《保險精算學》筆記：多元生命函數(shù)

編號：時間：2021年x月x日書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟頁碼：第10頁 共10頁保險精算學筆記：多元生命函數(shù)第一節(jié)  多元生命函數(shù)簡介一、多元生命函數(shù)的定義：涉及多個生命剩余壽命的函數(shù)。二、多元生命函數(shù)的作用養(yǎng)老金給付場合n          合伙人聯(lián)保場合n遺產(chǎn)稅的計算場合三、多元剩余壽命的聯(lián)合分布1、  聯(lián)合密度函數(shù)2、  聯(lián)合分布函數(shù)3、  聯(lián)合生存函數(shù)4、  邊際生存函數(shù)第二節(jié)  多元生命狀況    一、連生狀況1、  連生狀況定義（1）定義：當所有成員都活著時的狀況，稱為連生狀況。當有一個成員死亡時，連生狀況就結(jié)束了。簡記連生狀況為： （2）連生狀況剩余壽命的定義：（3）連生狀況剩余壽命的性質(zhì)：連生狀況的剩余壽命的實質(zhì)上就是 個生命的最小次序統(tǒng)計量2、  兩個體連生狀況的生命函數(shù)（1）分布函數(shù)（2）生存函數(shù)特別：兩個體剩余壽命獨立場合（3）密度函數(shù)特別：兩個體剩余壽命獨立場合（4）死亡效力函數(shù)特別：兩個體剩余壽命獨立場合（5）兩個體至少有一個在第 年內(nèi)死亡的概率（6）連生狀況整值剩余壽命為 的概率（7）剩余壽命的期望二、最后生存狀況1、  最后生存狀況的定義（1）定義：只要至少有一個成員活著時的狀況，稱為最后生存狀況。當所有的成員都死亡時，最后生存狀況就結(jié)束了。簡記最后生存狀況為： （2）最后生存狀況剩余壽命的定義：（3）最后生存狀況剩余壽命的性質(zhì)：最后生存狀況的剩余壽命的實質(zhì)上就是 個生命的最大次序統(tǒng)計量2、  多生命狀況剩余壽命的關系（1） （2） （3） （4） 3、兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)（1）分布函數(shù)等價公式（2）生存函數(shù)等價公式（3）密度函數(shù)等價公式（4）死亡效力函數(shù)（5）最后生存狀況整值剩余壽命為 的概率等價公式（6）剩余壽命期望4、聯(lián)合生命狀態(tài)剩余壽命協(xié)方差分析第三節(jié)        聯(lián)合生命模型一、 簡介聯(lián)合生命模型分為兩類：Common Shock 模型和Copulas模型。Common Shock 模型假定個體之間的剩余壽命隨機變量相互獨立的模型。這種模型假定有時與現(xiàn)實情況不符，但易于分析。Copulas模型假定個體之間的剩余壽命隨機變量不獨立的模型。這種模型假定更符合實際情況，但不易于分析。我們主要研究簡單的Common Shock 模型。二、 Common Shock 模型1、定義：如果有 滿足且有一個Common Shock 隨機變量 ，它獨立于 ，且服從指數(shù)生存函數(shù)令則2、聯(lián)合生命狀況分析記則（1）邊際生存函數(shù)為（2）連生狀況剩余壽命生存函數(shù)為（3）最后生存狀況剩余壽命生存函數(shù)為特別， 獨立時，等價于 。第四節(jié)  人壽保險與生存年金一、聯(lián)合生命狀況躉繳純保費的確定1、  躉繳純保費的確定原理2、  聯(lián)合多生命狀況躉繳純保費的確定（1）       連生狀況（2）       最后生存狀況二、聯(lián)合生命狀況生存年金的確定1、  生存年金確定原理2、  聯(lián)合生命狀況生存年金的確定（1）連生狀況（2）最后生存狀況三、 連生狀況合最后死亡狀況的關系四、 繼承年金1、  繼承年金的定義：在聯(lián)合生命狀態(tài)中，只有在其中一個生命（v）死亡之后，另一個生命（u）才能開始獲得年金。這種年金叫做繼承年金，簡記為 。2、  終身繼承年金3、  定期繼承年金第五節(jié)  在特殊死亡律假定下求值一、Gomperz 和Makeham假定1、  Gomperz假定下尋找能替代連生狀態(tài)的單個生命狀態(tài) ，即已知在Gomperz假定下有 ，則在兩生命獨立假定下有由這個等式可求出 ，于是 2、  Makeham假定下由于Makeham假定的死亡效力函數(shù)含有常數(shù)項，所以無法用單個生命狀態(tài)替換連生狀態(tài)，但是可以考慮用兩個同年齡的連生狀態(tài) 作替換，即已知在Makeham假定下有 ，則在兩生命獨立假定下有由這個等式可求出 ，于是 二、均勻分布假定    在均勻分布假定下，躉繳純保費和生存年金具有單生命狀態(tài)下近似的性質(zhì)第 10 頁 共 10 頁