陜西省西安市西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三下學(xué)期第七次模擬考試(理)數(shù)學(xué)試題-含解析

www.ks5u.com2017屆訓(xùn)練（七）數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,選C.2. 設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）A. B. C. -1 D. 1【答案】D【解析】,虛部為1,選D.3. 中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還。”其意思是“有一個人走378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達目的地。”請問第三天走了（ ）A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里【答案】B【解析】由題意得等比數(shù)列 ， ,求 4. 在某次聯(lián)考數(shù)學(xué)測試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布，若在內(nèi)的概率為0.8，則任意選取一名學(xué)生，該生成績不高于80的概率為（ ）A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2【答案】B【解析】 ,選B.5. 已知的最大值為，若存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 所以 ,選B.6. 在下列命題中，屬于真命題的是（ ）A. 直線都平行于平面，則B. 設(shè)是直二面角，若直線，則C. 若直線在平面內(nèi)的射影依次是一個點和一條直線，（且），則在內(nèi)或與平行D. 設(shè)是異面直線，若與平面平行，則與相交【答案】C【解析】直線都平行于平面，則可平行,可異面,可相交; 設(shè)是直二面角，若直線，則或 ; 直線在平面內(nèi)的射影是一個點,所以,又 ,所以在內(nèi)或與平行;是異面直線，若與平面平行，則與相交或 ,因此選C.7. 已知平面區(qū)域，現(xiàn)向該區(qū)域內(nèi)任意擲點，則該點落在曲線下方的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】概率是 ,選A.點睛：(1)當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域（3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率8. 若的展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和為1024，則該展開式中的常數(shù)項是（ ）A. -270 B. 270 C. -90 D. 90【答案】C【解析】在的展開式中,令,可得展開式的各項系數(shù)絕對值之和為,.故展開式的通項公式為令,求得,故展開式中常數(shù)項為.因此，本題正確答案是: .點睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).(3)各項系數(shù)和，各項系數(shù)絕對值的和，常用賦值法處理.9. 若分別是雙曲線的左右焦點，為坐標原點，點在雙曲線的左支上，點在雙曲線的右準線上，且滿足， ，則該雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】由得四邊形 為平行四邊形,由得OP為 角平分線,因此四邊形 為菱形，所以 ，因此 ，選C.10. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】循環(huán)依次為 直至結(jié)束循環(huán)，輸出，選D.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.11. 已知函數(shù)，若對任意，恒成立，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】, 且 ，所以函數(shù)為單調(diào)遞減的奇函數(shù)，因此 即 ，選A.點睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)12. 已知函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，且對任意的實數(shù)，等式成立，若數(shù)列滿足，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 當(dāng) 時 與時，矛盾，因此 當(dāng)時，設(shè) ，則,因此為單調(diào)減函數(shù)，從而 ,選D.點睛：(1)運用函數(shù)性質(zhì)解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進行等價轉(zhuǎn)化研究.如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負轉(zhuǎn)化，周期可實現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實現(xiàn)去，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系, 對稱性可得到兩個對稱的自變量所對應(yīng)函數(shù)值關(guān)系.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 設(shè)滿足約束條件，若目標函數(shù)的最大值為8，則的最小值為_【答案】4【解析】試題分析：滿足約束條件的平面區(qū)域如圖，由，得，由，.當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.所以的最小值為考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用14. 如圖，在一個幾何體的三視圖中，主視圖和俯視圖都是邊長為2的等邊三角形，左視圖是等腰直角三角形，那么這個幾何體外接球的表面積為_【答案】【解析】幾何體為一個三棱錐，如圖，高為，底面為邊長為2正三角形，因此外接球的半徑等于 ，表面積為 15. 已知，則_【答案】【解析】 所以 16. 元宵節(jié)燈展后，如圖懸掛有9盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，共有_種不同取法（用數(shù)字作答）【答案】1680【解析】 點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題間接法.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知，其中，若的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）銳角三角形中，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：，再根據(jù)正弦函數(shù)周期性質(zhì)求，并根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)求單調(diào)增區(qū)間（2）先根據(jù)正弦定理將邊化為角，由誘導(dǎo)公式及兩角和正弦公式化簡得，即得，根據(jù)銳角三角形得A取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍.試題解析：（1），最小正周期為，令，即，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），整理得：，銳角三角形，且，.18. 一個盒子里裝有大小均勻的8個小球，其中有紅色球4個，編號分別為1,2,3,4；白色球4個，編號分別為2,3,4,5. 從盒子中任取4個小球（假設(shè)取到任何一個小球的可能性相同）.（1）求取出的4個小球中，含有編號為4的小球的概率；（2）在取出的4個小球中，小球編號的最大值設(shè)為，求隨機變量的分布列和期望.【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）由題為古典概型，需先算出8個球取出4個的所以情況，在求4個球中含編號為4的基本事件數(shù)，可分類含一個編號為4的球，或含2個編號為4的球（互斥事件）概率可求；（2）由題意先分析出（取出4個編號最大的值）的可能取值，再分別求出對應(yīng)的概率（互斥事件），可列出分布列。試題解析：（1）8個球取出4個的所以情況有；種， 取出4個球中含一個編號為4的球有；種取出4個球中含兩個編號為4的球有；種，則；（2）X的可取值為3,4,5 X的分布列為考點：（1）互斥事件概率的算法 （2）離散型隨機變量分布列。19. 如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，點分別在棱上，且平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）求二面角的余弦值【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理得，再由，以及線面垂直判定定理得平面，即得，由平面，有，再由線面垂直判定定理得平面，即得；（2）因為平面，所以為在平面內(nèi)的射影，延長交于點，則為（即）與平面所成的角，解直角三角形得線面角正弦值.（3）以空間向量求角二面角，先建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，列方程組解平面法向量，由向量數(shù)量積得兩法向量夾角余弦值，最后根據(jù)二面角與兩法向量關(guān)系得結(jié)果試題解析：（1）因為四邊形是正方形，所以，又因為底面，所以，故平面，又平面，則，而平面，有，則平面，故.（2）如圖，延長交于點，因為平面，所以為在平面內(nèi)的射影，故為（即）與平面所成的角，又因為，則有，在中，故與平面所成角的正弦值為.（3）分別以為軸建立空間直角坐標系，所以，設(shè)平面的法向量，那么，令，則，由（1）知，平面的法向量，設(shè)所求二面角的大小為，且為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.20. 已知橢圓的焦距為，設(shè)右焦點為，過原點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，線段的中點為，且.（1）求弦的長；（2）當(dāng)直線的斜率，且直線時，交橢圓于，若點在第一象限，求證：直線與軸圍成一個等腰三角形.【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）關(guān)鍵求點A坐標關(guān)系：設(shè)，則根據(jù)條件表示，再根據(jù)向量數(shù)量積得，即得的長為.（2）證直線與軸圍成一個等腰三角形，就是證直線的斜率相反.先確定A點坐標，并求出橢圓方程，再設(shè)與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理可得兩點橫坐標和與積的關(guān)系，代入直線的斜率公式，并化簡可證它們?yōu)橄喾搓P(guān)系.試題解析：（1）因為橢圓：的焦距為，則，設(shè)，則，則，所以的長為.（2）因為直線的斜率時，且直線，所以，設(shè)，由（1）知，所以，又半焦距為，所以橢圓，聯(lián)解：得，設(shè)，則，設(shè)直線的斜率分別為，則，那么 ，所以直線與軸圍成一個等腰三角形.21. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最值；（2）當(dāng)時，對任意都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，求證：，.【答案】（1），無最大值.（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定單調(diào)性，進而確定最值（2）當(dāng)時,利用導(dǎo)數(shù)易得為單調(diào)遞增函數(shù)，且 ，因此（3）先證明為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明試題解析：（1），令，得，則隨變化如下：所以，無最大值.（2）設(shè)，則，當(dāng)時，且，函數(shù)在上是增加的，成立；當(dāng)時，令，得，當(dāng)，函數(shù)在上是減小的，而，所以，當(dāng)時，所以不恒成立，綜上，對任意都有恒成立時，.（3），又，當(dāng)時，在上是增加的，所以，當(dāng)時，而，成立.，假設(shè)時，成立，那么當(dāng)時，而，成立.綜合，得：，成立.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，以軸非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程；（2）若直線（為參數(shù)）與圓交于兩點，且，求的值.【答案】（1）（2）或.【解析】解(1)由圓C的參數(shù)方程可得圓C的圓心為（2,0），半徑為2，所以圓C的極坐標方程為 (2)由直線可求得直線的直角坐標方程為.由知圓心到距離,可得或.23. 選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)絕對值定義將不等式轉(zhuǎn)化為三個不等式組，分別求解集，最后求并集得解集；（2）先分離得，再由（1）知在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，在 為常函數(shù)，所以分類討論得最大值，解對應(yīng)不等式可得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）函數(shù)，所以當(dāng)時，即，所以，所以當(dāng)時，即，所以；所以當(dāng)時，即，所以，綜上，.（2）因為，當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，綜上，或.點睛：不等式有解是含參數(shù)的不等式存在性問題時，只要求存在滿足條件的即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的對立面（如的解集是空集，則恒成立）)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即恒成立，恒成立.