數(shù)學(xué)第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第30練 圓錐曲線的熱點(diǎn)問(wèn)題 文

第30練圓錐曲線的熱點(diǎn)問(wèn)題第三篇攻堅(jiān)克難壓軸大題多得分明考情圓錐曲線的熱點(diǎn)問(wèn)題作為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的延伸與深化，是高考的必考點(diǎn)，高考中常選取其中一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題作為圓錐曲線的壓軸題目.知考向1.范圍與最值問(wèn)題.2.定值、定點(diǎn)問(wèn)題.3.探索性問(wèn)題.研透考點(diǎn)核心考點(diǎn)突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點(diǎn)核心考點(diǎn)突破練考點(diǎn)一范圍與最值問(wèn)題方法技巧方法技巧圓錐曲線的最值和范圍問(wèn)題解題常見思路(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立相關(guān)關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.1234所以點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)的橢圓，1.已知點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)M是圓C：(x1)2y28上的任意一點(diǎn)，線段MA的垂直平分線與直線CM交于點(diǎn)E.(1)求點(diǎn)E的軌跡方程；解答(2)若直線ykxm與點(diǎn)E的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.1234解答消去y，得(2k21)x24kmx2m220，0，m22k21.因?yàn)辄c(diǎn)O在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，12341234(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；1234解答解解由題意知m0，12341234(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).1234解答1234解答(1)若x軸與以AB為直徑的圓相切，求該圓的方程；由6432b0，解得b2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y28，y1y28b.12341234解答(2)若直線l與y軸負(fù)半軸相交，求AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值.解解因?yàn)橹本€與y軸負(fù)半軸相交，所以b0.又直線與拋物線交于兩點(diǎn)，由(1)知b2，所以2b0，1234當(dāng)b變化時(shí)，g(b)，g(b)的變化情況如下表：12341234解答(1)求橢圓E的方程；1234解答解解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知0，1234123412341234考點(diǎn)二定值、定點(diǎn)問(wèn)題方法技巧方法技巧(1)定點(diǎn)問(wèn)題的常見解法假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求定點(diǎn)；從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意.(2)定值問(wèn)題的常見解法從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.5.(2017全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx2mx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1).當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說(shuō)明理由；解解不能出現(xiàn)ACBC的情況.理由如下：設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2滿足x2mx20，所以x1x22.又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.5678解答5678證明(2)證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.由(1)可得x1x2m，56785678即過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.56786.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，1).(1)求拋物線C的方程；解解設(shè)拋物線C的方程為x22py(p0)，由點(diǎn)M(2，1)在拋物線C上，得42p，則p2，拋物線C的方程為x24y.解答(2)若一個(gè)等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求該等邊三角形的面積；5678解答解解設(shè)該等邊三角形OPQ的頂點(diǎn)P，Q在拋物線上，且P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，即(yPyQ)(yPyQ4)0.又yP0，yQ0，則yPyQ，|xP|xQ|，即線段PQ關(guān)于y軸對(duì)稱.5678(3)過(guò)點(diǎn)M作拋物線C的兩條弦MA，MB，設(shè)MA，MB所在直線的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1k22時(shí)，試證明直線AB的斜率為定值，并求出該定值.解解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x212，5678解答5678解答(1)求C的方程；解解由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn).所以點(diǎn)P2在橢圓C上.56785678(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn).證明證明證明設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，5678當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，1).5678(1)求橢圓E的方程；因?yàn)閽佄锞€y24x的焦點(diǎn)是(1，0)，所以c1.5678解答5678證明證明證明設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，t)，又兩點(diǎn)確定唯一的一條直線，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)(1，0)都適合這個(gè)方程，故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C(1，0).5678考點(diǎn)三探索性問(wèn)題方法技巧方法技巧探索性問(wèn)題的求解方法(1)處理這類問(wèn)題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由此假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若推出與已知、定理或公理相符的結(jié)論，則存在性得到肯定；若導(dǎo)致矛盾，則否定存在性.若證明某結(jié)論不存在，也可以采用反證法.(2)采用特殊化思想求解，即根據(jù)題目中的一些特殊關(guān)系，歸納出一般結(jié)論，然后進(jìn)行證明，得出結(jié)論.(1)求橢圓E的方程；9101112解答又a2b2c24，abc0，91011129101112解答解解當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)不滿足條件.故可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為yk(x2)1，代入橢圓方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，91011124(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，910111210.(2016全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.9101112解答又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，代入y22px，整理得px22t2x0，9101112(2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.解解直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn)，理由如下：9101112代入y22px，得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn).解答9101112(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；解答9101112(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPMOPN？說(shuō)明理由.解解存在符合題意的點(diǎn)，理由如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPMOPN，所以點(diǎn)P(0，a)符合題意.解答9101112(1)求橢圓C的方程；9101112解答所以a22，c1.9101112(2)已知直線xym0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的中點(diǎn)不在圓x2y21內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.9101112解答設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，9101112因?yàn)镸N的中點(diǎn)不在圓x2y21內(nèi)，91011129101112解答解解假設(shè)存在定點(diǎn)Q，使以AB為直徑的圓恒過(guò)該定點(diǎn).當(dāng)ABx軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2y21；當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí)，9101112設(shè)A(x3，y3)，B(x4，y4)，綜上，存在定點(diǎn)Q(0，1)，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn).9101112規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；模板體驗(yàn)審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(1)證明證明設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).2分將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.6分(2)解解四邊形OAPB能為平行四邊形.7分所以l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0，k3.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，四邊形OAPB為平行四邊形， 當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分， 即xP2xM.因?yàn)閗i0，ki3，i1，2，構(gòu)建答題模板構(gòu)建答題模板第一步先假定先假定：假設(shè)結(jié)論成立.第二步再推理再推理：以假設(shè)結(jié)論成立為條件，進(jìn)行推理求解.第三步下結(jié)論下結(jié)論：若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立則肯定假設(shè)；若推出矛盾則否定假設(shè).第四步再回顧再回顧：查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)(特殊情況、隱含條件等)，審視解題規(guī)范性.(1)求橢圓C1的方程；規(guī)范演練2DEFS2DEFS12345解答(2)在橢圓C1落在第一象限的圖象上任取一點(diǎn)作C1的切線l，求l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值.12345解答解解l與橢圓C1相切于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線l的斜率必存在且為負(fù).設(shè)直線l的方程為ykxm(k0)，根據(jù)題意可得方程有兩相等實(shí)根，1234512345l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為2.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；解解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.12345解答12345證明又由(1)知m2n22，故33mtn0，證明證明由題意知F(1，0).設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.12345(1)求橢圓C的方程；12345解答(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|BM|為定值.12345證明證明證明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).1234512345當(dāng)x00時(shí)，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值.(1)求橢圓M的方程；12345解答解解由已知，得a2b252，由點(diǎn)A(0，a)，B(b，0)知，12345所以a216，b29，c21697.(2)證明：直線l與x軸交于定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).12345解答解解由(1)知P(3，0)，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，整理，得(16m29)y232mny16n21440，因?yàn)橐訡D為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)P，所以(x13)(x23)y1y20.又x1my1n，x2my2n，12345所以(my1n3)(my2n3)y1y20，整理，得(m21)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20，易知n3，所以16(m21)(n3)32m2n(16m29)(n3)0，1234512345解答(1)求橢圓E的方程；解解由已知，得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)，1234512345解答解解當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，其判別式(4k)28(2k21)0，1234512345當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，