概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案下.doc

習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=03.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長方形域內(nèi)的概率.【解】如圖 題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P0X<1，0Y<2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) 5.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數(shù)k；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX<1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性質(zhì)有故 （2） (3) (4) 題5圖6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） PYX.題6圖【解】（1） 因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而所以 (2) 7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求（X，Y）的聯(lián)合分布密度.【解】8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題8圖 題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 試確定常數(shù)c；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 得.(2) 11.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fYX（yx），fXY（xy）. 題11圖【解】 所以 12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表YX345120300(2) 因故X與Y不獨(dú)立13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X與Y不獨(dú)立.14.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.【解】（1） 因 故 題14圖(2) 方程有實(shí)根的條件是故 X2Y，從而方程有實(shí)根的概率為： 15.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當(dāng)z0時(shí)，（2） 當(dāng)0<z<1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=）(如圖a) 題15圖(3) 當(dāng)z1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b） 即 故 16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，202）分布.隨機(jī)地選取4 只，求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則XiN（160，202），從而 17.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為PX=k=p（k），k=0，1，2，PY=r=q（r），r=0，1，2，.證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為PZ=i=，i=0，1，2，.【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以 于是 18.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，2n. 方法二：設(shè)1,2,n;1,2,，n均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則X=1+2+n，Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+n,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布.19.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求PX=2Y=2，PY=3X=0；（2） 求V=max（X，Y）的分布律；（3） 求U=min（X，Y）的分布律；（4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1） （2） 所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)類似上述過程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，Y）在屏幕上服從均勻分布.（1） 求PY0YX；（2） 設(shè)M=maxX，Y，求PM0.題20圖【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為（1） (2) 21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖【解】區(qū)域D的面積為 （X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以22.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處. XYy1 y2 y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨(dú)立，故,從而即： 又即從而同理 又,故.同理從而故YX123.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為(>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布.【解】(1) .(2) 24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其中X的概率分布為X，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為 由于X和Y獨(dú)立，可見 由此，得U的概率密度為 25. 25. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y1.解：因?yàn)殡S即變量服從0，3上的均勻分布，于是有 因?yàn)閄，Y相互獨(dú)立，所以推得 .26. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為XY -1 0 1 -101a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)= -0.2,PY0|X0=0.5，記Z=X+Y.求：（1） a,b,c的值；（2） Z的概率分布；（3） PX=Z. 解 (1) 由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由，可得.再由 ,得 .解以上關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程得.(2) Z的可能取值為-2，-1，0，1，2，即Z的概率分布為Z-2 -1 0 1 2P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .習(xí)題四1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，求任意取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.【解】設(shè)任取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為X012345P故 3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X -1 0 1Pp1 p2 p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因,又,由聯(lián)立解得4.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機(jī)變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？【解】記A=從袋中任取1球?yàn)榘浊颍瑒t 5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試確定常數(shù)k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值 由X與Y的獨(dú)立性，得 方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨(dú)立，故聯(lián)合密度為于是10.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）.【解】 從而(1)(2)11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求（1） 系數(shù)c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 12.袋中有12個(gè)零件，其中9個(gè)合格品，3個(gè)廢品.安裝機(jī)器時(shí)，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺(tái)設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元，試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和 -200元 故 (元).14.設(shè)X1，X2，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2，n，記，S2=.（1） 驗(yàn)證=， =；（2） 驗(yàn)證S2=；（3） 驗(yàn)證E（S2）=2.【證】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.從而 15.對(duì)隨機(jī)變量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,計(jì)算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).16.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|1時(shí)， 當(dāng)|y|1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.17.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY -1 0 1 -1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X -101 PY -101 PXY -101 P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知XY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨(dú)立的.18.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為題18圖從而同理而 所以.從而 19.設(shè)（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)XY.【解】 從而同理 又 故 20.已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相關(guān)系數(shù).【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.從而 故 21.對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量V，W，若E（V2），E（W2）存在，證明：E（VW）2E（V2）E（W2）.這一不等式稱為柯西許瓦茲（Couchy -Schwarz）不等式.【證】令顯然 可見此關(guān)于t的二次式非負(fù)，故其判別式0，即 故22.假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時(shí)間X服從參數(shù)=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F（y）. 【解】設(shè)Y表示每次開機(jī)后無故障的工作時(shí)間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時(shí)間XE(),E(X)=5.依題意Y=min(X,2).對(duì)于y<0,f(y)=PYy=0.對(duì)于y2,F(y)=P(Xy)=1.對(duì)于0y<2,當(dāng)x0時(shí)，在(0,x)內(nèi)無故障的概率分布為PXx=1 -e -x,所以F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PXy=1 -e -y/5.23.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為, Z=k0123Pk因此，(2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式有 24.假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（,1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系T=問：平均直徑取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？ 【解】 故得 兩邊取對(duì)數(shù)有解得 (毫米)由此可得，當(dāng)u=10.9毫米時(shí)，平均利潤最大.25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望.（2002研考）【解】令 則.因?yàn)榧?所以,從而26.兩臺(tái)同樣的自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障工作的時(shí)間Ti(i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開啟.試求兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間T=T1+T2的概率密度fT(t)，數(shù)學(xué)期望E（T）及方差D（T）. 【解】由題意知：因T1,T2獨(dú)立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).當(dāng)t<0時(shí)，fT(t)=0;當(dāng)t0時(shí)，利用卷積公式得故得由于Ti E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2獨(dú)立，所以D（T）=D（T1+T2）=.27.設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X -Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X -Y，由于且X和Y相互獨(dú)立，故ZN（0，1）.因 而 ，所以 .28.某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p(0<p<1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)，即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X，求E（X）和D（X）. 【解】記q=1 -p,X的概率分布為PX=i=qi -1p,i=1,2,，故又 所以 題29圖29.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布在點(diǎn)（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY) -E(X)E(Y).由條件知X和Y的聯(lián)合密度為 從而因此同理可得 于是 30.設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間 -2,2上服從均勻分布，隨機(jī)變量X= Y=試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 為求X和Y的聯(lián)合概率分布，就要計(jì)算（X，Y）的4個(gè)可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.Px= -1,Y= -1=PU -1,U1 PX= -1,Y=1=PU -1,U>1=P=0,PX=1,Y= -1=PU> -1,U1.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相應(yīng)為, .從而 所以31.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=，（ -<x<+）(1) 求E（X）及D（X）；（2） 求Cov(X,|X|),并問X與|X|是否不相關(guān)？（3） 問X與|X|是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) (2) 所以X與|X|互不相關(guān).(3) 為判斷|X|與X的獨(dú)立性，需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷，為此，對(duì)定義域 -<x<+中的子區(qū)間（0,+）上給出任意點(diǎn)x0，則有所以故由得出X與|X|不相互獨(dú)立.32.已知隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)XY= -1/2，設(shè)Z=.（1） 求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2） 求X與Z的相關(guān)系數(shù)XZ；（3） 問X與Z是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 (3) 由，得X與Z不相關(guān).又因，所以X與Z也相互獨(dú)立.33.將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次數(shù).試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由條件知X+Y=n，則有D（X+Y）=D（n）=0.再由XB(n,p),YB(n,q)，且p=q=,從而有 所以 故= -1.34.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YX -1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布為YX -101P0.080.720.2所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)=0.12 -0.60.2=0從而 =035.對(duì)于任意兩事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,則稱=為事件A和B的相關(guān)系數(shù).試證：（1） 事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是=0；（2） |1. 【證】（1）由的定義知，=0當(dāng)且僅當(dāng)P(AB) -P(A)P(B)=0.而這恰好是兩事件A、B獨(dú)立的定義，即=0是A和B獨(dú)立的充分必要條件.(2) 引入隨機(jī)變量X與Y為 由條件知，X和Y都服從0 -1分布，即 從而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P(),D(Y)=P(B)P(),Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)P(B)所以，事件A和B的相關(guān)系數(shù)就是隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).于是由二元隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)可得|1.36. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3). 解： (1) Y的分布函數(shù)為.當(dāng)y0時(shí)， ，；當(dāng)0y1時(shí)，；當(dāng)1y<4時(shí)， ；當(dāng)y4時(shí)，.故Y的概率密度為(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .習(xí)題五1.一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X.估計(jì)P10<X<18.【解】設(shè)表每次擲的點(diǎn)數(shù)，則 從而 又X1,X2,X3,X4獨(dú)立同分布.從而 所以 2. 假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與84%之間的概率不小于90%，問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,n,且X1，X2，Xn獨(dú)立同分布，p=PXi=1=0.8.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n268.96, 故取n=269.3. 某車間有同型號(hào)機(jī)床200部，每部機(jī)床開動(dòng)的概率為0.7，假定各機(jī)床開動(dòng)與否互不影響，開動(dòng)時(shí)每部機(jī)床消耗電能15個(gè)單位.問至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車間同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床數(shù)目最大值m，而m要滿足200部機(jī)床中同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床數(shù)目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應(yīng)15m單位電能就可滿足要求.令X表同時(shí)開動(dòng)機(jī)床數(shù)目，則XB（200，0.7）, 查表知 ,m=151.所以供電能15115=2265（單位）.4. 一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk（k=1，2，20），設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布.記V=，求PV105的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,20由中心極限定理知，隨機(jī)變量于是 即有 PV>1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設(shè)100根中有X根短于3m，則XB（100，0.2）從而 6. 某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對(duì)于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1） 若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2） 若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？【解】令(1) XB(100,0.8)， (2) XB(100,0.7)， 7. 用Laplace中心極限定理近似計(jì)算從一批廢品率為0.05的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X，則p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故 8. 設(shè)有30個(gè)電子器件.它們的使用壽命T1，T30服從參數(shù)=0.1單位：（小時(shí)）-1的指數(shù)分布，其使用情況是第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用，以此類推.令T為30個(gè)器件使用的總計(jì)時(shí)間，求T超過350小時(shí)的概率.【解】 故9. 上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計(jì)劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用（假定一年有306個(gè)工作日，每個(gè)工作日為8小時(shí)）.【解】設(shè)至少需n件才夠用.則E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.從而即故所以需272a元.10. 對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、1 名家長、2名家長來參加會(huì)議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長數(shù)相與獨(dú)立，且服從同一分布.（1） 求參加會(huì)議的家長數(shù)X超過450的概率？（2） 求有1名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)記第i個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長數(shù).則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心極限定理得于是 (2) 以Y記有一名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù).則YB(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得11. 設(shè)男孩出生率為0.515，求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，則XB（10000，0.515）要求女孩個(gè)數(shù)不少于男孩個(gè)數(shù)的概率，即求PX5000. 由中心極限定理有12. 設(shè)有1000個(gè)人獨(dú)立行動(dòng)，每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計(jì)，在一次行動(dòng)中：（1）至少有多少個(gè)人能夠進(jìn)入？（2）至多有多少人能夠進(jìn)入？【解】用Xi表第i個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體（i=1,2,1000）.令 Sn=X1+X2+X1000.(1) 設(shè)至少有m人能夠進(jìn)入掩蔽體，要求PmSn10000.95，事件由中心極限定理知：從而 故 所以 m=900-15.65=884.35884人(2) 設(shè)至多有M人能進(jìn)入掩蔽體，要求P0SnM0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65916人.13. 在一定保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi).求：（1） 保險(xiǎn)公司沒有利潤的概率為多大；（2） 保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險(xiǎn)者的死亡人數(shù)，則XB（10000，0.006）.(1) 公司沒有利潤當(dāng)且僅當(dāng)“1000X=1000012”即“X=120”.于是所求概率為 (2) 因?yàn)椤肮纠麧?0000”當(dāng)且僅當(dāng)“0X60”于是所求概率為 14. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契比雪夫不等式給出P|X-Y|6的估計(jì). （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以15. 某保險(xiǎn)公司多年統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠戶中，因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù).（1） 寫出X的概率分布；（2） 利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X可看作100次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，被盜戶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗(yàn)中被盜戶出現(xiàn)的概率是0.2，因此，XB(100,0.2)，故X的概率分布是(2) 被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率即為事件14X30的概率.由中心極限定理，得 16. 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.【解】設(shè)Xi（i=1,2,n）是裝運(yùn)i箱的重量（單位：千克），n為所求的箱數(shù)，由條件知，可把X1，X2，Xn視為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，而n箱的總重量Tn=X1+X2+Xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和，由條件知： 依中心極限定理，當(dāng)n較大時(shí)，,故箱數(shù)n取決于條件 因此可從解出n<98.0199,即最多可裝98箱.習(xí)題六1.設(shè)總體XN（60，152），從總體X中抽取一個(gè)容量為100的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于3的概率.【解】=60,2=152,n=100即 2.從正態(tài)總體N（4.2，52）中抽取容量為n的樣本，若要求其樣本均值位于區(qū)間（2.2,6.2）內(nèi)的概率不小于0.95，則樣本容量n至少取多大？【解】 則(0.4)=0.975，故0.4>1.96,即n>24.01，所以n至少應(yīng)取253.設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命XN（1000，2）（單位：小時(shí)），隨機(jī)抽取一容量為9的樣本，并測得樣本均值及樣本方差.但是由于工作上的失誤，事后失去了此試驗(yàn)的結(jié)果，只記得樣本方差為S2=1002，試求P（1062）.【解】=1000,n=9，S2=10024.從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，假定有2%的樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值在4以上，求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.【解】，由P(|-|>4)=0.02得P|Z|>4(/n)=0.02,故,即查表得 所以 5.設(shè)總體XN（，16），X1，X2，X10是來自總體X的一個(gè)容量為10的簡單隨機(jī)樣本，S2為其樣本方差，且P（S2a）=0.1，求a之值.【解】查表得 所以 6.設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X1，X2，Xn是來自總體X的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，試問統(tǒng)計(jì)量Y=，n5服從何種分布？【解】且與相互獨(dú)立.所以7.求總體XN（20，3）的容量分別為10，15的兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本平均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率.【解】令的容量為10的樣本均值，為容量為15的樣本均值,則N(20,310), N(20,)，且與相互獨(dú)立.則那么所以 8.設(shè)總體XN（0，2）,X1,X10,X15為總體的一個(gè)樣本.則Y= 服從 分布,參數(shù)為 . 【解】i=1,2,15.那么且與相互獨(dú)立,所以所以YF分布，參數(shù)為（10,5）.9.設(shè)總體XN（1,2）,總體YN(2,2),X1,X2,和Y1，Y2，分別來自總體X和Y的簡單隨機(jī)樣本，則= . 【解】令 則 又那么 10.設(shè)總體XN（,2），X1，X2，X2n（n2）是總體X的一個(gè)樣本，令Y=，求EY. 【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,n.則ZiN(2,22)(1in),且Z1,Z2,Zn相互獨(dú)立.令 則 故 那么所以11. 設(shè)總體X的概率密度為f(x)= (-<x<+),X1，X2，Xn為總體X的簡單隨機(jī)樣本，其樣本方差為S2，求E(S2).解： 由題意，得于是 所以.習(xí)題七1.設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn為來自X的樣本，求參數(shù)p的矩法估計(jì).【解】因此np=所以p的矩估計(jì)量 2.設(shè)總體X的密度函數(shù)f（x,）=X1，X2，Xn為其樣本，試求參數(shù)的矩法估計(jì).【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估計(jì)量為 3.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f（x，），X1，X2，Xn為其樣本，求的極大似然估計(jì).（1） f（x，）=（2） f（x，）=【解】（1） 似然函數(shù)由知所以的極大似然估計(jì)量為.(2) 似然函數(shù),i=1,2,n.由知所以的極大似然估計(jì)量為 4.從一批炒股票的股民一年收益率的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取10人的收益率數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：序號(hào)12345678910收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求這批股民的收益率的平均收益率及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值.【解】 由知,即有于是 所以這批股民的平均收益率的矩估計(jì)值及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值分別為-0.94和0.966.5.隨機(jī)變量X服從0，上的均勻分布，今得X的樣本觀測值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估計(jì)和極大似然估計(jì)，它們是否為的無偏估計(jì).【解】(1) ,令，則且,所以的矩估計(jì)值為且是一個(gè)無偏估計(jì).(2) 似然函數(shù),i=1,2,8.顯然L=L()(>0)，那么時(shí)，L=L()最大,所以的極大似然估計(jì)值=0.9.因?yàn)镋()=E(),所以=不是的無偏計(jì).6.設(shè)X1，X2，Xn是取自總體X的樣本，E（X）=，D（X）=2， =k,問k為何值時(shí)為2的無偏估計(jì).【解】令 i=1,2,n-1,則 于是 那么當(dāng),即時(shí),有 7.設(shè)X1，X2是從正態(tài)總體N（，2）中抽取的樣本試證都是的無偏估計(jì)量，并求出每一估計(jì)量的方差.【證明】（1）,所以均是的無偏估計(jì)量.(2) 8.某車間生產(chǎn)的螺釘，其直徑XN（，2），由過去的經(jīng)驗(yàn)知道2=0.06,今隨機(jī)抽取6枚，測得其長度（單位mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2試求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】n=6,2=0.06,=1-0.95=0.05,的置信度為0.95的置信區(qū)間為.9.總體XN(,2)，2已知，問需抽取容量n多大的樣本，才能使的置信概率為1-，且置信區(qū)間的長度不大于L？【解】由2已知可知的置信度為1-的置信區(qū)間為,于是置信區(qū)間長度為,那么由L,得n10.設(shè)某種磚頭的抗壓強(qiáng)度XN（，2），今隨機(jī)抽取20塊磚頭，測得數(shù)據(jù)如下（kgcm-2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.（2） 求2的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】 (1) 的置信度為0.95的置信區(qū)間(2)的置信度為0.95的置信區(qū)間