高數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教案.doc

第17、18課時(shí)：【教學(xué)目的】1、 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)；2、 熟練掌握零點(diǎn)定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1、介值性定理及其應(yīng)用；2、零點(diǎn)定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】介值性定理及其應(yīng)用 1. 10 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、有界性與最大值與最小值 最大值與最小值: 對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x), 如果有x0I, 使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ), 則稱f(x0 )是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）. 例如, 函數(shù)f(x)=1+sin x在區(qū)間0, 2p上有最大值2和最小值0. 又如, 函數(shù)f(x)=sgn x 在區(qū)間(-, +)內(nèi)有最大值 1和最小值-1. 在開區(qū)間(0, +)內(nèi), sgn x的最大值和最小值都是1. 但函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a, b)內(nèi)既無最大值又無最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1說明, 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 那么至少有一點(diǎn)x1a, b, 使f(x1)是f(x)在a, b上的最大值, 又至少有一點(diǎn)x 2a, b, 使f(x 2)是f(x)在a, b上的最小值. 注意: 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù), 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn), 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值. 例: 在開區(qū)間(a, b) 考察函數(shù)y=x. 又如, 如圖所示的函數(shù)在閉區(qū)間0, 2上無最大值和最小值. 定理2（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界. 二、零點(diǎn)定理與介值定理 零點(diǎn): 如果x0 使f(x0 )=0, 則x0 稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn). 定理3（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且f(a)與f(b)異號(hào), 那么在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使f(x)=0. 定理4（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B,那么, 對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C, 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使得f(x)=C . 定理4（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且f(a)f(b), 那么, 對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C, 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使得f(x)=C . 證: 設(shè)j(x)=f(x)-C, 則j(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且j(a)=A-C與j(b)=B-C異號(hào). 根據(jù)零點(diǎn)定理, 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得j(x)=0 (a<x<b). 但j(x)=f(x)-C, 因此由上式即得f(x)=C (a<x<b). 定理4 的幾何意義: 連續(xù)曲線弧y=f(x)與水平直線y=C至少交于一點(diǎn). 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值. 例1. 證明方程x 3-4x 2+1=0在區(qū)間（0, 1）內(nèi)至少有一個(gè)根. 證: 函數(shù)f(x)= x 3-4x 2+1在閉區(qū)間0, 1上連續(xù), 又f(0)=1>0, f(1)=-2<0. 根據(jù)零點(diǎn)定理, 在(0, 1)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使得f(x)=0, 即 x 3-4x 2+1=0 (0<x<1). 這等式說明方程x 3-4x 2+1=0在區(qū)間（0, 1）內(nèi)至少有一個(gè)根是x .