出現(xiàn)這種分發(fā)結(jié)果的可能性有多少種？（2）若至少有兩人拿到了自己的作業(yè)本，問出現(xiàn)這種分發(fā)結(jié)果的可能性又是多少？第（1）問： 分析問題，設(shè)全集S和子集（i1,2, ,n） 2分設(shè)全部分配方案組成集合S，第i個人拿到自己作業(yè)本的所有分配方案構(gòu)成集合。 計算 n!，(nk)! 2分 由逐步淘汰原理計算結(jié)果 2分或進(jìn)一步Ln!（錯排數(shù)）第（2）問： 設(shè)，計算（與第（1）步相同） 2分 計算結(jié)果 2分n!n!n!n(n1)! 或進(jìn)一步n!2n!n!n!八、 （10分）某班同學(xué)選修外語課，可選的外語語種有英語、法語和德語。其中有14人選學(xué)英語，12人選學(xué)法語，6人同時選法語和英語，5人選學(xué)德語和英語，還有2人同時選了這三種外語，而6個選德語的同學(xué)每人包括德語在內(nèi)都至少選了兩種外語。問該班至少有多少名學(xué)生？ 方法I 設(shè)集合A、B、C和S，確定已知條件 3分設(shè)集合A、B、C分別為選英語、法語和德語的學(xué)生，SABC，則14，12，6，6，5，2，0 畫圖描述（見圖（a），或推導(dǎo)3 4分 計算結(jié)果 3分(14126)(653)220 （a） （b）方法II 設(shè)集合A、B、C和S，確定已知條件 3分設(shè)集合A、B、C分別為選英語、法語和德語的學(xué)生，SABC，則14，12，6，6，5，2， 0 畫圖，推導(dǎo)出圖（b）中的每一部分 4分624，523，（）6321，14(423)5，12(421)5 計算 3分550431220九、 （10分）在一個邊長為n的正方形中至少選取多少個點(diǎn)，才能保證在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的各個三角形中，至少有一個三角形的面積不大于二分之一？并證明你的結(jié)論。 答：需要21個點(diǎn) 4分 證明 6分將原正方形等分為大小相等的邊長為1的小正方形，由抽屜原理，至少存在一個小正方形，其內(nèi)部有3個點(diǎn)，那么此3點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積不超過小正方形的面積的二分之一，即其面積12。十、 （10分），用紅色和藍(lán)色兩種顏色對一個正六面體的八個頂點(diǎn)進(jìn)行染色，使其中有3個頂點(diǎn)染紅色，其余5個頂點(diǎn)染藍(lán)色，且六面體可以做任何能使得圖形重合的剛體運(yùn)動，求不等價的染色方案數(shù)。其中正六面體的8個頂點(diǎn)的置換群Q的輪換指標(biāo)為。 令，代入 4分 整理得 4分 答案：L3 2分