《保險精算學》筆記：生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造

編號：時間：2021年x月x日書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟頁碼：第7頁 共7頁保險精算學筆記：生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造第一節(jié) 生命表函數(shù)一、生存函數(shù)1、  定義： 2、  概率意義：新生兒能活到 的概率3、  與分布函數(shù)的關(guān)系： 4、  與密度函數(shù)的關(guān)系： 二、剩余壽命1、定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記 ），還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。2、剩余壽命的分布函數(shù)5、  ： ，它的概率意義為： 將在未來的 年內(nèi)去世的概率，簡記 3、剩余壽命的生存函數(shù)： ，它的概率意義為： 能活過 歲的概率，簡記 特別：（1） （2） （3） （4） ： 將在 歲與 歲之間去世的概率4、  整值剩余壽命（1）定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡記 （2）概率函數(shù)：5、剩余壽命的期望與方差（1）期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值（均值），簡記 （2）剩余壽命的方差：6、整值剩余壽命的期望與方差（1）期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值（均值），簡記 （2）整值剩余壽命的方差：2三、死亡效力1、定義： 的人瞬時死亡率，記作 2、死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系3、死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系4、死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)記 為剩余壽命 的分布函數(shù)， 為 的密度函數(shù)，則第二節(jié) 生命表的構(gòu)造一、有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源        1、參數(shù)模型的缺點         （1）至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。（2）使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差（3）壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。（4）在非壽險領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。2、生命表的起源          （1）生命表的定義根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表.（2）生命表的發(fā)展歷史1662年,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。1693年，Edmund Halley,根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。（3）生命表的特點構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）    三、生命表的構(gòu)造1、原理在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率）2、常用符號（1）新生生命組個體數(shù)： （2）年齡： （3）極限年齡： （4） 個新生生命能生存到年齡 的期望個數(shù)： （5） 個新生生命中在年齡 與 之間死亡的期望個數(shù)： 特別，當 時，記作 （6） 個新生生命在年齡 與 區(qū)間共存活年數(shù)： （7） 個新生生命中能活到年齡 的個體的剩余壽命總數(shù)： 四、選擇與終極生命表1、選擇-終極生命構(gòu)造的原因（1）需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。（2）需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失2、選擇-終極生命表的使用第三節(jié) 有關(guān)分數(shù)年齡的假設(shè)一、使用背景生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數(shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分數(shù)年齡的生存分布假定， 估計分數(shù)年齡的生存狀況    二、基本原理插值法三、常用假定1、均勻分布（Uniform Distribution）假定:(線形插值)2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（幾何插值）3、Balducci假定（調(diào)和插值）四、三個假定下的生命表函數(shù)函數(shù)均勻分布假定恒定死亡效力假定Balducci假定第 7 頁 共 7 頁