全國初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)（初1）第01講 有理數(shù)的巧算

第一講 有理數(shù)的巧算有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎(chǔ)它要求同學們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性1括號的使用 在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡單例1 計算：分析 中學數(shù)學中，由于負數(shù)的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質(zhì)符號因此進行有理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化注意 在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分數(shù)，把帶分數(shù)變成假分數(shù)，這樣便于計算例2 計算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445分析 直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結(jié)合起來計算解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧例3 計算：S=1-2+3-4+(-1)n+1·n分析 不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為“1”或為“-1”如果按照將第一、第二項，第三、第四項，分別配對的方式計算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號”的習慣，而取“添括號”之法解 S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1·n下面需對n的奇偶性進行討論：當n為偶數(shù)時，上式是n2個(-1)的和，所以有當n為奇數(shù)時，上式是(n-1)2個(-1)的和，再加上最后一項(-1)n+1·n=n，所以有例4 在數(shù)1，2，3，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？分析與解 因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有1998÷2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這啟發(fā)我們將1，2，3，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非負數(shù)是1說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化2用字母表示數(shù)我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)?(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我們得到了一個重要的計算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， 這個公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個公式計算時，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計算例5 計算 3001×2999的值解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例6 計算 103×97×10 009的值解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919例7 計算：分析與解 直接計算繁仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)應(yīng)用平方差公式化簡得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690例8 計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析 式子中2，22，24，每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1例9 計算：分析 在前面的例題中，應(yīng)用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2這個公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)本題就是一個例子通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化例10 計算：我們用一個字母表示它以簡化計算 3觀察算式找規(guī)律例11 某班20名學生的數(shù)學期末考試成績?nèi)缦拢堄嬎闼麄兊目偡峙c平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解 若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95例12 計算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+1997+1999 再將S各項倒過來寫為 S=1999+1997+1995+3+1 將，兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個2000) =2000×500從而有 S=500 000說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決例13 計算 1+5+52+53+599+5100的值分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算解 設(shè)S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得 4S=5101-1，說明 如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決例14 計算：分析 一般情況下，分數(shù)計算是先通分本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關(guān)系式來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法 解 由于所以說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用練習一1計算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636； (6)1+4+7+244； 2某小組20名同學的數(shù)學測驗成績?nèi)缦?，試計算他們的平均?1，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85