概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案(1)

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案 習(xí)題 一 1 略 見教材習(xí)題參考答案 2 設(shè) A B C 為三個事件 試用 A B C 的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件 1 A 發(fā)生 B C 都不發(fā)生 2 A 與 B 發(fā)生 C 不發(fā)生 3 A B C 都發(fā)生 4 A B C 至少有一個發(fā)生 5 A B C 都不發(fā)生 6 A B C 不都發(fā)生 7 A B C 至多有 2 個發(fā)生 8 A B C 至少有 2 個發(fā)生 解 1 A 2 AB 3 ABC 4 A B C C B A BC A C AB ABC BABC 5 6 7 BC A C AB C A B 8 AB BC CA AB A C BC ABCB 3 略 見教材習(xí)題參考答案 4 設(shè) A B 為隨機(jī)事件 且 P A 0 7 P A B 0 3 求 P AB 解 P 1 P AB 1 P A P A B 1 0 7 0 3 0 6 5 設(shè) A B 是兩事件 且 P A 0 6 P B 0 7 求 1 在什么條件下 P AB 取到最大值 2 在什么條件下 P AB 取到最小值 解 1 當(dāng) AB A 時 P AB 取到最大值為 0 6 2 當(dāng) A B 時 P AB 取到最小值為 0 3 6 設(shè) A B C 為三事件 且 P A P B 1 4 P C 1 3 且 P AB P BC 0 P AC 1 12 求 A B C 至少有一事件發(fā)生的概率 2 解 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC 14324 7 從 52 張撲克牌中任意取出 13 張 問有 5 張黑桃 3 張紅心 3 張方塊 2 張梅花的概 率是多少 解 p 5321315C 8 對一個五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題 1 求五個人的生日都在星期日的概率 2 求五個人的生日都不在星期日的概 率 3 求五個人的生日不都在星期日的概率 解 1 設(shè) A1 五個人的生日都在星期日 基本事件總數(shù)為 75 有利事件僅 1 個 故 P A 1 5 亦可用獨立性求解 下同 57 2 設(shè) A2 五個人生日都不在星期日 有利事件數(shù)為 65 故 P A 2 56 3 設(shè) A3 五個人的生日不都在星期日 P A 3 1 P A1 1 57 9 略 見教材習(xí)題參考答案 10 一批產(chǎn)品共 N 件 其中 M 件正品 從中隨機(jī)地取出 n 件 n30 如圖陰影部分所示 23164P 22 從 0 1 中隨機(jī)地取兩個數(shù) 求 1 兩個數(shù)之和小于 的概率 65 2 兩個數(shù)之積小于 的概率 14 解 設(shè)兩數(shù)為 x y 則 0 x y 1 1 x y 65 11720 68p 2 xy 4 1241dln2xpy 23 設(shè) P 0 3 P B 0 4 P A 0 5 求 P B A A 解 6 0 7516 4 24 在一個盒中裝有 15 個乒乓球 其中有 9 個新球 在第一次比賽中任意取出 3 個球 比賽后放回原盒中 第二次比賽同樣任意取出 3 個球 求第二次取出的 3 個球均為新 球的概率 解 設(shè) Ai 第一次取出的 3 個球中有 i 個新球 i 0 1 2 3 B 第二次取出的 3 球均為新 球 由全概率公式 有 30 iiiPBAP 31232133696896796155515CCC 0 8 25 按以往概率論考試結(jié)果分析 努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有 90 的可能考試及格 不努力學(xué)習(xí)的 學(xué)生有 90 的可能考試不及格 據(jù)調(diào)查 學(xué)生中有 80 的人是努力學(xué)習(xí)的 試問 1 考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人 2 考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人 解 設(shè) A 被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的 則 被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的 由題意知A P A 0 8 P 0 2 又設(shè) B 被調(diào)查學(xué)生考試及格 由題意知 P B A 0 9 P 0 9 故由貝葉斯公式知B 1 PAB 0 210 2789 3 即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占 2 702 2 PAPABB 0 8140 372 9 即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占 30 77 26 將兩信息分別編碼為 A 和 B 傳遞出來 接收站收到時 A 被誤收作 B 的概率為 0 02 而 B 被誤收作 A 的概率為 0 01 信息 A 與 B 傳遞的頻繁程度為 2 1 若接收站收到的信 息是 A 試問原發(fā)信息是 A 的概率是多少 解 設(shè) A 原發(fā)信息是 A 則 原發(fā)信息是 B C 收到信息是 A 則 收到信息是 B 由貝葉斯公式 得 7 PACPAC 2 30 98 9421 27 在已有兩個球的箱子中再放一白球 然后任意取出一球 若發(fā)現(xiàn)這球為白球 試求箱 子中原有一白球的概率 箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑 白兩種 解 設(shè) Ai 箱中原有 i 個白球 i 0 1 2 由題設(shè)條件知 P A i i 0 1 2 又設(shè) B 抽13 出一球為白球 由貝葉斯公式知 11120 iiiBPAB 3 1 3 28 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中 96 是合格品 檢查產(chǎn)品時 一個合格品被誤認(rèn)為是次品的概率 為 0 02 一個次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為 0 05 求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品 確是合格品的概率 解 設(shè) A 產(chǎn)品確為合格品 B 產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品 由貝葉斯公式得 PABPAB 0 9680 984 5 29 某保險公司把被保險人分為三類 謹(jǐn)慎的 一般的 冒失的 統(tǒng)計資料表明 上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為 0 05 0 15 和 0 30 如果 謹(jǐn)慎的 被保險 人占 20 一般的 占 50 冒失的 占 30 現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故 則他是 謹(jǐn)慎的 的概率是多少 解 設(shè) A 該客戶是 謹(jǐn)慎的 B 該客戶是 一般的 C 該客戶是 冒失的 D 該客戶在一年內(nèi)出了事故 則由貝葉斯公式得 PPADBCP 0 250 57 1 3 30 加工某一零件需要經(jīng)過四道工序 設(shè)第一 二 三 四道工序的次品率分別為 0 02 0 03 0 05 0 03 假定各道工序是相互獨立的 求加工出來的零件的次品率 解 設(shè) Ai 第 i 道工序出次品 i 1 2 3 4 412341 iPAA 4 P 8 10 987 509 124 31 設(shè)每次射擊的命中率為 0 2 問至少必須進(jìn)行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的 概率不小于 0 9 解 設(shè)必須進(jìn)行 n 次獨立射擊 1 0 8 9n 即為 1 故 n 11 至少必須進(jìn)行 11 次獨立射擊 32 證明 若 P A B P A 則 A B 相互獨立 證 即 P 亦即 1 PABAB 因此 P 故 A 與 B 相互獨立 33 三人獨立地破譯一個密碼 他們能破譯的概率分別為 求將此密碼破譯出1534 的概率 解 設(shè) Ai 第 i 人能破譯 i 1 2 3 則31231231 iPAPA 40 65 34 甲 乙 丙三人獨立地向同一飛機(jī)射擊 設(shè)擊中的概率分別是 0 4 0 5 0 7 若只有一 人擊中 則飛機(jī)被擊落的概率為 0 2 若有兩人擊中 則飛機(jī)被擊落的概率為 0 6 若 三人都擊中 則飛機(jī)一定被擊落 求 飛機(jī)被擊落的概率 解 設(shè) A 飛機(jī)被擊落 Bi 恰有 i 人擊中飛機(jī) i 0 1 2 3 由全概率公式 得 30 iiiPP 0 4 0 5 0 3 0 6 0 5 0 3 0 6 0 5 0 7 0 2 0 4 0 5 0 3 0 4 0 5 0 7 0 6 0 5 0 7 0 6 0 4 0 5 0 7 0 458 35 已知某種疾病患者的痊愈率為 25 為試驗一種新藥是否有效 把它給 10 個病人服 用 且規(guī)定若 10 個病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效 反之則認(rèn)為無效 求 1 雖然新藥有效 且把治愈率提高到 35 但通過試驗被否定的概率 9 2 新藥完全無效 但通過試驗被認(rèn)為有效的概率 解 1 310110C 5 6 538kkkp 2 102104 7 24kkk 36 一架升降機(jī)開始時有 6 位乘客 并等可能地停于十層樓的每一層 試求下列事件的概率 1 A 某指定的一層有兩位乘客離開 2 B 沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開 3 C 恰有兩位乘客在同一層離開 4 D 至少有兩位乘客在同一層離開 解 由于每位乘客均可在 10 層樓中的任一層離開 故所有可能結(jié)果為 106 種 1 也可由 6 重貝努里模型 2469 10PA 24619 C 0PA 2 6 個人在十層中任意六層離開 故 610 B 3 由于沒有規(guī)定在哪一層離開 故可在十層中的任一層離開 有 種可能結(jié)果 再10C 從六人中選二人在該層離開 有 種離開方式 其余 4 人中不能再有兩人同時離開26C 的情況 因此可包含以下三種離開方式 4 人中有 3 個人在同一層離開 另一人 在其余 8 層中任一層離開 共有 種可能結(jié)果 4 人同時離開 有 種可1398 19 能結(jié)果 4 個人都不在同一層離開 有 種可能結(jié)果 故P123146069489 C 0P 4 D 故B610P 1 DB 37 n 個朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐 求下列事件的概率 1 甲 乙兩人坐在一起 且乙坐在甲的左邊的概率 2 甲 乙 丙三人坐在一起的概率 3 如果 n 個人并排坐在長桌的一邊 求上述事件的概率 10 解 1 1pn 2 23 3 3 121 3 nppn 38 將線段 0 a 任意折成三折 試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率 解 設(shè)這三段長分別為 x y a x y 則基本事件集為由 0 x a 0 y a 0 a x y正 正 甲 乙 甲 反 1 乙 反 甲 反 乙 反 由對稱性知 P 甲 正 乙 正 P 甲 反 乙 反 因此 P 甲 正 乙 正 12 46 證明 確定的原則 Sure thing 若 P A C P B C P A P B 則 P A P B 證 由 P A C P B C 得 即有 PACB 同理由 得 故 PACPABCPB 47 一列火車共有 n 節(jié)車廂 有 k k n 個旅客上火車并隨意地選擇車廂 求每一節(jié)車廂內(nèi)至 少有一個旅客的概率 解 設(shè) Ai 第 i 節(jié)車廂是空的 i 1 n 則121 1 nkkikij kiiPAPA 其中 i1 i2 in 1 是 1 2 n 中的任 n 1 個 顯然 n 節(jié)車廂全空的概率是零 于是 13 2112111221 11231 C C 0 nnnkki ni kijijn kniiiin niSPASPAPSS 1C C kknknn 故所求概率為 121 1 nkiinnPA 1 nk 48 設(shè)隨機(jī)試驗中 某一事件 A 出現(xiàn)的概率為 0 試證明 不論 0 如何小 只要不斷地 獨立地重復(fù)做此試驗 則 A 遲早會出現(xiàn)的概率為 1 證 在前 n 次試驗中 A 至少出現(xiàn)一次的概率為 1 1 n 49 袋中裝有 m 只正品硬幣 n 只次品硬幣 次品硬幣的兩面均印有國徽 在袋中任取一只 將它投擲 r 次 已知每次都得到國徽 試問這只硬幣是正品的概率是多少 解 設(shè) A 投擲硬幣 r 次都得到國徽 B 這只硬幣為正品 由題知 mnPB 1 12rAPB 則由貝葉斯公式知 APB 122rrrmnn A 50 巴拿赫 Banach 火柴盒問題 某數(shù)學(xué)家有甲 乙兩盒火柴 每盒有 N 根火柴 每次用 火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根 試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有 r 根的概率是多少 第一次用完一盒火柴時 不是發(fā)現(xiàn)空 而另一盒恰有 r 根的概率 又有多少 14 解 以 B1 B 2 記火柴取自不同兩盒的事件 則有 1 發(fā)現(xiàn)一盒已12 PB 空 另一盒恰剩 r 根 說明已取了 2n r 次 設(shè) n 次取自 B1 盒 已空 n r 次取自 B2 盒 第 2n r 1 次拿起 B1 發(fā)現(xiàn)已空 把取 2n r 次火柴視作 2n r 重貝努里試驗 則所求概率為 12 21C Cnrrnrp A 式中 2 反映 B1 與 B2 盒的對稱性 即也可以是 B2 盒先取空 2 前 2n r 1 次取火柴 有 n 1 次取自 B1 盒 n r 次取自 B2 盒 第 2n r 次取自 B1 盒 故概率為 1 12 21 rnrnr nrp 51 求 n 重貝努里試驗中 A 出現(xiàn)奇數(shù)次的概率 解 設(shè)在一次試驗中 A 出現(xiàn)的概率為 p 則由0120 CC1nnnnnqqqpq Cnnnnp 以上兩式相減得所求概率為 13nnpq 2 1n 若要求在 n 重貝努里試驗中 A 出現(xiàn)偶數(shù)次的概率 則只要將兩式相加 即得 2 npp 52 設(shè) A B 是任意兩個隨機(jī)事件 求 P B A B A 的值 B 解 因為 A B A B B A AB 所求 AB B 故所求值為 0 53 設(shè)兩兩相互獨立的三事件 A B 和 C 滿足條件 ABC P A P B P C 1 2 且 P A B C 9 16 求 P A 解 由 CBC 15 293 16PA 故 或 按題設(shè) P A 故 P A 1 4PA4 54 設(shè)兩個相互獨立的事件 A 和 B 都不發(fā)生的概率為 1 9 A 發(fā)生 B 不發(fā)生的概率與 B 發(fā)生 A 不發(fā)生的概率相等 求 P A 解 1 1 9 故 PABPAB 故 由 A B 的獨立性 及 式有 1 9 22 PA 1 故 13 故 或 舍去 2 PA4 即 P A 23 55 隨機(jī)地向半圓 0 y0 P A B 1 試比較 P A B 與 P A 的大小 2006 研考 解 因為 所以 PABPBA