2015高考數學理科全國一卷及詳解答案

理科數學注意事項：1.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。第卷1至3頁，第卷3至5頁。2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置。3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。 4.考試結束后，將本試題和答題卡一并交回。第卷一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）設復數z滿足=i，則|z|=（A）1 （B） （C） （D）2（2）sin20cos10-con160sin10= （A） （B） （C） （D）（3）設命題P：nN，>，則P為 （A）nN, > （B） nN, （C）nN, （D） nN, =（4）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.312（5）已知是雙曲線上的一點，是上的兩個焦點，若，則的取值范圍是（A）（-，）（B）（-，）（C）（，） （D）（，）（6）九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛（7）設D為ABC所在平面內一點，則（A） (B) （C） (D) （8）函數的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區(qū)間為(A) (B) (C) (D) （9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10） 的展開式中，的系數為（A）10 （B）20 （C）30（D）60（11） 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20，則=（A）1（B）2（C）4（D）812. 設函數,其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答。第（22）題第（24）題未選考題，考生根據要求作答。二、填空題：本大題共3小題，每小題5分（13）若函數為偶函數，則 （14）一個圓經過橢圓的三個頂點，且圓心在軸上，則該圓的標準方程為 。（15）若滿足約束條件則的最大值為 .（16）在平面四邊形中，A=B=C=75，BC=2，則AB的取值范圍是 三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）為數列的前項和.已知，（）求的通項公式：（）設 ,求數列的前項和。（18）如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）證明：平面AEC平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值（19）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值。46.65636.8289.81.61469108.8表中，（）根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（）根據（）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；（）已知這種產品的年利率z與x、y的關系為。根據（）的結果回答下列問題：（i） 年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：（20）（本小題滿分12分）在直角坐標系中，曲線與直線交與兩點，（）當時，分別求C在點M和N處的切線方程；（）軸上是否存在點P，使得當變動時，總有OPM=OPN？說明理由。（21）（本小題滿分12分）已知函數()當a為何值時，x軸為曲線 的切線；（）用 表示m,n中的最小值，設函數 ，討論h（x）零點的個數請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。（22）（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，是的直徑，是的切線，交于（I） 若D為AC的中點，證明：DE是的切線；（II） 若，求ACB的大小.（23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中。直線:，圓：,以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系。（I） 求，的極坐標方程；（II） 若直線的極坐標方程為，設與的交點為, ,求的面積（24）（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知函數.（）當時，求不等式的解集；（）若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍參考答案一選擇題（1）A（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）D二填空題（13）1（14）（15）3（16）三解答題（17）解：（）由，可知可得，即由于，可得又，解得（舍去），所以是首項為3，公差為2的等差數列，通項公式為6分（）由可知設數列的前項和為，則12分（18）解：（）連結BD，設，連結在菱形中，不妨設，由，可得由平面，可知，又，所以，且在中，可得，故在中，可得，在直角梯形中，由，可得從而，所以又，可得平面因為平面，所以平面平面6分（）如圖，以G為坐標原點，分別以的方向為軸，軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，由（）可得，所以10分故所以直線與直線所成角的余弦值為12分（19）解：（）由散點圖可以判斷，適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型2分（）令，先建立關于的線性回歸方程，由于所以關于的線性回歸方程為，因此關于的線性回歸方程6分（）（）由（）知，當時，年銷售量的預報值年利潤的預報值9分（）根據（）的結果知，年利潤的預報值所以，當，即時，取得最大值，故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大12分（20）解：（）由題設可得，或又，故在處的導數值為，在點處的切線方程為，即在處的導數值為，在點處的切線方程為，即故所求切線方程為和5分（）存在符合題意的點，證明如下：設為符合題意的點，直線的斜率分別為將代入的方程得故從而當時，有，則直線PM的傾角與直線PN的傾角互補，故，所以點符合題意12分（21）解：（）設曲線與軸相切于點，則，即解得因此，當時，軸為曲線的切線5分（）當時，從而，故在無零點當時，若，則，故是的零點；若，則，故不是的零點。當時，。所以只需考慮在的零點個數。（）若或，則在（0，1）無零點，故在（0，1）單調，而，所以，當時，在（0，1）有一個零點；當時，在（0，1）沒有零點。（）若，則在單調遞減，在單調遞增，故在（0，1）中，當時，取得最小值，最小值為。，即，在（0，1）無零點；，即，則在（0，1）有唯一零點；，即，由于，所以當時，在（0，1）有兩個零點；當時，在（0，1）有一個零點10分綜上，當或時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點12分（22）解：（）連結，由已知得，在中，由已知得，故連結，則又，所以，故，是的切線5分（）設，由已知得由射影定理可得，所以，即可得，所以10分（23）解：（）因為，所以的極坐標方程為，的極坐標方程為5分（）將代入，得，解得，故，即由于的半徑為1，所以的面積為10分（24）解：（）當時，化為當時，不等式化為，無解；當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，解得所以的解集為5分（）由題設可得，所以函數的圖像與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，的面積為由題設得，故所以的取值范圍為10分