數(shù)學(xué)第四章 三角形 第2節(jié) 三角形及其性質(zhì)

三角三角形及形及其性其性質(zhì)質(zhì)三角形及其邊角關(guān)系三角形及其邊角關(guān)系三角形中的重要線段三角形中的重要線段特殊三角形的性質(zhì)與判定特殊三角形的性質(zhì)與判定三角形的分類三角形的分類三角形邊角關(guān)系三角形邊角關(guān)系角平分線角平分線中線中線高線高線中位線中位線等腰三角形等腰三角形等邊三角形等邊三角形直角三角形直角三角形三角三角形的形的分類分類 返回返回銳角三角形：三個角都是銳角銳角三角形：三個角都是銳角 ：有一個角為：有一個角為90鈍角三角形：有一個角是鈍角鈍角三角形：有一個角是鈍角直角三角形直角三角形三 角三 角形 的形 的邊 角邊 角關(guān)系關(guān)系邊的關(guān)系：三角形兩邊之和邊的關(guān)系：三角形兩邊之和 第三邊，兩邊之第三邊，兩邊之差差 第三邊，即第三邊，即a+bc，a-bc（a，b，c為三角形的三邊長）為三角形的三邊長）內(nèi)角和等于內(nèi)角和等于 .任意一個外角任意一個外角 與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和任意一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角任意一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角角的角的關(guān)系關(guān)系溫馨提示利用三角形三邊關(guān)系可判斷三條線段能否構(gòu)成三溫馨提示利用三角形三邊關(guān)系可判斷三條線段能否構(gòu)成三角形（只需看較小兩邊的和是否大于第三邊），或求三角形角形（只需看較小兩邊的和是否大于第三邊），或求三角形邊、周長的取值范圍邊、周長的取值范圍;利用三角形的內(nèi)角和、外角的性質(zhì)構(gòu)利用三角形的內(nèi)角和、外角的性質(zhì)構(gòu)造方程，幫助求角或證明角相等造方程，幫助求角或證明角相等返回返回大于大于小于小于180等于等于角角平平分分線線返回返回定義：一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交定義：一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交,這個角的頂點和這個角的頂點和交點之間的線段交點之間的線段圖形及性質(zhì)：如圖圖形及性質(zhì)：如圖,在在ABC中中,AD為角平分線為角平分線,則有則有1= BAC內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心）：三角形的三條角平分線交于一內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心）：三角形的三條角平分線交于一點點,該點稱為三角形的內(nèi)心，該點到三角形三邊的距離相等該點稱為三角形的內(nèi)心，該點到三角形三邊的距離相等知識鏈接知識鏈接外心：三角形三條邊垂直平分線的交點，外心到外心：三角形三條邊垂直平分線的交點，外心到三角形三個頂點的距離相等三角形三個頂點的距離相等溫馨提示涉及角平分線上點到邊的距離問題，一般都可溫馨提示涉及角平分線上點到邊的距離問題，一般都可用角平分線的性質(zhì)求解用角平分線的性質(zhì)求解;當(dāng)已知角平分線時，常引角兩當(dāng)已知角平分線時，常引角兩邊的垂線，得到線段相等，構(gòu)造全等三角形邊的垂線，得到線段相等，構(gòu)造全等三角形.122中中線線返回返回定義：連接一個頂點與它對邊中點的線段定義：連接一個頂點與它對邊中點的線段圖形及性質(zhì)：如圖圖形及性質(zhì)：如圖,在在ABC中中,AD為為BC邊上的邊上的中線中線,則有則有BD= BC重心重心:三角形的三條中線交于一點三角形的三條中線交于一點,該點稱為三角該點稱為三角形的重心，該點到三角形頂點的距離等于它到對形的重心，該點到三角形頂點的距離等于它到對邊中點距離的邊中點距離的2倍倍溫馨提示溫馨提示 中線等分三角形面積中線等分三角形面積12CD高高線線返回返回定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線作垂線,頂點和垂足之間的線段頂點和垂足之間的線段圖形及性質(zhì)：如圖圖形及性質(zhì)：如圖,在在ABC中中,AD為為BC邊上的邊上的高線高線,則有則有AD ,即即ADB=ADC=90垂心：三角形的三條高線的交點垂心：三角形的三條高線的交點,該點稱為三角該點稱為三角形的垂心形的垂心BC中中位位線線定義：連接三角形兩邊中點的線段定義：連接三角形兩邊中點的線段圖形及性質(zhì)：如圖圖形及性質(zhì)：如圖,在在ABC中中,D、E分別為分別為AB、AC的中點的中點,則則DE為為ABC中位線中位線,DE 且且DE= BC返回返回溫馨提示溫馨提示 當(dāng)在三角形中遇到中點時，常構(gòu)造三角形中位當(dāng)在三角形中遇到中點時，常構(gòu)造三角形中位線，進一步利用線段平行或倍分問題，可簡單地概括為線，進一步利用線段平行或倍分問題，可簡單地概括為“已知中點找中位線已知中點找中位線”；在平行四邊形或菱形中，邊上有；在平行四邊形或菱形中，邊上有中點時，常連接中點與對角線的交點構(gòu)造中位線中點時，常連接中點與對角線的交點構(gòu)造中位線12BC等 腰等 腰三 角三 角形形(如如圖圖)性質(zhì)性質(zhì)未完繼續(xù)未完繼續(xù)判定判定1.兩腰相等，即兩腰相等，即AB=AC2.兩底角相等，即兩底角相等，即B=C3.它是軸對稱圖形，有一條對稱軸，即它是軸對稱圖形，有一條對稱軸，即AD4.頂角的頂角的 ，底邊上的高和底邊的中線互相，底邊上的高和底邊的中線互相重合重合(三線合一三線合一)1.有兩邊相等的三角形是等腰三角形有兩邊相等的三角形是等腰三角形2.有兩角相等的三角形是等腰三角形有兩角相等的三角形是等腰三角形面積計算公式：面積計算公式：S= ，其中，其中a是底邊長，是底邊長，h是底邊上的高是底邊上的高角平分線角平分線12ah返回返回溫馨提示溫馨提示 對于等腰三角形的邊、角、周長的計算，頂對于等腰三角形的邊、角、周長的計算，頂點位置的探索，往往由于腰、底的不確定，需分類討論解點位置的探索，往往由于腰、底的不確定，需分類討論解決，防止漏解決，防止漏解;等腰三角形的等腰三角形的“三線合一三線合一”是一條重要性是一條重要性質(zhì)，在計算和證明中，往往作為輔助線，需靈活添加解決質(zhì)，在計算和證明中，往往作為輔助線，需靈活添加解決等 邊等 邊三 角三 角形形(如如圖圖)性質(zhì)性質(zhì)判定判定1.三邊相等三邊相等2.三角相等，且每一個角都等于三角相等，且每一個角都等于_3.是軸對稱圖形，有三條對稱軸是軸對稱圖形，有三條對稱軸1.三邊都相等的三角形是等邊三角形三邊都相等的三角形是等邊三角形2.三角都相等的三角形是等邊三角形三角都相等的三角形是等邊三角形3.有一個角是有一個角是60的的 三角形是等三角形是等邊三角形邊三角形面積計算公式：面積計算公式：S= ,a是三角形任意一邊是三角形任意一邊的長，的長，h是任意邊上的高是任意邊上的高60等腰等腰12ah返回返回直 角直 角三 角三 角形形(如如圖圖)性質(zhì)性質(zhì)未完繼續(xù)未完繼續(xù)1.兩銳角之和等于兩銳角之和等于 ，即，即A+B=_2.斜邊上的中線等于斜邊的斜邊上的中線等于斜邊的_3.30角所對的直角邊等于斜邊的角所對的直角邊等于斜邊的_4.勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為斜邊為c，則有，則有_5.在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于那么這條直角邊所對的銳角等于_9090一半一半一半一半a2b2c230直 角直 角三 角三 角形形(如如圖圖)判定判定1.有一個角為有一個角為90的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形2.勾股定理逆定理：若勾股定理逆定理：若a2+b2=c2,則以則以a、b、c為邊的三角形是直角三角形為邊的三角形是直角三角形3.一條邊的中線等于這條邊的一半的三角一條邊的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形形是直角三角形4.有兩個角互余的三角形是直角三角形有兩個角互余的三角形是直角三角形面積計算公式：面積計算公式：S= = ch（其中（其中a、b為為兩個直角邊，兩個直角邊，c為斜邊，為斜邊，h為斜邊上的高）為斜邊上的高）1212ab返回返回21例例1 如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，AB=AC（1）若）若ABC一邊長為一邊長為3，周長為，周長為12，求，求AB的長；的長；（2）如圖，若）如圖，若D在在BC的延長線上，的延長線上，ACD=110，求求BAC的度數(shù)；的度數(shù)；（3）如圖，若）如圖，若D在在BC的延長線上，的延長線上，AC=DC，BAC=40，求，求D的度數(shù)；的度數(shù)；等腰三角形的相關(guān)計算等腰三角形的相關(guān)計算（4）如圖，若）如圖，若D是是AC上一點，且上一點，且AD=BD=BC，求，求A的度數(shù)；的度數(shù)；（5）如圖，若）如圖，若E是是AC上的點，且上的點，且BE是是ABC的中線，的中線，BE把把ABC的周長分為的周長分為12和和15兩部分，求兩部分，求ABC的三邊長；的三邊長；（6）如圖，若）如圖，若AD是是ABC的角平分線，且的角平分線，且ABC的周長為的周長為20，AD=6，求，求ACD的周長的周長.（1）【思維教練思維教練】已知等腰三角形的一邊長求腰長，要分已知等腰三角形的一邊長求腰長，要分兩種情況：已知邊為腰；已知邊為底，求解中注意利用兩種情況：已知邊為腰；已知邊為底，求解中注意利用三角形三邊關(guān)系判斷三角形是否存在；三角形三邊關(guān)系判斷三角形是否存在；【自主作答自主作答】解：若解：若AB3，則，則ACAB3，周長為周長為12，BC6，由于由于ACABBC，這種情況不成立；這種情況不成立；若若BC3，則，則ABAC ，AB的長為的長為 ；12392292（2）【思維教練思維教練】根據(jù)鄰角互補關(guān)系，轉(zhuǎn)化成已知等腰根據(jù)鄰角互補關(guān)系，轉(zhuǎn)化成已知等腰ABC的的底角求頂角的問題；底角求頂角的問題；【自主作答自主作答】解：解：ABAC，BACB，ACD110，ACBB70，BAC1802ACB40；（3）【思維教練思維教練】先在等腰先在等腰ABC中，由頂角求底角，再中，由頂角求底角，再利用三角形外角與內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，得到利用三角形外角與內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，得到ACB與與D的數(shù)的數(shù)量關(guān)系；量關(guān)系；【自主作答自主作答】解：解：ABAC，BACB，BAC40，BACB70，ACDC，CADD, ACBCADD2D，D35；（4）【思維教練思維教練】可根據(jù)等邊對等角及三角形的外角與內(nèi)可根據(jù)等邊對等角及三角形的外角與內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，將角的數(shù)量關(guān)系，將ABC和和C用用A表示出來，利用三角形表示出來，利用三角形內(nèi)角和定理，轉(zhuǎn)化成方程求解；內(nèi)角和定理，轉(zhuǎn)化成方程求解；【自主作答自主作答】解：解：ABAC，ABCC，BDBC，BDCC，ADBD，AABD，BDCAABD，CBDC2A，AABCC180，5A180，A36；（5）【思維教練思維教練】分兩種情況：分兩種情況：AB+AE=12，BC+CE =15；AB+AE=15，BC+CE=12，結(jié)合中線的性質(zhì)即可求解；，結(jié)合中線的性質(zhì)即可求解；【自主作答自主作答】解：若解：若ABAE 12，BCCE 15，ABAC，AECE ， AB12，ABAC8，BC AC15，BC11；若若ABAE15，BCCE12，ABAC，AECE， AB15，ABAC10，BC AC12，BC7；12123232（6）【思維教練思維教練】利用等腰三角形頂角平分線是底邊的中利用等腰三角形頂角平分線是底邊的中線，將三角形周長分為相等的兩部分，再利用整體思想求解線，將三角形周長分為相等的兩部分，再利用整體思想求解.【自主作答自主作答】解：解：ABAC，AD是是ABC的角平分線，的角平分線，BDCD，ABC的周長為的周長為20，ABACBC20，ACCD10，AD6，ACD的周長為的周長為16.二二 直角三角形的相關(guān)計算直角三角形的相關(guān)計算例例2 如圖，點如圖，點D在在RtABC的斜邊的斜邊AB上，且上，且AC=6，（1）若）若AB比比BC大大2，求求AB的長；的長；若若CDAB于點于點D，求，求CD的長；的長；（2）若）若D是是AB的中點，的中點，A=36，求，求DCB的度數(shù)；的度數(shù)；（3）若）若AD=7，DB=11，CDB=2B，求，求CD的長的長 （1）【思維教練思維教練】要求要求AB的長，已知的長，已知AB比比BC大大2，AC=6，可利用勾股定理構(gòu)造方程解答；要求直角三角形斜邊上的高，可利用勾股定理構(gòu)造方程解答；要求直角三角形斜邊上的高，在三邊已知的情況下用等面積法即可求解；在三邊已知的情況下用等面積法即可求解；【自主作答自主作答】解：解：設(shè)設(shè)ABx，BCx2，AB2BC2AC2，x2(x2)262，解得解得x10，即，即AB10； ACBC CDAB，CD ；12126 824105AC BCAB（2）【思維教練思維教練】要求要求DCB，可利用直角三角形兩銳角互，可利用直角三角形兩銳角互余得到余得到B，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到得到CD=BD，結(jié)合等邊對等角即可求得，結(jié)合等邊對等角即可求得DCB；【自主作答自主作答】解：解：AB90，A36，B54，CD是是RtABC斜邊上的中線，斜邊上的中線，CDBD，DCBB 54；（3）【思維教練思維教練】由由CDB=2B想到三角形內(nèi)外角的關(guān)系，考慮想到三角形內(nèi)外角的關(guān)系，考慮構(gòu)造等腰三角形，取斜邊的中點構(gòu)造等腰三角形，取斜邊的中點E，可得，可得BE=CE，則，則CED=2B，從而得到從而得到CD=CE，再根據(jù)已知線段求出，再根據(jù)已知線段求出CE的長即可的長即可.【自主作答自主作答】解：如解圖，取解：如解圖，取AB的中點的中點E，連接，連接CE，AD7，DB11，ABADDB71118，CEBE AB 189，BBCE，由三角形的外角性質(zhì)得由三角形的外角性質(zhì)得CEDBBCE2B，CDB2B，CDBCED，CDCE9.1212