數(shù)學(xué)第四章 三角函數(shù)、解三角形 第四節(jié) 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用 文

第四節(jié)函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及應(yīng)用總綱目錄教材研讀1.用“五點法”畫y=Asin(x+)(A,0) 在一個周期內(nèi)的簡圖考點突破2.由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(x+)(A0,0,0)的圖象的步驟考點二考點二由圖象求函數(shù)由圖象求函數(shù)y=Asin(x+)+k的解析式的解析式考點一函數(shù)函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及變換的圖象及變換3.函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0,x0,+)的物理意義考點三考點三函數(shù)函數(shù)y=Asin(x+)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.用用“五點法五點法”畫畫y=Asin(x+)(A,0)在一個周期內(nèi)的簡圖在一個周期內(nèi)的簡圖用五點法畫y=Asin(x+)(A,0)在一個周期內(nèi)的簡圖時,一般先列表,后描點、連線,其中所列表如下:教材研讀教材研讀2.由函數(shù)由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(x+)(A0,0,0)的圖象的步驟的圖象的步驟 3.函數(shù)函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0,x0,+)的物理意義的物理意義(1)振幅為振幅為A.(2)周期T= .(3)頻率f= = .(4)相位是 x+ .(5)初相是.注:本節(jié)關(guān)于函數(shù)y=Asin(x+)的一些方法與結(jié)論可類比推理到y(tǒng)=Acos(x+)及y=Atan(x+).21T21.y=2sin的振幅、頻率和初相分別為()A.2,- B.2,-C.2,- D.2,- 24x1412418128答案答案 A由振幅、頻率和初相的定義可知,函數(shù)y=2sin的振幅為2,頻率為,初相為-.24x14A2.將函數(shù)y=2sin的圖象向右平移個周期后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為()A.y=2sin B.y=2sinC.y=2sin D.y=2sin26x1424x23x24x23x答案 D該函數(shù)的周期為,將其圖象向右平移個單位后,得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=2sin=2sin,故選D.4246x23xD3.(2016北京朝陽期中)要得到函數(shù)y=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin 2x的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位23x6633答案答案 B y=sin=sin,易知將函數(shù)y=sin 2x的圖象向右平移個單位,可得到函數(shù)y=sin的圖象.23x26x623xB4.(2015北京房山期末)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A,為常數(shù),A0,0)的部分圖象如圖所示,則()A.=4,A=1 B.=4,A=C.=2,A=1 D.=2,A= 22答案答案 D由函數(shù)f(x)的圖象知f(x)的最小值為-,所以A=.因為=-=,所以=2,故選D.224T14271234D5.把y=sin x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=sin x的圖象,則的值為 .12答案答案 14解析解析由題意得=.121214146.用五點法作函數(shù)y=sin在一個周期內(nèi)的圖象時,主要確定的五個點是 、 、 、 、 .6x答案答案 ; ,062,137,065, 1313,06解析解析分別令x-=0,2,即可得五個點的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)分別為0,1,0,-1,0).6232考點一函數(shù)考點一函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及變換的圖象及變換考點突破考點突破典例典例1已知函數(shù)y=2sin.(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五點法”作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象;(3)說明y=2sin的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.23x23x解析解析(1)y=2sin的振幅A=2,周期T=,初相=.(2)令X=2x+,則y=2sin=2sin X.列表:23x223323xx-X02sin X010-10y=2sin X020-20612371256232描點并畫出一個周期內(nèi)的圖象:(3)把y=sin x的圖象上所有的點向左平移個單位,得到y(tǒng)=sin的圖象,再把y=sin的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱33x3x12坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin的圖象,最后把y=sin的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),即可得到y(tǒng)=2sin的圖象.23x23x23x易錯警示易錯警示1.由y=sin x到y(tǒng)=sin(x+)的變換:向左平移(0,0)個單位長度而非個單位長度.2.平移前后兩個函數(shù)的名稱如果不一致,應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù),為負(fù)時應(yīng)先變成正值.1-1若將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為()A.x=-(kZ) B.x=+(kZ)C.x=-(kZ) D.x=+(kZ)122k62k62k122k12答案答案 B將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)y=2sin=2sin的圖象,由2x+=k+(kZ),可得x=+(kZ),則平移后圖象的對稱軸為x=+(kZ),故選B.12212x26x622k62k6B1-2 (2015北京東城一模)將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位長度后,所得到的圖象的函數(shù)解析式為 .23x6答案答案 y=sin 2x解析解析將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位長度后,所得到的圖象的函數(shù)解析式為y=sin,即y=sin 2x.23x6263xy=sin 2x考點二由圖象求函數(shù)考點二由圖象求函數(shù)y=Asin(x+)+k的解析式的解析式典例典例2 (2016北京東城期末)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(0,02)的圖象在一個周期內(nèi)的部分對應(yīng)值如下表:(1)求f(x)的解析式;(2)求函數(shù)g(x)=f(x)+2sin x的最大值和最小值.x-0f(x)-11-126212解析解析(1)由題表可知周期T=-=,所以=2.由圖象過點(0,1),得sin(20+)=1,又00,0)的圖象求其解析式時,主要從以下四個方面來考慮:(1)A的確定:根據(jù)圖象的最高點和最低點,即A=;(2)k的確定:根據(jù)圖象的最高點和最低點,即k=;(3)的確定:利用圖象先求出周期T,然后由T=(0)來確定;(4)的確定:由函數(shù)圖象的特殊點得到關(guān)于的方程,結(jié)合的范圍確定.2最大值最小值2最大值最小值22-1 (2017北京東城期末)如圖,已知函數(shù)f(x)=sin(x+),xR(其中0,-)的部分圖象,那么f(x)的解析式為 ()A. f(x)=sin B. f(x)=sin2x2xC. f(x)=sin D. f(x)=sin22x22xA答案答案 A由題圖可知T=2=2,=1,故舍去C,D選項.又圖象過(0,1),1=sin ,=+2k(kZ).又-0,0)的常用性質(zhì)(1)奇偶性:當(dāng)=k(kZ)時,函數(shù)y=Asin(x+)為奇函數(shù);當(dāng)=k+(kZ)時,函數(shù)y=Asin(x+)為偶函數(shù).(2)周期性:函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)具有周期性,其最小正周期為T=.(3)單調(diào)性:根據(jù)y=sin x的單調(diào)性來研究,由-+2kx+2k,kZ得單調(diào)增區(qū)間;由+2kx+2k,kZ得單調(diào)減區(qū)間.(4)對稱性:利用y=sin x的對稱性來研究,由x+=k(kZ)求得對稱中心的橫坐標(biāo);由x+=k+(kZ)得對稱軸方程.222223223-1 (2016北京朝陽期末)已知函數(shù)f(x)=cos2x+sin xcos x+a的圖象過點.(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求函數(shù)f(x)在上的最小值.3,160,2解析解析(1)由f(x)=cos2x+sin xcos x+a=+a=sin+a.因為函數(shù)f(x)的圖象過點,所以f=sin+a=1,解得a=-.函數(shù)f(x)的最小正周期T=.(2)由(1)知f(x)=sin.31cos22x3sin22x26x12,166266121222226x因為0 x,所以2x+.所以-sin1.所以當(dāng)2x+=,即x=時,函數(shù)f(x)在上有最小值,最小值為-.266761226x67620,212