2020年高考數(shù)學(xué)（理）大題專題解析與訓(xùn)練《解析幾何》

解析幾何一、直線與拋物線（2019年全國(guó)卷I）已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為（1）若，求的方程；（2）若，求【肢解1】若，求的方程；【肢解2】若，求試題解析【肢解1】若，求的方程；【解析】設(shè)直線方程為，由拋物線焦半徑公式可知，所以，聯(lián)立得，由得，所以，解得，所以直線的方程為，即.【肢解2】若，求【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，由得，由韋達(dá)定理知，因?yàn)椋?，所以，所以?則.應(yīng)對(duì)策略設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的而直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p.弦長(zhǎng)的計(jì)算方法：求弦長(zhǎng)時(shí)可利用弦長(zhǎng)公式，根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式，然后進(jìn)行整體代入弦長(zhǎng)公式求解溫馨提示：注意兩種特殊情況：(1)直線與圓錐曲線的對(duì)稱軸平行或垂直；(2)直線過圓錐曲線的焦點(diǎn)拓展延伸【拓展1】已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為若，求在軸上的截距.【解析】設(shè)直線方程為，由拋物線焦半徑公式可知，所以，聯(lián)立得，由得，所以，解得，所以直線的方程為，令得，所以直線在軸上的截距為.【拓展2】已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為若，求的面積【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，由得，由韋達(dá)定理知，因?yàn)?，所以，所以，所?，所以，直線方程為，即，所以點(diǎn)到的距離，所以的面積為變式訓(xùn)練一1.（2019年山西太原一模)已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求.【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，的面積為2，不滿足題意，所以可設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，消去得，設(shè)，由韋達(dá)定理知，所以，所以的面積為，解得，所以.2.（2019年湖北荊州模擬)已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).（1）若，求直線的斜率；（2）設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）依題意可設(shè)直線，將直線與拋物線聯(lián)立，設(shè)，由韋達(dá)定理得，因?yàn)?，所以，即，所以直線的斜率為或（2），當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為4（2020屆廣東省珠海市高三上學(xué)期期末）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過、兩點(diǎn)，（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求當(dāng)所取何值時(shí)，的面積最大.【肢解1】求橢圓的方程；【肢解2】設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求當(dāng)所取何值時(shí)，的面積最大.試題解析【肢解1】求橢圓的方程；【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，代入、兩點(diǎn)得 解得，所以橢圓.【肢解2】設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求當(dāng)所取何值時(shí)，的面積最大.【解析】將直線代入得：.整理得.得.由韋達(dá)定理得，.由二次函數(shù)可知當(dāng)即時(shí)，的面積的最大應(yīng)對(duì)策略直線與圓錐曲線的相交弦長(zhǎng)問題：設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|y1y2|.變式訓(xùn)練二【變式1】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過、兩點(diǎn)，（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求的值.【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，代入、兩點(diǎn)得 解得，.所以橢圓.（2）將直線代入得.整理得.得.設(shè)，韋達(dá)定理得，.所以，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)到直線的距離.所以的面積為，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得或（舍去）.所以【變式2】已知橢圓的離心率為，其中左焦點(diǎn)為（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程【解析】(1)由題意，得解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，由消去得，由得，由韋達(dá)定理知，所以，由點(diǎn)到直線的距離公式得到直線的距離，所以的面積為，解得，滿足，所以所求直線方程為或.模擬訓(xùn)練1.（2019年山東高考模擬）已知圓，拋物線（1）若拋物線的焦點(diǎn)在圓上，且為拋物線和圓的一個(gè)交點(diǎn)，求；（2）若直線與拋物線和圓分別相切于兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的最大值【解析】（1）由題意知，所以.所以拋物線的方程為.將與聯(lián)立得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，結(jié)合拋物線定義得.（2）由得，所以直線的斜率為，故直線的方程為.即.又由得且，所以.令，則，令，則；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，所以，即的最大值為.2.（2020黑龍江省齊市地區(qū)普高聯(lián)誼高二上學(xué)期期末）已知橢圓：過點(diǎn)與點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線過定點(diǎn)，且斜率為，若橢圓上存在，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍及面積的最大值.【解析】（1）由題意，可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）由題意，設(shè)直線的方程為，由，整理得，所以，即，.且，所以線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為，將代入直線方程，可得 ，由可得，又，所以，又，且原點(diǎn)到直線AB的距離，所以，所以時(shí)，最大值，此時(shí)，所以時(shí)，最大值.3.（2020福建省寧德市高三第一次質(zhì)量檢查）已知拋物線的焦點(diǎn)為，在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程及的值；（2）若過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求直線的方程.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，拋物線的方程為：，將代入得，（2）設(shè)， 顯然直線的斜率存在，設(shè)直線：，聯(lián)立，消去得，因?yàn)?，得且，所以，因?yàn)椋?，所?，即， 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，整理得所以，解得，所以直線的方程為：或.4.（2020福建省龍巖市上杭縣第一中學(xué)月考）已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求的方程.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，. 又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，所以或，由韋達(dá)定理知.所以，點(diǎn)到直線的距離，所以，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)取等號(hào)，滿足，所以的面積最大時(shí)直線的方程為：或.5.（2020廣東省佛山市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線過橢圓的右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)，動(dòng)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求此時(shí)的長(zhǎng)度.【解析】（1）由題意得，結(jié)合，解得，故所求橢圓的方程為.（2）易知定直線的方程為.聯(lián)立，整理得，解得，令點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)?，由?duì)稱性可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，又在直線：上，故，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或，所以或，所以的長(zhǎng)度為4或.6.（2020廣西名校高三上學(xué)期12月高考模擬）如圖，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩圓半徑分別為，射線OT與兩圓分別交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B作垂直于x軸、y軸的直線、，交于點(diǎn)P（1）當(dāng)射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡E的方程；（2）直線l：與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，兩圓上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，求的取值范圍【解析】（1）設(shè),OT與x軸正方向夾角為,則，即，化簡(jiǎn)得,即P點(diǎn)的軌跡E的方程為.（2）當(dāng)兩圓上有6個(gè)點(diǎn)到直線1的距離為時(shí),原點(diǎn)至直線的距離,即,解得，聯(lián)立方程得，設(shè),則,，所以，則.7.（2020遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校高三模擬）已知為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸上，過點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，直線的斜率之積為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求面積的最大值【解析】（1）設(shè)，則又，代入上式可得，又，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，化為，由韋達(dá)定理知，因?yàn)?，所以，所以，代入可得：所以的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以面積的最大值為