高中數(shù)學(xué)選修2-3《離散型隨機(jī)變量》復(fù)習(xí).doc

相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1.了解相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率.2.會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率.二建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1相互獨(dú)立事件：事件（或）是否發(fā)生對(duì)事件（或）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互獨(dú)立.3相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：事件相互獨(dú)立， 2.互斥事件與相互獨(dú)立事件是有區(qū)別的：互斥事件與相互獨(dú)立事件研究的都是兩個(gè)事件的關(guān)系,但而互斥的兩個(gè)事件是一次實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，相互獨(dú)立的兩個(gè)事件是在兩次試驗(yàn)中得到的，注意區(qū)別。如果A、B相互獨(dú)立，則P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）如:某人射擊一次命中的概率是0.9,射擊兩次,互不影響,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.90.9=0.99,(也即1-0.10.1=0.99)4.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：在同樣條件下進(jìn)行的各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn).6獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事恰好發(fā)生K次的概率:.k=n時(shí),即在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A全部發(fā)生,概率為Pn(n)=Cnnpn(1p)0 =pnk=0時(shí),即在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A沒(méi)有發(fā)生,概率為Pn()=Cn0p0(1p)n =(1p)n三、雙基題目練練手1.從應(yīng)屆高中生中選出飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一學(xué)生，則該生三項(xiàng)均合格的概率為（假設(shè)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響） ( )A.B.C.D.2 (2005天津)某人射擊一次擊中的概率為0.6,經(jīng)過(guò)3次射擊,此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為 （ ）A B C D3.甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p1，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是 ( )A. p1p2B.p1（1p2）+p2（1p1）C.1p1p2D.1（1p1）（1p2）4.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為_(kāi).（精確到0.01）5.一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，甲生解出它的概率為，乙生解出它的概率為，丙生解出它的概率為，由甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題只有一人解出的概率為_(kāi).6.一出租車(chē)司機(jī)從飯店到火車(chē)站途中有六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.那么這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過(guò)了兩個(gè)交通崗的概率是_.簡(jiǎn)答:1-3.CAB; 4. 0.94; 5.P=+ + =.6.P=（1）（1）=.經(jīng)典例題做一做【例1】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為求：（）甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率；（）乙至少擊中目標(biāo)2次的概率；（）乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率.解：（I）甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率為（II）乙至少擊中目標(biāo)2次的概率為（III）設(shè)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次為事件A，乙恰好擊中目標(biāo)2次且甲恰好擊中目標(biāo)0次為事件B1，乙恰好擊中目標(biāo)3次且甲恰好擊中目標(biāo)1次為事件B2，則A=B1+B2，B1，B2為互斥事件. P（A）=P（B1）+P（B2） 所以，乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率為【例2】甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球.兩甲，乙兩袋中各任取2個(gè)球.()若n=3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；()若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為，求n.解：（I）記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件.（II）記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件.由題意，得 所以，化簡(jiǎn)，得 解得，或（舍去），故 .提煉總結(jié)以為師1.正確理解概念,能準(zhǔn)確判斷是否相互獨(dú)立事件,只有對(duì)于相互獨(dú)立事件A與B來(lái)說(shuō)，才能運(yùn)用公式P（AB）=P（A）P（B）.2.對(duì)于復(fù)雜的事件要能將其分解為互斥事件的和或獨(dú)立事件的積，或先計(jì)算對(duì)立事件.3.善于發(fā)現(xiàn)或?qū)?wèn)題化為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題,進(jìn)而計(jì)算發(fā)生k次的概率.離散型隨機(jī)變量的分布列一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)了解離散型隨機(jī)變量的意義，會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列二建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)變量：隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣的變量的隨機(jī)變量，記作等；若是隨機(jī)變量，=a+b，其中是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量.如出租車(chē)?yán)锍膛c收費(fèi).2. 離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定順序一一列出連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值。離散型隨機(jī)變量的研究?jī)?nèi)容：隨機(jī)變量取什么值、取這些值的多與少、所取值的平均值、穩(wěn)定性等。3. 離散型隨機(jī)變量的分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為x1,x2,xi，且P(=xi)=pi，則稱(chēng)x1x2xipp1p2pi為隨機(jī)變量的分布列。(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)：P(=xi)=pi0；p1+p2+=1(2)求分布列的方法步驟：確定隨機(jī)變量的所有取值; 計(jì)算每個(gè)取值的概率并列表。4. 二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取的值為0，1，2，3，n，并且P(=k)=Cnkpkqn-k（其中k=0,1,2,n，p+q=1）,即分布列為01knPCn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0 稱(chēng)這樣的隨機(jī)變量服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作：.5.幾何分布：如：某射擊手擊中目標(biāo)的概率為p,則從射擊開(kāi)始到擊中目標(biāo)所需次數(shù)的分布列為 123kPpqpq2pqk-1p這種種分布列叫幾何分布,記作g(k，p)= qk-1p，其中k0,1,2,，q=1-p三、雙基題目練練手1.袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量，則所有可能取值的個(gè)數(shù)是 ( )A.5 B.9 C.10 D.252.已知隨機(jī)變量的分布列為P（=k）=，k=1，2，則P（2<4）等于A.B.C.D.3.一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了次球，則P（=12）等于A.C（）10（）2B.C（）9（）2C.C（）9（）2D.C（）9（）24.設(shè)隨機(jī)變量B（2，p），B（4，p），若P（1）=，則P（1）=_5.現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占30%，從中任取5粒，記為5粒中的優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則的分布列是_.簡(jiǎn)答:1-3.BAB; 3.第12次為紅球，前11次中9次紅球，P（=12）=C（）9（）2; 4.P（1）=1P（<1）=1Cp0（1p）2=，p=，P（1）=1P（=0）=1C（）0（）4=1=答.5.B（5，03），的分布列是P（=k）=C03k075k，k=0，1，5答案：P（=k）=C03k075k，k=0，1，5經(jīng)典例題做一做【例1】某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，且各次射擊的結(jié)果互不影響。（1）求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率（用數(shù)字作答）；（2）求射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)，恰好射擊了4次的概率（用數(shù)字作答）；（3）設(shè)隨機(jī)變量表示射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)已射擊的次數(shù)，求的分布列解（）：記“射手射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件，則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率 （）解：射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)，恰好射擊了4次的概率（）解：由題設(shè)，“=k”的概率為 （且）所以，的分布列為：34kP【例2】已知盒中有10個(gè)燈泡，其中8個(gè)正品，2個(gè)次品。需要從中取出2個(gè)正品，每次從中取出1個(gè)，取出后不放回，直到取出2個(gè)正品為止，設(shè)為取出的次數(shù)，求的分布列及E。解：；。的分布列表略E。提煉總結(jié)以為師1.會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題用隨機(jī)變量正確表示某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)事件；2.熟練應(yīng)用分布列的兩個(gè)基本性質(zhì)；3.能熟練運(yùn)用二項(xiàng)分布計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率。4.求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：首先確定隨機(jī)變量的取值，明確每個(gè)值的意義；利用概率及排列組合知識(shí)，求出每個(gè)取值的概率；按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證離散型隨機(jī)變量的期望與方差一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差.二建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1.平均數(shù)及計(jì)算方法(1)對(duì)于n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，xn，=（x1+x2+xn）叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)， (2)當(dāng)數(shù)據(jù)x1，x2，xn的數(shù)值較大時(shí)，可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么，= +a.(3)如果在n個(gè)數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，xk出現(xiàn)fk次（f1+f2+fk=n），那么=,叫加權(quán)平均數(shù).2.方差及計(jì)算方法(1)對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn，s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標(biāo)準(zhǔn)差.(2)方差公式: s2=（x12+x22+xn2）n2(3)當(dāng)數(shù)據(jù)x1，x2，xn中各值較大時(shí)，可將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna則s2=（x12+x22+xn2）n3.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱(chēng) E=x1p1+x2p2+xnpn 為的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望.也叫平均數(shù),均值.(1)數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)期望的一個(gè)性質(zhì):E(a+b)=aE+b（3）求期望的方法步驟： 確定隨機(jī)變量的所有取值;計(jì)算第個(gè)取值的概率并列表; 由期望公式計(jì)算期望值。4. 方差: D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+(1) 標(biāo)準(zhǔn)差:D的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作(2)方差的性質(zhì)： D(a+b)=a2D; D=E(2)-(E)2(3)方差的求法步驟：求分布列; 求期望; 由公式計(jì)算方差。隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了:隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。5.會(huì)用求和符號(hào):如E=xi pi，D=（xiE）2pi，6.二項(xiàng)分布的期望和方差：若B(n，p)，則E=np, np(1-p)7.幾何分布的期望和方差：若服從幾何分布g(k，p)= ，則 ，證明: 令 ，三、雙基題目練練手1.在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（ ）A.9.4, 0.484 B9.4, 0.016 C9.5, 0.04 D9.5, 0.0162.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是 ( )A.E=0.001B.D=0.099C.P（=k）=0.01k0.9910kD.P（=k）=C0.99k0.0110k3.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目的期望為A.2.44B.3.376C.2.376D.2.44.一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是。5.設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為1，2，3，4.P(k)ak+b(k=1，2，3，4),又的數(shù)學(xué)期望E3，則_ 6.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量1、2，已知E1=E2，D1D2，則自動(dòng)包裝機(jī)_的質(zhì)量較好.7.若隨機(jī)變量A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0<p<1），用隨機(jī)變量表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則的最大值為 .解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1p，從而E=0（1p）+1p=p，D=（0p）2（1p）+（1p）2p=pp2.=2（2p+）22當(dāng)且僅當(dāng)2p=，即p=時(shí)，取得最大值22.答案:1-3.DBC; 3. P（=0）=0.43，P（=1）=0.60.42，P（=2）=0.60.4，P（=3）=0.6，E=2.376;4.; 5.得, .6.包裝的重量的平均水平一樣,甲機(jī)包裝重量的差別大，不穩(wěn)定,答案：乙經(jīng)典例題做一做【例1】 (1)一枚骰子的六個(gè)面上標(biāo)有1、2、3、4、5、6，投擲一次，向上面的點(diǎn)數(shù)為,求E、E(2+3)和D。(2) 若隨機(jī)變量的分布列為P(=k)= (k=1，2，3，n)，求E和D。(3)一次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)由50道選擇題構(gòu)成，每道有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，每個(gè)選對(duì)得3分，選錯(cuò)或不選均不得分，滿(mǎn)分150分，某學(xué)生選對(duì)每一道題的概率為0.7，求該生在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望與方差。解：(1)E=x1P1+x2P2+x3P3+x6P6=1+2+3+6=3.5E(2+3)=2E+3=10D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(x6-E)2P6=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(6-3.5)2=17.5=2.92(2) E=(1+2+n)=D=E2-(E)2=(n2-1)(3)設(shè)為該生選對(duì)試題個(gè)數(shù)，為成績(jī)。則B(50，0.7)，=3E=500.7=35；D=500.70.3=10.5故E=E(3)=3E=105D=D(3)=9D=94.5【例2】(2006年安徽)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)學(xué)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和，（）寫(xiě)出的分布列；（以列表的形式給出結(jié)論，不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）.（）求的數(shù)學(xué)期望E.（要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程或說(shuō)明道理）.解：（I）的分布列為123456789P（II）由的定義得.提煉總結(jié)以為師1.離散型隨機(jī)變量的期望和方差的意義.2.求期望與方差.首先應(yīng)先求出分布列，再代公式求期望與方差.3.離散型隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算公式與運(yùn)算性質(zhì)：4.二項(xiàng)分布的期望與方差：若B（n，p），則E=np，D=np（1p）.