2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列章末知識(shí)整合 蘇教版必修.doc

【金版學(xué)案】2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列章末知識(shí)整合 蘇教版必修5題型1求數(shù)列的通項(xiàng)公式一、觀察法寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)1，7,13，19,25，(2)2，(3)，2，(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9，分析：觀察數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及所給數(shù)列與一些特殊數(shù)列之間的關(guān)系解析：(1)原數(shù)列的各項(xiàng)可看成數(shù)列an：1，1,1，1，與數(shù)列bn：1,7,13,19,25，對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘的結(jié)果又an(1)n1，bn16(n1)6n5.故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為cn(1)n1(6n5)(2)原數(shù)列可改寫成1，2，3，4，.故其通項(xiàng)公式為ann.(3)這個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列中分子、分母的規(guī)律都不明顯，不妨把分子變成4，然后看分母，從而有，分母正好構(gòu)成等差數(shù)列，從而原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an.(4)注意到此數(shù)列的特點(diǎn)：奇數(shù)項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)相等，偶數(shù)項(xiàng)比項(xiàng)數(shù)大1，故它可改寫成10,21,30,41,50,61，所以原數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann.歸納拓展(1)觀察是歸納的前提，合理的轉(zhuǎn)換是完成歸納的關(guān)鍵(2)由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式不一定唯一如數(shù)列5,0，5,0,5，的通項(xiàng)公式可為5cos(nN*)，也可為an5sin(nN*)(3)已知數(shù)列的前n項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要熟記一些特殊數(shù)列如(1)n，n，2n1，2n，2n1，n2，等，觀察所給數(shù)列與這些特殊數(shù)列的關(guān)系，從而寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式變式遷移1寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(1)1，；(2)，2，2，；(3)1,3,6,10,15，；(4)1，4,7，10,13，.解析：(1)an(1)n1.(2)原數(shù)列可寫成，易得an.(3)312,6123,101234,1512345，an123n.(4)1,4,7,10,13，組成1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，易得an(1)n1(3n2)二、利用an求an設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，且Sn(an1)(nN*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式分析：由Sn與an的關(guān)系消去Sn(或an)，轉(zhuǎn)化為an(或Sn)的遞推關(guān)系求解解析：Sn(an1)，當(dāng)n1時(shí)，S1a1(a11)，解得a13.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(an1)(an11)，得3，當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列an是以3為公比的等比數(shù)列，且首項(xiàng)a23a19.n2時(shí)，an93n23n.顯然n1時(shí)也成立故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an3n(nN*)歸納拓展已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其方法是anSnSn1(n2)這里常常因?yàn)楹雎粤薾2的條件而出錯(cuò)，即由anSnSn1求得an時(shí)的n是從2開(kāi)始的自然數(shù)，否則會(huì)出現(xiàn)當(dāng)n1時(shí)Sn1S0，而與前n項(xiàng)和定義矛盾可見(jiàn)由anSnSn1所確定的an，當(dāng)n1時(shí)的a1與S1相等時(shí)，an才是通項(xiàng)公式，否則要用分段函數(shù)表示為an變式遷移2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值解析：(1)當(dāng)n1時(shí)，T12S11，而T1S1a1，a12a11，解得a11.(2)求an的通項(xiàng)公式解析：(2)n2時(shí)，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1.Sn2Sn12n1，Sn12Sn2n1，得an12an2，即an122(an2)，亦即2.a123，a226，2，an2是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，an232n1，故an32n12.三、疊加法已知數(shù)列an滿足a11，an3n1an1(n2)(1)求a2，a3；(2)證明an.分析：已知a1，由遞推公式可以求出a2，a3，因?yàn)閍n3n1an1屬于an1anf(n)型遞推公式，所以可以用疊加法求出an.解析：(1)a11，a2314，a332413.(2)由已知anan13n1，令n分別取2,3,4，n得a2a131，a3a232，a4a333，anan13n1，以上n1個(gè)式子相加，得ana131323n1.an，n1時(shí)，a11，an.歸納拓展(1)對(duì)n1時(shí)，檢驗(yàn)a1 1是否滿足an是必要的，否則就要寫成分段的形式(2)如果給出數(shù)列an的遞推公式為anan1f(n)型，并且f(n)容易求和，這時(shí)可采用疊加法對(duì)n1檢驗(yàn)是必要的，否則就要寫成分段函數(shù)的形式，這里說(shuō)的f(n)易求和，指的是f(n)的形式為等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列前n項(xiàng)和，或是常見(jiàn)的特殊公式，如122232n2等變式遷移3已知數(shù)列an滿足an1ann2，且a11，求an的通項(xiàng)公式解析：an1ann2，an1ann2，疊加即得ana11222(n1)2，ann(n1)(2n1)1.四、疊乘法在數(shù)列an中，a12，an1an，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.分析：由an1an知，已知條件屬于f(n)型遞推公式，所以用疊乘法求出an.解析：由a12，an1an，.取n1,2,3，n1得，.把上述各式兩邊分別相乘，得：，ana1，即ann(n1)當(dāng)n1時(shí)，a12適合上式故ann(n1)(nN*)歸納拓展如果數(shù)列an的遞推公式為f(n)型時(shí)，并且f(n)容易求前n項(xiàng)的積，這時(shí)可采用疊乘法疊乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消情況變式遷移4在數(shù)列an中，已知a1，an12nan，求an.解析：由an12nan得2n，21，22，2n1，疊乘得2222n12，an22五、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法已知數(shù)列an中a11，an1，則通項(xiàng)公式an_.分析：通過(guò)觀察給出的遞推公式可以發(fā)現(xiàn)兩邊取倒數(shù)可以得到與的關(guān)系，也可以將式子乘開(kāi)得到an1an2an12an兩邊同時(shí)除以2anan1，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解解析：解法一：將an1兩邊取倒數(shù)，得 ，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，1(n1)，an.解法二：(1)an1，an1(an2)2an，an1an2an2an1.兩邊同除以2an1an得.數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為.(n1).an.答案：歸納拓展根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)與an有關(guān)的新的數(shù)列，通過(guò)新數(shù)列通項(xiàng)公式的求解求得an的通項(xiàng)公式新的數(shù)列往往是等差數(shù)列或是等比數(shù)列例如形如anpan1q(p，q為常數(shù))的形式，往往變?yōu)閍np(an1)，構(gòu)成等比數(shù)列，求an通項(xiàng)公式，再求an.變式遷移5已知數(shù)列an中，a12，an13an2，求an.解析：由an13an2，設(shè)an1k3(ank)，其中k是待定系數(shù)，即an13an2k與條件進(jìn)行對(duì)比，得2k2，k1.故an113(an1)，an1是211為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，an113n1，an3n11.題型2數(shù)列的求和一、公式法(1)求147(3n1)的值；(2)若數(shù)列xn滿足logaxn11logaxn(nN*，a0，且a1)且x1x2x3x100100，求x101x102x200的值分析：(1)中1,4,7，3n1是個(gè)等差數(shù)列，但容易這樣求解：Snn.這是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在沒(méi)搞清此數(shù)列有多少項(xiàng)(2)可以作個(gè)變換logaxn1logaxnloga1，推導(dǎo)出xn是等比數(shù)列再求解解析：(1)數(shù)列中3011，第1項(xiàng)1是n0時(shí)得到的，此數(shù)列是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為3n1，項(xiàng)數(shù)為n1的等差數(shù)列Sn1.(2)由logaxn11logaxn得logaxn1logaxn1，loga1，a，數(shù)列xn是公比為a的等比數(shù)列由等比數(shù)列的性質(zhì)得：x101x102x200(x1x2x100)a100100a100.歸納拓展數(shù)列求和常用的公式有：等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Snk123nn(n1)；k2122232n2n(n1)(2n1)變式遷移6設(shè)an為等比數(shù)列，bn為等差數(shù)列，且b10，cnanbn，若cn是1,1,2，求cn的前10項(xiàng)之和解析：設(shè)an的首項(xiàng)為a，公比為q，bn首項(xiàng)為b，公差為d，b10，由c1a1b11，知a11.c2a2b2qd1，c3a3b3q22d2，解得q2，d1，an2n1，bn1n，cn2n1(1n)cn前10項(xiàng)和為a1a2a10(b1b2b10)978.二、分組求和法 求和：222.分析：此數(shù)列的通項(xiàng)公式是an2x2n2，而數(shù)列x2n，是等比數(shù)列，2是常數(shù)，故采用分組求和法解析：當(dāng)x1時(shí)，Sn(x2x4x2n)2n2n2n.當(dāng)x1時(shí)，Sn4n.綜上，Sn歸納拓展將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多項(xiàng)，然后重新分組，將一般數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問(wèn)題，運(yùn)用的是化歸的數(shù)學(xué)思想，通項(xiàng)變形是這種方法的關(guān)鍵變式遷移7已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann(n1)，求an的前n項(xiàng)和Sn.解析：ann(n1)nn2，Sn(123n)(122232n2).三、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和分析：通項(xiàng)an，所以可以使用裂項(xiàng)相消法解析：an，Sn.歸納拓展裂項(xiàng)相消求和就是將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng)使數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項(xiàng)，從而達(dá)到求和的目的常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：(1)；(2)；(3)；(4)()；(5)anSnSn1(n2)變式遷移8已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，求an的前n項(xiàng)和Sn.解析：，Sn1.四、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.分析：此數(shù)列非等差數(shù)列也非等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式an可以認(rèn)為是一個(gè)等差數(shù)列bnn與一個(gè)等比數(shù)列cn相乘得到的，可以用乘公比錯(cuò)位相減法來(lái)求解解析：Sna1a2a3an，Sn123n，Sn12(n1)n，得：Snnn1n，Sn2.歸納拓展若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成的新數(shù)列為anbn，當(dāng)求該數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常常采用將anbn的各項(xiàng)乘以公比，并向后錯(cuò)一項(xiàng)與anbn的同項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，這種求和的方法稱為錯(cuò)位相減法變式遷移9求和：Sn12422723(3n2)2n.解析：因?yàn)镾n124227233(n1)22n1(3n2)2n，2Sn1224233(n1)22n(3n2)2n1，所以得Sn1232232332n(3n2)2n13(2222n)(3n2)2n143(2n12)(3n2)2n1432n163n2n12n242n23(1n)2n110.所以Sn3(n1)2n12n210.五、倒序相加法求和設(shè)f(x)，利用教科書(shū)上推導(dǎo)數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值為_(kāi)分析：若直接求解則相當(dāng)麻煩，考慮f(x)的特點(diǎn)及f(5)，f(6)；f(4)，f(5)；的特點(diǎn)，f(x)與f(1x)是否有某種特別的聯(lián)系，如果有則可以用求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法解答此題解析：f(x)，f(1x).f(x)f(1x).設(shè)Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，倒過(guò)來(lái)，則有Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，2Sf(5)f(6)f(4)f(5)f(6)f(5)6.S3.歸納拓展此題運(yùn)用了倒序相加法求得所給函數(shù)值的和，由此可以看出，熟練掌握重要的定理、公式的推導(dǎo)過(guò)程是非常重要的，它有助于同學(xué)們理解各種解題方法，強(qiáng)化思維過(guò)程的訓(xùn)練當(dāng)數(shù)列an滿足akank常數(shù)時(shí)，可用倒序相加法求數(shù)列an的前n項(xiàng)和變式遷移10設(shè)f(x)，求和Sf(2 014)f(2 013)f(2 012)f(1)ffff.解析：f(x)，f，f(x)f1，Sf(2 014)f(2 013)f(1)ff，又Sfff(1)f(2)f(2 014)，兩式相加得2S2 0142 013，S.題型3數(shù)列應(yīng)用題一、與等差數(shù)列有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題有30根水泥電線桿，要運(yùn)往1 000米遠(yuǎn)的地方安裝，在1 000米處放一根，以后每隔50米放一根，一輛汽車每次只能運(yùn)三根，如果用一輛汽車完成這項(xiàng)任務(wù)(完成任務(wù)回到原處)，那么這輛汽車的行程共為多少千米？分析：讀懂題意，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，關(guān)鍵要找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差，弄清an還是Sn.解析：如下圖所示，假定30根水泥電線桿存放在M處，則a1MA1 000，a2MB1 050，a3MC1 100，a6a35031 250，a30a31509，由于一輛汽車每次只能裝3根，故每運(yùn)一次只能到a3，a6，a9，a30，這些地方，這樣組成公差為150，首項(xiàng)為1 100的等差數(shù)列，令汽車的行程為S，則S2(a3a6a30)2(a3a31501a31509)235.5(千米)，即這輛汽車的行程為35.5千米歸納拓展對(duì)于與等差數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題，要善于發(fā)現(xiàn)“等差”的信息，如“每一年比上一年多(少)”“一個(gè)比一個(gè)多(少)”等，此時(shí)可化歸為等差數(shù)列，明確已知a1，an，n，d，Sn中的哪幾個(gè)量，求哪幾個(gè)量，選擇哪一個(gè)公式變式遷移11有一種零存整取的儲(chǔ)蓄項(xiàng)目，它是每月某日存入一筆相同金額，這是零存，到一定時(shí)期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取，它的本利和公式如下：本利和每期存入金額.(1)試解釋這個(gè)本利和公式解析：(1)設(shè)每期存入金額為A，每期利率為p，存的期數(shù)為n，則各期利率之和為Ap2Ap3ApnApn(n1)Ap，連同本金可得本利和nAn(n1)ApA.(2)若每月初存入100元，月利率為5.1，則到第12個(gè)月底的本利和是多少？解析：(2)當(dāng)A100，p5.1，n12時(shí)，本利和1001 239.78(元)(3)若每月初存入一筆金額，月利率是5.1，希望到第12個(gè)月底取得本利和2000元，那么每月初應(yīng)存入多少錢？解析：(3)將(1)中公式變形，得A161.32(元)，即每月初應(yīng)存入161.32元二、與等差、等比數(shù)列有關(guān)的綜合應(yīng)用題某工廠三年的生產(chǎn)計(jì)劃中，從第二年起，每一年比上一年增長(zhǎng)的產(chǎn)值都相同，三年的總產(chǎn)值為300萬(wàn)元，如果第一年、第二年、第三年分別比原計(jì)劃的年產(chǎn)值多10萬(wàn)元、10萬(wàn)元、11萬(wàn)元，那么每一年比上一年的產(chǎn)值增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)都相同，求原計(jì)劃中每年的產(chǎn)值分析：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列，弄清哪部分為等差數(shù)列或等比數(shù)列，結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)求解解析：由題意得原計(jì)劃三年中每年的產(chǎn)值組成等差數(shù)列，設(shè)為ad，a，ad(d0)，則有(ad)a(ad)300，解得a100.又由題意得(ad)10，a10，(ad)11組成等比數(shù)列，(a10)2(ad)10(ad)11，將a100代入上式，得1102(110d)(111d)，d2d1100，解得d10，或d11(舍)，原計(jì)劃三年中每年的產(chǎn)值分別為90萬(wàn)元、100萬(wàn)元、110萬(wàn)元?dú)w納拓展讀懂題意，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，找準(zhǔn)首項(xiàng)，公比(差)，弄清求什么混合型應(yīng)用題常有兩種解法：一是歸納法，歸納出前n次(項(xiàng))，尋找規(guī)律，再寫出前n次(項(xiàng))的通項(xiàng)(前n項(xiàng)和)，此時(shí)要注意下標(biāo)或指數(shù)的規(guī)律第二個(gè)方法是逆推法，尋找前后兩項(xiàng)的逆推關(guān)系，再?gòu)哪嫱脐P(guān)系求an，Sn，此時(shí)應(yīng)注意第n1次變到第n次的變化過(guò)程變式遷移12某地房?jī)r(jià)從2004年的1 000元/m2增加到十年后2014年的5 000元/m2，問(wèn)平均每年增長(zhǎng)百分之幾？(注意：當(dāng)x(0,0.2)時(shí)，ln(x1)x，取lg 20.3，ln 102.3)解析：設(shè)年增長(zhǎng)率為x，則每年的房?jī)r(jià)依次排列組成首項(xiàng)為1 000，公比為(1x)的等比數(shù)列由題意可得1 000(1x)105 000，即(1x)105，取自然對(duì)數(shù)有10ln(1x)ln 5ln 10 lg 52.3(1lg 2)1.61，再利用ln(x1)x，可得x0.1616%.答：每年約增長(zhǎng)16%.