概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題1及答案.doc

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題 一1.寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件包含的樣本點(diǎn).（1） 擲一顆骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn).（2） 擲二顆骰子， A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，且恰好其中有一個(gè)1點(diǎn).” B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，但沒有一顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn).” （3）將一枚硬幣拋兩次， A=“第一次出現(xiàn)正面.”B=“至少有一次出現(xiàn)正面.”C=“兩次出現(xiàn)同一面.” 【解】2.設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：（1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2） A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3） A，B，C都發(fā)生； （4） A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生；（5） A，B，C都不發(fā)生； （6） A，B，C不都發(fā)生；（7） A，B，C至多有2個(gè)發(fā)生； （8） A，B，C至少有2個(gè)發(fā)生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） ABC=CBABCACABABC=(5) = (6) (7) BCACABCAB=(8) ABBCCA=ABACBCABC5.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】 P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.67.設(shè)A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 當(dāng)AB=A時(shí)，P（AB）取到最大值為0.6.（2） 當(dāng)AB=時(shí)，P（AB）取到最小值為0.3.9.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：（1） 求五個(gè)人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設(shè)A1=五個(gè)人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故 P（A1）=（）5 （亦可用獨(dú)立性求解，下同）（2） 設(shè)A2=五個(gè)人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P（A2）=()5(3) 設(shè)A3=五個(gè)人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()510. 從一批由45件正品，5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.【解】與次序無關(guān),是組合問題.從50個(gè)產(chǎn)品中取3個(gè),有種取法.因只有一件次品,所以從45個(gè)正品中取2個(gè),共種取法;從5個(gè)次品中取1個(gè),共種取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法為種,所以所求概率為.11.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件（n<N）.試求其中恰有m件（mM）正品（記為A）的概率.如果：（1） n件是同時(shí)取出的；（2） n件是無放回逐件取出的；（3） n件是有放回逐件取出的.【解】（1） P（A）=(2) 由于是無放回逐件取出，可用排列法計(jì)算.樣本點(diǎn)總數(shù)有種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種.對(duì)于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有種，從N-M件次品中取n-m件的排列數(shù)為種，故P（A）=由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P（A）=可以看出，用第二種方法簡便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種，對(duì)于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，n-m次取得次品，每次都有N-M種取法，共有（N-M）n-m種取法，故此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為12. 50只鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件上，每個(gè)部件用3只鉚釘.其中有3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱.若將3只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱.求發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？【解】設(shè)A=發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱13.一個(gè)袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)球，其中4個(gè)是白球，3個(gè)是黑球，從中一次抽取3個(gè)，計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.【解】 設(shè)Ai=恰有i個(gè)白球（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故 14.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求：（1） 兩粒都發(fā)芽的概率；（2） 至少有一粒發(fā)芽的概率；（3） 恰有一粒發(fā)芽的概率.【解】設(shè)Ai=第i批種子中的一粒發(fā)芽，（i=1,2）(1) (2) (3) 15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.（1） 問正好在第6次停止的概率；（2） 問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.【解】（1） (2) 18.某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：（1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率.【解】 設(shè)A=下雨，B=下雪.（1） （2） 19.已知一個(gè)家庭有3個(gè)小孩，且其中一個(gè)為女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】 設(shè)A=其中一個(gè)為女孩，B=至少有一個(gè)男孩，樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.【解】 設(shè)A=此人是男人，B=此人是色盲，則由貝葉斯公式 21.兩人約定上午9001000在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率. 題21圖 題22圖【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為x,y,則0x,y60.事件“一人要等另一人半小時(shí)以上”等價(jià)于|x-y|>30.如圖陰影部分所示.22.從（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：（1） 兩個(gè)數(shù)之和小于的概率；（2） 兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.【解】 設(shè)兩數(shù)為x,y，則0<x,y<1.（1） x+y<. (2) xy=<. 23.設(shè)P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 24.在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率.【解】 設(shè)Ai=第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球由全概率公式，有 25. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A=被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的，則=被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B=被調(diào)查學(xué)生考試及格.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知（1） 即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2) 即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為21.若接收站收到的信息是A，試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】 設(shè)A=原發(fā)信息是A，則=原發(fā)信息是BC=收到信息是A，則=收到信息是B由貝葉斯公式，得 27.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設(shè)Ai=箱中原有i個(gè)白球（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（Ai）=,i=0,1,2.又設(shè)B=抽出一球?yàn)榘浊?由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品，B=產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品由貝葉斯公式得 29.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A=該客戶是“謹(jǐn)慎的”，B=該客戶是“一般的”，C=該客戶是“冒失的”，D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來的零件的次品率.【解】設(shè)Ai=第i道工序出次品（i=1,2,3,4）. 31.設(shè)每次射擊的命中率為0.2，問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.即為 故 n11至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.32.證明：若P（AB）=P(A)，則A，B相互獨(dú)立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨(dú)立.33.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設(shè)Ai=第i人能破譯（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.【解】設(shè)A=飛機(jī)被擊落，Bi=恰有i人擊中飛機(jī)，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45835.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗(yàn)被否定的概率.（2） 新藥完全無效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.【解】（1） (2) 36.一架升降機(jī)開始時(shí)有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2） B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.（1） ，也可由6重貝努里模型：（2） 6個(gè)人在十層中任意六層離開，故（3） 由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個(gè)人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；4人同時(shí)離開，有種可能結(jié)果；4個(gè)人都不在同一層離開，有種可能結(jié)果，故（4） D=.故37. n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n個(gè)人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.將線段0，a任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設(shè)這三段長分別為x,y,a-x-y.則基本事件集為由0<x<a,0<y<a,0<a-x-y<a所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由構(gòu)成的圖形，即如圖陰影部分所示，故所求概率為.39. 某人有n把鑰匙，其中只有一把能開他的門.他逐個(gè)將它們?nèi)ピ囬_（抽樣是無放回的）.證明試開k次（k=1,2,n）才能把門打開的概率與k無關(guān).【證】 40.把一個(gè)表面涂有顏色的立方體等分為一千個(gè)小立方體，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出一個(gè)，試求它有i面涂有顏色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】 設(shè)Ai=小立方體有i面涂有顏色，i=0,1,2,3. 在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方體共有8個(gè).只有位于原立方體的棱上（除去八個(gè)角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有128=96個(gè).同理，原立方體的六個(gè)面上（除去棱）的小立方體是一面涂色的，共有886=384個(gè).其余1000-（8+96+384）=512個(gè)內(nèi)部的小立方體是無色的，故所求概率為,.41.對(duì)任意的隨機(jī)事件A，B，C，試證P（AB）+P（AC）-P（BC）P(A).【證】 42.將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】 設(shè)=杯中球的最大個(gè)數(shù)為i,i=1,2,3.將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí)，每個(gè)杯中最多放一球，故而杯中球的最大個(gè)數(shù)為3，即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故因此 或 43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A=正面次數(shù)多于反面次數(shù)，B=正面次數(shù)少于反面次數(shù)，C=正面次數(shù)等于反面次數(shù)，A，B，C兩兩互斥.可用對(duì)稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為 故 44.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】設(shè)A=出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)，B=出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)，由對(duì)稱性知P（A）=P（B）（1） 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正、反面次數(shù)不會(huì)相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】 令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).顯然有=（甲正乙正）=（n+1-甲反n-乙反）=（甲反1+乙反）=（甲反>乙反）由對(duì)稱性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P(甲正>乙正)=46.證明“確定的原則”（Sure-thing）：若P（A|C）P(B|C),P(A|)P(B|)，則P（A）P(B).【證】由P（A|C）P(B|C),得即有 同理由 得 故 47.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(kn)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率.【解】 設(shè)Ai=第i節(jié)車廂是空的，（i=1,n）,則其中i1,i2,in-1是1，2，n中的任n-1個(gè).顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是 故所求概率為48.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為>0.試證明：不論>0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)A=投擲硬幣r次都得到國徽B=這只硬幣為正品由題知 則由貝葉斯公式知 50.巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2n-r次，設(shè)n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2n-r次火柴視作2n-r重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率為51.求n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】 設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由以上兩式相減得所求概率為若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得.52.設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P（+B）（A+B）（+）（A+）的值.【解】因?yàn)椋ˋB）（）=AB（B）（A）=AB所求 故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由 故或,按題設(shè)P（A）<,故P（A）=.54.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）.【解】 故 故 由A,B的獨(dú)立性，及、式有 故 故 或（舍去）即P（A）=.55.隨機(jī)地向半圓0<y< (a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于/4的概率為多少？【解】利用幾何概率來求，圖中半圓面積為a2.陰影部分面積為故所求概率為56.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】 設(shè)A=兩件中至少有一件是不合格品，B=另一件也是不合格品57.設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份.（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】設(shè)Ai=報(bào)名表是取自第i區(qū)的考生，i=1,2,3.Bj=第j次取出的是女生表，j=1,2.則 (1) (2) 而 故 58. 設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,試比較P(AB)與P(A)的大小. (2006研考)【解】因?yàn)?所以 .59. 某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),求此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率.【解】這是伯努利概型.第4次射擊恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率為.60. 在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),求這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率.【解】設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為x、y，則0<x<1,0<y<1,x-y<，畫出圖形，由幾何概型可得，所求概率為.17