高中數(shù)學新教材變式題1：《集合與函數(shù)》.doc

一、集合與函數(shù)1（人教版第14頁B組第1題）已知集合，集合滿足，則集合有 個.變式1：已知集合，集合滿足，集合與集合之間滿足的關(guān)系是 解：變式2：已知集合有個元素，則集合的子集個數(shù)有 個，真子集個數(shù)有 個解：子集個數(shù)有個，真子集個數(shù)有個變式3：滿足條件的所有集合的個數(shù)是 個解：3必須在集合里面，的個數(shù)相當于2元素集合的子集個數(shù)，所以有4個.設(shè)計意圖：考察集合的運算與集合之間的關(guān)系2（人教版第14頁A組第10題）已知集合，求，變式1：已知全集且則等于 A.BCD解：答案為C，集合，所以，集合，所以為變式2：設(shè)集合，則等于（ ）A B C D解：，所以，故選B。變式3已知集合集合則等（A）（B）（C）（D）解：集合，所以答案為D. 設(shè)計意圖：結(jié)合不等式考察集合的運算3（北師大版第21頁B組第2題）已知集合，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求集合和，若不存在，請說明理由.變式1：已知集合A1，3，21，集合B3，若，則實數(shù) 解：由已知變式2：，且，則的取值范圍是_ .解：，當時，當時，所以或，所以或，所以變式3：設(shè)，且，求實數(shù)的值.解：，因為，所以，所以或或或，當時，當或時， ，符合題意，當時，所以或設(shè)計意圖：結(jié)合參數(shù)討論考察集合運算4（北師大版第38頁B組第1題）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的定義域.變式1： 函數(shù)的定義域是 A. B. C. D. 解：由，故選B.變式2：設(shè)，則的定義域為 A. B. C. D. 解：選C.由得，的定義域為。故，解得。故的定義域為設(shè)計意圖：考察函數(shù)的定義域5（人教版第84頁B組第4題）已知函數(shù)，且（1） 求函數(shù)定義域（2） 判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.變式1：已知是偶函數(shù)，定義域為.則 ， 解：函數(shù)是偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱.，變式2：函數(shù)的圖象關(guān)于 （ ） A軸對稱 B軸對稱 C原點對稱 D直線對稱解：函數(shù)定義域為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱.變式3：若函數(shù)是奇函數(shù)，則 解：由于是奇函數(shù)，即，又，設(shè)計意圖：考察定義域與奇偶性6（人教版83頁B組第2題）若，且，求實數(shù)的取值范圍.變式1：若，則的取值范圍是 （ ）ABCD解：當時，若，則，當時，若，則，此時無解！所以選C變式2：設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是（A）（B）（C）（D）解：要使，且，所以，又，故選C.設(shè)計意圖:考察對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性7（人教A版126頁B組第1題）經(jīng)濟學家在研究供求關(guān)系時，一般用縱軸表示產(chǎn)品價格（自變量），而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？（圖略）變式1：某地一年的氣溫Q（t）（單位：）與時間t（月份）之間的關(guān)系如圖（1）所示，已知該年的平均氣溫為10，令G（t）表示時間段0，t的平均氣溫，G（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的應該是（ ）10cG(t)10cG(t)G(t)10cttt1266O12612OO圖（1） BAD10cG(t)O612tCG(t)10c612tO 答案：A變式2：為了穩(wěn)定市場，確保農(nóng)民增收，某農(nóng)產(chǎn)品的市場收購價格與其前三個月的市場收購價格有關(guān)，且使與其前三個月的市場收購價格之差的平方和最小若下表列出的是該產(chǎn)品前6個月的市場收購價格：月份1234567價格（元/擔）687867717270則7月份該產(chǎn)品的市場收購價格應為 （ ）A69元 B70元C71元D72元答案：C設(shè)計意圖：考察學生讀圖、讀表的能力8（人教版43頁B組第3題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在上是減函數(shù)，判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷.變式1：下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是A. B. C. D. 解：B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是奇函數(shù),是減函數(shù);故選A.變式2：函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若,則實數(shù)的取值范圍是 （ ）A. B. C. D.或解：當時，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以若，則，當時，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且，故選D設(shè)計意圖：考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系9（人教版第49頁B組第4題）已知函數(shù)，求，的值變式1：設(shè)則_解：.變式2：已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 A.B.C.D.解：分段函數(shù)的單調(diào)性需分段處理.答案選C變式3：設(shè)函數(shù)f（x）= 則使得f（x）1的自變量x的取值范圍為A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，10解：當x1時，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1.當x1時，f（x）14131x10.綜上，知x2或0x10.答案：A設(shè)計意圖：考察分段函數(shù)的概念和性質(zhì)10（北師大版54頁A組第5題）對于下列函數(shù)，試求它們在指定區(qū)間上的最大值或最小值，并指出這時的值（2），變式1：函數(shù)在0，1上的最大值與最小值的和為3，則的值為（ ）A B.2 C.4 D.解：當或時，函數(shù)都是定義域上的單調(diào)函數(shù)，故選C.變式2：若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則的值為（ ）ABCD解：，是定義域上的減函數(shù)，所以，故選A設(shè)計意圖：考察函數(shù)的最值11.（人教版65頁第8題）已知下列等式，比較，的大小（1） (2)變式1：設(shè)，那么 （ ）A.aab B.a baC.aab D.aba解：由，在A和B中，在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以結(jié)論不成立.在C中，在內(nèi)是單調(diào)遞增的，又，所以答案為C.變式2：已知，則 （ ）A B. B. D.解：由已知，因為在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以答案為A.變式3：已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱，記若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（） A B C D 分析：本題根據(jù)反函數(shù)的定義求出的解析式，再用換元法判斷的單調(diào)性，結(jié)合條件在區(qū)間上是增函數(shù)，求出實數(shù)的取值范圍是，答案為D設(shè)計意圖：考察指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性12（人教版48頁A組第8題）設(shè)，求證：（1） （2）變式1：函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則_.解：，又，變式2：若奇函數(shù)滿足，則 解：由已知，令，則，又是奇函數(shù)，所以，變式3：函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于A.B.C.D.解析：由題知 以代，式得，即 +得答案：A設(shè)計意圖：考察函數(shù)的抽象運算與綜合性質(zhì)13（人教版第49頁B組第5題）證明：(1)若，則(2)若，則變式1：如圖所示，是定義在0，1上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對0，1中任意的和，任意恒成立”的只有（ ） A和 BC和D解：當時，符合條件的函數(shù)是凹函數(shù)，從圖像可看出有和，選擇A.變式2：.設(shè)函數(shù)=的圖象如下圖所示，則a、b、c的大小關(guān)系是 A.abcB.acbC.bacD.cab解析：f（0）=0，b=0.f（1）=1，=1.a=c+1.由圖象看出x0時，f（x）0，即x0時，有0，a0.又f（x）= ，當x0時，要使f（x）在x=1時取最大值1，需x+2，當且僅當x=1時.c=1，此時應有f（x）=1.a=2.答案：B變式3：如圖所示，單位圓中弧AB的長為表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的倍，則函數(shù)的圖象是 答案：( D )設(shè)計意圖：考察圖象與式子運算的能力14：（北師大版136頁B組第1題）判斷下列方程在（0，10）內(nèi)是否存在實數(shù)解，并說明理由.(1) （2）變式1：設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 當時，證明.分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式. 證明：由題意可知., , 當時，.又, ,綜上可知，所給問題獲證. 變式2：已知二次函數(shù) （1）若a>b>c，且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點； （2）在（1）的條件下，是否存在mR，使得f（m）= a成立時，f（m+3）為正數(shù)，若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，說明理由； （3）若對，方程有2個不等實根，解:（1） 的圖象與x軸有兩個交點. （2），1是的一個根，由韋達定理知另一根為， 在（1，+）單調(diào)遞增，即存在這樣的m使 （3）令，則是二次函數(shù). 有兩個不等實根，且方程的根必有一個屬于.設(shè)計意圖：考察函數(shù)的零點15（北師大版第66頁B組第3題）求二次函數(shù)在區(qū)間【0，1】上的最小值的表達式.變式1：設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為g(a).（）設(shè)t，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)（）求g(a)（）試求滿足的所有實數(shù)a解：（I），要使有意義，必須且，即，且 的取值范圍是。由得：，。（II）由題意知即為函數(shù)，的最大值，直線是拋物線的對稱軸，可分以下幾種情況進行討論：（1）當時，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線的一段，由知在上單調(diào)遞增，故；（2）當時，有=2；（3）當時，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段，若即時，若即時，若即時，。綜上所述，有=。（III）當時，； 當時，故當時，；當時，由知：，故；當時，故或，從而有或，要使，必須有，即，此時，。綜上所述，滿足的所有實數(shù)a為：或。設(shè)計意圖：考察二次函數(shù)的最值與分類討論的思想16（人教版84頁B組第5題）試著舉幾個滿足“對定義域內(nèi)任意實數(shù)，都有”的函數(shù)例子.變式1：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是N*，且，則f（25）= _.解析：由同理，f（3）f（2）=3.f（25）f（24）=25.f（25）=1+2+3+25=325.答案：325變式2：設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，都有（1）設(shè)，求 （2）證明是周期函數(shù).（1）解：由知， x0，1.因為f（1）=f（）f（）=f（）2，及f（1）=2，所以f（）=2.因為f（）=f（）f（）=f（）2，及f（）=2，所以f（）=2.（2）證明：依題設(shè)關(guān)于直線x=1對稱，故f（x）=f（1+1x）f（x）=f（2x），xR.又由f（x）是偶函數(shù)知f（x）=f（x），xR，所以f（x）=f（2x），xR.將上式中x以x代換，得f（x）=f（x+2），xR.這表明是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期.變式3：設(shè)函數(shù)定義在R上，對任意實數(shù)m、n，恒有且當（1）求證：f（0）=1，且當x0時，f（x）1；（2）求證：f（x）在R上遞減；（3）設(shè)集合A=（x，y）|f（x2）f（y2）f（1），B=（x，y）|f（axy+2）=1，aR，若AB=，求a的取值范圍.（1）證明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.0f（1）1，f（0）=1.設(shè)x0，則x0.令m=x，n=x，代入條件式有f（0）=f（x）f（x），而f（0）=1，f（x）=1.（2）證明：設(shè)x1x2，則x2x10，0f（x2x1）1.令m=x1，m+n=x2，則n=x2x1，代入條件式，得f（x2）=f（x1）f（x2x1），即01.f（x2）f（x1）.f（x）在R上單調(diào)遞減.（3） 解：由又由（2）知f（x）為R上的減函數(shù)，點集A表示圓的內(nèi)部.由f（axy+2）=1得axy+2=0點集B表示直線axy+2=0.AB=，直線axy+2=0與圓相離或相切。于是設(shè)計意圖：考察抽象函數(shù)的性質(zhì)及抽象運算的能力和數(shù)形結(jié)合的思想。